1、7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.掌握复数代数形式的加减运算法则(重点)2了解复数代数形式的加减运算的几何意义(易错点)1.通过复数代数形式的加减运算的几何意义，培养数学直观的素养2借助复数代数形式的加减运算提升数学运算的素养.1复数加法与减法的运算法则(1)设z1abi，z2cdi是任意两个复数，则z1z2(ac)(bd)i；z1z2(ac)(bd)i.(2)对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1；(z1z2)z3z1(z2z3)2复数加减法的几何意义如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，
2、向量与复数z1z2对应，向量与复数z1z2对应思考：类比绝对值|xx0|的几何意义，|zz0|(z，z0C)的几何意义是什么？提示|zz0|(z，z0C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离1已知复数z134i，z234i，则z1z2()A8iB6C68i D68iBz1z234i34i(33)(44)i6.2复数(1i)(2i)3i等于()A1iB1iCiDiA(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选A.3已知向量1对应的复数为23i，向量2对应的复数为34i，则向量对应的复数为 1i(34i)(23i)1i.复数代数形式的加、减运算【例1】(1)计算：(2i)；(2)已知复数z
3、满足z13i52i，求z.解(1)(2i)i1i.(2)法一：设zxyi(x，yR)，因为z13i52i，所以xyi(13i)52i，即x15且y32，解得x4，y1，所以z4i.法二：因为z13i52i，所以z(52i)(13i)4i.复数代数形式的加、减法运算技巧复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)1(1)计算：(23i)(42i) .(2)已知z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若z1z253i，则|z1z2| .(1)2i(2)(1)(23i)(42i)(24)(32)i2i.(2)
4、z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x5y)(3x4y)i53i，所以解得x1，y0，所以z132i，z22i，则z1z21i，所以|z1z2|.复数代数形式加减运算的几何意义【例2】(1)复数z1，z2满足|z1|z2|1，|z1z2|.则|z1z2| .(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,32i，24i，试求所表示的复数，所表示的复数；对角线所表示的复数；对角线所表示的复数及的长度(1)由|z1|z2|1，|z1z2|，知z1，z2，z1z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1
5、z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|. (2)解，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.，所表示的复数为(32i)(24i)52i.对角线，它所对应的复数z(32i)(24i)16i, |.1用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形O
6、ACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形2复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，如图则(x，y)(1,2)(x1，y2)(1，2)(2,1)(1，3)，解得故点D对应的复数为2i.复数模的最值问题探究问题1满足|z|1的所有复数z对应的点组成什么图形？提示满足|z|1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上2若|z1|z1|，则复数z对应的点组成什么图形
7、？提示|z1|z1|，点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上【例3】(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1B.C2 D.(2)若复数z满足|zi|1，求|z|的最大值和最小值(1)A设复数i，i，1i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2, |Z1Z2|2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1.所以|zi1|min1.(2)解如图所示， |2.所以|z|max213，|z|min211. 1若本例题(2)条件改
8、为“设复数z满足|z34i|1”，求|z|的最大值解因为|z34i|1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是16.2若本例题(2)条件改为已知|z|1且zC，求|z22i|(i为虚数单位)的最小值解因为|z|1且zC，作图如图：所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z22i|的最小值为|OP|121.|z1z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解. 1复数代数形式的加减法满足交换律、结合
9、律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则3|zz0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|zz0|r(r0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆1判断正误(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则()(2)复数与复数相加减后结果为复数()(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义()答案(1)(2)(3)2计算|(3i)(12i)(13i)| .5|(3i)(12i)(13i)|(2i)(13i)|34i|5.3已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a .1z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，解得a1.4在复平面内，复数3i与5i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量，对应的复数及A，B两点间的距离解向量对应的复数为(3i)(5i)2.，向量对应的复数为(3i)(5i)82i.A，B两点间的距离为|82i|2.
