1、数学理科 A第1讲集合及其运算最新考纲1了解集合的含义、元素与集合的属于关系2理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集3理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集4理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集5能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.知 识 梳 理1元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB子集A中任意一个元素均为B中的元素AB真子集A中任意一个元素均为B中的元素，
2、且B中至少有一个元素不是A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA辨 析 感 悟1元素与集合的辨别(1)若 10,1，则x0,1.()(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n1，非空真子集的个数是2n2.()(3)若Ax|yx2，B(x，y)|yx2，则ABx|xR()2对集合基本运算的辨别(4)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)总成立()(5)(2013浙江卷改编)设集合Sx|x2，Tx|x23x40，则(RS)Tx|4x1(
3、)(6)(2013陕西卷改编)设全集为R，函数f(x)的定义域为M，则RMx|x1，或x1()感悟提升1一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件如第(3)题就是混淆了数集与点集2两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6)3集合的运算性质：ABBAB；ABAAB；A(UA)U；A(UA).考点一集合的基本概念【例1】【例1】(1)(2013江西卷)若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a()A4 B2 C0 D0或4(2)(2013山东
4、卷)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9解析(1)由ax2ax10只有一个实数解，可得当a0时，方程无实数解；当a0时，则a24a0，解得a4(a0不合题意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案(1)A(2)C规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性【训练1】已知aR，bR，若a2，ab,0，则a2 014b2 014_.解析由已知得0及a0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故a2 014b2 014
5、1.答案1考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围(2)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值审题路线(1)分B和B两种情况求解，当B时，应注意端点的取值(2)先求A，再利用(UA)BBA，应对B分三种情况讨论解(1)当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图则解得2m4.综上，m的取值范围是(，4(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1；若B2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)(
6、2)4，这两式不能同时成立，B2；若B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论【训练2】(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4(2)(2014郑州模拟)已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，则实数a
7、的所有可能取值的集合为()A1 B1 C1,1 D1,0,1解析(1)由题意知：A1,2，B1,2,3,4又ACB，则集合C可能为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)a0时，Bx|10A；a0时，BA，则1或1，故a0或a1或1.答案(1)D(2)D考点三集合的基本运算【例3】(1)(2013湖北卷)已知全集为R，集合A，Bx|x26x80，则ARB()Ax|x0 Bx|2x4Cx|0x2，或x4 Dx|0x2，或x4(2)(2014唐山模拟)若集合My|y3x，集合Sx|ylg(x1)，则下列各式正确的是()AMSM BMSSCMS DMS解析(1)Ax|x0，Bx|2x4，
8、所以RBx|x2，或x4，此时ARBx|0x2，或x4(2)My|y0，Sx|x1，故选A.答案(1)C(2)A规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况【训练3】(1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为()A1,2,4 B2,3,4 C0,2,4 D0,2,3,4(2)已知全集UR，集合Ax|1x3，集合Bx|log2(x2)1，则A(UB)_.解析(1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)由log2(x2)1，得0x22,2x4，所以Bx|2x4故UBx|x2，或x4，从
9、而A(UB)x|1x2答案(1)C(2)x|1x2数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决学生用书第3页创新突破1与集合有关的新概念问题【典例】已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6 C8 D10解析法一(列表法)因为xA，yA，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及xy的取值如下表所示： xxy y123
10、45101234210123321012432101543210由题意xyA，故xy只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10，故选D.法二(直接法)因为A1,2,3,4,5，所以集合A中的元素都为正数，若xyA，则必有xy0，xy.当y1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；当y2时，x可取3,4,5，共有3个数；当y3时，x可取4,5，共有2个数；当y4时，x只能取5，共有1个数；当y5时，x不能取任何值综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为432110.答案D反思感悟 (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定
11、义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力【自主体验】1(2013广东卷)设整数n4，集合X1,2,3，n令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A(y，z，w)S，(x，y，w)SB(y，z，w)S，(x，y，w)SC(y，z，w)S，(x，y，w)SD(y，z，w)S，(x，y，w)S解析题目中xyz，yzx，zxy恰有
