1、第六章不等式及不等式选讲第一节不等关系与不等式考情展望1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较.2.考查与不等式相关的充分必要条件的判断.3.考查和函数、数列等知识的综合应用一、实数的大小顺序与运算性质的关系abab0，abab0，abab0.二、不等式的性质1对称性：abbb，bcac；(单向性)3可加性：abacbc；(双向性)ab，cdacbd；(单向性)4可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(单向性)5乘方法则：ab0anbn(nN，n2)；(单向性)6开方法则：ab0(nN，n2)；(单向性)7倒数性质：设ab0，则ab.(双向性)真、假分数的性质若a
2、b0，m0，则(1)真分数的性质：，(bm0)(2)假分数的性质：，(bm0)1对于实数a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】abD/ac2bc2，如c0时，ac2bc2，但ac2bc2ab，“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件【答案】B2在城区限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()Av40 km/h Bv40 km/hCv40 km/h Dv40 km/h【答案】D3已知a，b为非零实数，且ab，则下列不等式一定成立的是()Aa4b4 B
3、.C|a|b| D2a2b【解析】当a1，b2时，A、B、C均不正确，由y2x的单调性知，D正确【答案】D4.与1的大小关系为_【解析】(1)(1)(1)0，1.【答案】15(2012湖南高考)设ab1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A BC D【解析】ab1，.又c，故正确当c0时，yxc在(0，)上是减函数，又ab1，acb1，c0，acbc1.ab1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，即logb(ac)loga(bc)，故正确【答案】D6(2013天津高考)设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要
4、条件 D既不充分也不必要条件【解析】由不等式的性质知(ab)a20成立，则ab成立；而当a0，ab成立时，(ab)a20不成立，所以(ab)a20是ab的充分而不必要条件【答案】A考向一 099应用不等式表示不等关系(1)某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成不等式为_(2)某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式【思路点拨】(1)“不低于300元”的含义为“大于等于300元”(2)“至少”及“不超过”的含义
5、分别为“大于等于”和“小于等于”【尝试解答】(1)设最低生活保障金为x元，则x300.【答案】x300(2)设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则x、y满足规律方法11.本例(2)在求解时，常因忽略变量x，yN*致误.2.求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别是注意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义. 考向二 100不等式的性质及应用(1)若a0ba，cd0，则下列命题：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中能成立的命题为_(2)已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4.求f(2)的取值范
6、围【思路点拨】(1)利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假(2)把f(2)表示成mf(1)nf(1)的形式是解题的关键用待定系数法或者以a、b为桥梁，利用方程思想解题【尝试解答】(1)a0b，cd0，ad0，bc0，则adbc，(1)错误由a0ba，知ab0，又cd0，因此a(c)(b)(d)，即acbd0，0，故(2)正确显然acbd，(3)正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，(4)正确【答案】(2)法一设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，5
7、3f(1)f(1)10，故5f(2)10.法二因为a，b.f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4.故5f(2)10.规律方法21.解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误.2.由af(x，y)b，cg(x，y)d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围.对点训练(1)设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()AacbdBacbdCacbd Dadbc(2)若，满足试求3的取值范围【解析】(1)由不等式的同向可加性可
8、知C正确【答案】C(2)设3x()y(2)(xy)(x2y).由解得1()1,22(2)6，两式相加，得137.考向三 101比较大小(1)已知mR，ab1，f(x)，试比较f(a)与f(b)的大小；(2)比较aabb与abba(a0且a1，b0且b1)的大小【思路点拨】(1)计算出f(a)与f(b)，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小【尝试解答】(1)法一f(a)，f(b)，f(a)f(b)m2m2m2，当m0时，f(a)f(b)；当m0时，m20，又ab1，f(a)f(b)，即f(a)f(b)法二f(x)m2，f(a)m2，f(b)m2，由于ab1，a1b10，
9、11，当m0时，m2m2，即f(a)f(b)；当m0时，m2m2，即f(a)f(b)，f(a)f(b)(2)根据同底数幂的运算法则，采用作商法，aabbbaab，当ab0时，1，ab0，则ab1，aabbabba，当ba0时，01，ab0，则ab1，aabbabba，当ab0时，ab1，aabbabba，综上知aabbabba(当且仅当ab时取等号)规律方法31.第(1)中，若注意到m20，亦可构造函数(x)(x1)，判断出(x)是减函数，f(a)f(b)2(1)“作差比较法”的过程可分为四步：作差；变形；判断差的符号；作出结论其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等(2)“作商比
10、较法”的依据是“1，b0ab”，在数式结构含有幂或根式时，常采用比商法对点训练若ab0，试比较ab与ab的大小【解】 (ab)(ab)a()b()()(ab)()2()，0，()20，(ab)(ab)0，abab.易错易误之十一不等式变形中盲目扩大范围1个示范例1个防错练(2012陕西高考改编)设函数f(x)xnbxc(nN*，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明f(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(1)|1，|f(1)|1，求b3c的最大值和最小值【解】 (1)当b1，c1，n2时，f(x)xnx1，ff(1)10，f(x)在区间内有零点，又当x时，f(x)nxn110，
11、f(x)在上是单调递增的，f(x)在内存在唯一零点(2)法一由n为偶数，且|f(1)|1，|f(1)|1，即本例(2)在求解中常犯以下错误：,n为偶数，且|f(1)|1，|f(1)|1，因此1b1，且2c0.,7b3c1，,故b3c的最大值为1，最小值为7.出错原因为：(1)忽视字母b、c相互制约的条件，片面将b，c分割开来导致字母范围发生变化.(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误.作上述不等式组表示的可行域，如图所示令tb3c，则c.平移b3c0，知直线过原点O时截距最大，过点A时截距最小，tb3c的最大值为0300；最小值为03(2)6.
12、法二由题意知解得b，c，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1，6b3c0.当b0，c2时，b3c6；当bc0时，b3c0，b3c的最小值为6，最大值为0.【防范措施】处理该类问题的方式常有两种：(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围.(2)运用线性规划，根据tb3c的几何意义，数形结合求t的最值.已知函数f(x)ax2c，且f(1)4，1，f(2)1,5，求f(3)的取值范围【解】 法一(以a、c为桥梁，方程组思想)f(x)ax2c.f(3)9acf(1)f(2)1f(3)20.f(3)的取值范围为1,20法二(待定系数法)设f(3)f(1)f(2)，9ac(ac)(4ac)，解得.f(3)f(1)f(2)下同法一，略