12、一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x1，y2，z3，w4满足题意，且(2,3,4)S，(1,2,4)S，从而(y，z，w)S，(x，y，w)S成立答案B2(2013浙江部分重点中学调研)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“好元素”给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()A6个 B12个 C9个 D5个解析依题意，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数故这样的集合共有6个答案A对应学生用书P219基础巩固题组(建议用
13、时：40分钟)一、选择题1(2013新课标全国卷)已知集合Ax|x22x0，Bx|x，则()AAB BABRCBA DAB解析集合Ax|x2，或x0，所以ABx|x2，或x0x|xR.答案B2(2013广东卷)设集合Sx|x22x0，xR，Tx|x22x0，xR，则ST()A0 B0,2 C2,0 D2,0,2解析S2,0，T0,2，ST0答案A3已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则P的子集共有()A2个 B4个 C6个 D8个解析PMN1,3，故P的子集共有4个答案B4(2013辽宁卷)已知集合Ax|0log4x1，Bx|x2，则AB()A(0,1) B(0,2C(1,2)
14、 D(1,2解析0log4x1，即log41log4xlog44，1x4，集合Ax|1x4，ABx|1x2答案D5设集合Ax|x22x80，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为()Ax|x1 Bx|4x2Cx|8x1 Dx|1x2解析阴影部分是ARB.集合Ax|4x2，RBx|x1，所以ARBx|1x2答案D二、填空题6(2013江苏卷)集合1,0,1共有_个子集解析所给集合的子集个数为238个答案87集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为_解析根据并集的概念，可知a，a24,16，故只能是a4.答案48集合AxR|x2|5中的最小整数为_解析由|x2|5，得5
15、x25，即3x7，所以集合A中的最小整数为3.答案3三、解答题9已知集合Aa2，a1，3，Ba3，a2，a21，若AB3，求AB.解由AB3知，3B.又a211，故只有a3，a2可能等于3.当a33时，a0，此时A0,1，3，B3，2，1，AB1，3故a0舍去当a23时，a1，此时A1,0，3，B4，3,2，满足AB3，从而AB4，3,0,1,210设Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，(1)若BA，求a的值；(2)若AB，求a的值解(1)A0，4，当B时，4(a1)24(a21)8(a1)0，解得a1；当B为单元素集时，a1，此时B0符合题意；当BA时，由根与系数的关系得：解得
16、a1.综上可知：a1或a1.(2)若AB，必有AB，由(1)知a1.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为()A5 B4 C3 D2解析当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z1；当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z3.故z的值为1,1,3，故所求集合为1,1,3，共含有3个元素答案C2(2013江西七校联考)设全集UR，集合Mx|ylg(x21)，Nx|0x2，则N(UM)()Ax|2x1 Bx|0x1Cx|1x1 Dx|x1解析Mx|ylg(x21)x|x210x|x1，或x1，所以UMx|1x1，结合数轴易
17、得N(UM)x|0x1答案B二、填空题3已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.解析Ax|5x1，因为ABx|1xn，Bx|(xm)(x2)0，所以m1，n1.答案11三、解答题4已知集合Ay|y2x1,0x1，Bx|(xa)x(a3)0分别根据下列条件，求实数a的取值范围(1)ABA；(2)AB.解因为集合A是函数y2x1(0x1)的值域，所以A(1,1，B(a，a3)(1)ABAAB即2a1，故当ABA时，a的取值范围是(2，1(2)当AB时，结合数轴知，a1或a31，即a1或a4.故当AB时，a的取值范围是(4,1).学生用书第3页第2讲
18、命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知 识 梳 理1四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系2充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分 条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件p q且qp辨 析 感 悟1对四种命题的认识(1)
19、(2012湖南卷改编)命题“，则tan 1”的否命是“若，则tan 1”()(2)若原命题“若p，则q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为1或2.()(3)命题“若x23x20，则x2或x1”的逆否命题是“若1x2，则x23x20”()2对充分条件、必要条件的理解(4)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件()(5)“(2x1)x0”的充分不必要条件是“x0”()(6)在ABC中，“A60”是“cos A”的充分不必要条件()(7)(2013浙江卷改编)已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，xR)，则“f(x)是奇函数”是“”的
20、充分必要条件()感悟提升1一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)，如(1)2三个防范一是分清命题中的条件和结论，并搞清楚其中的关键词，如“”与“”，“”与“”，“且”与“或”，“是”与“不是”，“都不是”与“至少一个是”，“都是”与“不都是”等互为否定，如(3)；二是弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指BA，且AB，如(5)；而“A是B的充分不必要条件”则是指AB且B A，如(6)、(7)；三是注意题中的大前提，如(6)考点一命题及其相互关系【例1】已知：命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则
21、m1”，则下列结论正确的是()A否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是真命题B逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题C逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”，是真命题D逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”，是真命题解析由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1.命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题答案D规律方法 (1)在判断四种命题的关系时，
22、首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假【训练1】(2013长春二模)命题“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是()A若a2b20，则a0且b0B若a2b20，则a0或b0C若a0且b0，则a2b20D若a0或b0，则a2b20解析“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是“若
23、a0或b0，则a2b20”，故选D.答案D考点二充分条件、必要条件的判断【例2】(1)(2013安徽卷)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2013济南模拟)如果a(1，k)，b(k,4)，那么“ab”是“k2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)f(x)|(ax1)x|在(0，)内单调递增等价于f(x)0在区间(0，)内无实根，即a0或0，也就是a0，故“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0，)内单调递增”的充要条件，
24、故选C.(2)因为ab，所以14k20，即4k2，所以k2.所以“ab”是“k2”的必要不充分条件答案(1)C(2)B规律方法 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.学生用书第5页【训练2】(2013北京卷)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析由sin 0可得k(kZ)，此为曲线ysin(2x
25、)过坐标原点的充要条件，故“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的充分不必要条件答案A考点三充分条件、必要条件的探求【例3】(1)若集合Ax|x2x20，Bx|2xa，则“AB”的充要条件是()Aa2 Ba2 Ca1 Da1(2)函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0或a1 B0aC.a1 Da0审题路线(1)ABA与B有交集(2)先求函数f(x)有且只有一个零点的充要条件M由选项推出M成立的充分条件结合选项可得结论解析(1)Ax|1x2，Bx|2xa，如图所示：AB，a1.(2)因为f(x)有且只有一个零点的充要条件为a0或a1.由选项可知，使“a0或a1”成立的充分条件
26、为选项D.答案(1)C(2)D规律方法 有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论【训练3】“直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是()A1k3 B1k3C0k3 Dk1或k3解析“直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点”等价于，解得k(1,3)四个选项中只有(0,3)是(1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是0k3.答案C 1当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或
27、几个)作为大前提2数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的3命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件 思想方法1等价转化思想在充要条件关系中的应用【典例】已知p：2，q：x22x1m20(m0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围解法一由q：x22x1m20，得1mx1m，綈
28、q：Ax|x1m或x1m，m0，由p：2，解得2x10，綈p：Bx|x10或x2綈p是綈q的必要而不充分条件AB，或即m9或m9.m9.故实数m的取值范围是9，)法二綈p是綈q的必要而不充分条件，p是q的充分而不必要条件，由q：x22x1m20，得1mx1m，q：Qx|1mx1m，由p：2，解得2x10，p：Px|2x10p是q的充分而不必要条件，PQ，或即m9或m9.m9.故实数m的取值范围是9，)反思感悟 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑
29、，这是破解此类问题的关键【自主体验】1(2013山东卷)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析由q綈p且綈p q可得p綈q且綈qp，所以p是綈q的充分而不必要条件答案A2已知命题p：x22x30；命题q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A1，) B(，1C1，) D(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件故a1.答案A对应学生用书P221基础巩固题组(建议用时：40分
30、钟)一、选择题1(2012重庆卷)命题“若p，则q”的逆命题是()A若q，则p B若綈p，则綈q C若綈q，则綈p D若p，则綈q解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故选A.答案A2已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23B若abc3，则a2b2c23C若abc3，则a2b2c23D若a2b2c23，则abc3解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题答案A3(2014浙江部分重点中学3月调研)设aR，则“a2”是“直线yax2与yx1垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要
31、条件 D既不充分也不必要条件解析若直线yax2与yx1垂直，则有a1，即a24，所以a2.所以“a2”是“直线yax2与yx1垂直”的充分不必要条件，选A.答案A4命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.答案C5(2014台州三校联考)不等式x0成立的一个充分不必要条件是
32、()A1x0或x1 Bx1或0x1Cx1 Dx1解析画出直线yx与双曲线y的图象(图略)，两图象的交点为(1,1)，(1，1)，依图知x0时，1x0或x1，显然x1x0；但x0x1.答案D二、填空题6(2013盐城调研)“m2”是“”的充分不必要条件；一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真其中说法不正确的序号是_解析逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故错误；此命题的逆否命题为“设a，bR，若a3且b3，则ab6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，错误；，则0，解得x2，所以“x2”是“0)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解p：x28x2002x10，q：x22x1
33、a201ax1a.pq，qp，x|2x10x|1ax1a故有且两个等号不同时成立，解得a9.因此，所求实数a的取值范围是9，)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析否命题既否定题设又否定结论，故选B.答案B2(2014深圳二次调研)已知xR，则x1是|x1|x1|2|x|的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析若x1，则
34、|x1|x1|x1x12x，2|x|2x，故充分性成立；必要性的判断不易切入，可以考虑采用特值法，取x1，则|x1|x1|2,2|x|2，但是1不满足x1，故必要性不成立，故选A.答案A二、填空题3设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.解析已知方程有根，由判别式164n0，解得n4，又nN*，逐个分析，当n1,2时，方程没有整数根；而当n3时，方程有整数根1,3；当n4时，方程有整数根2.答案3或4三、解答题4设命题p：|4x3|1；命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围解綈p是綈q的必要不充分条件，綈q綈p，且綈p 綈q等
35、价于pq，且q p.记p：Ax|4x3|1，q：Bx|x2(2a1)xa(a1)0|x|axa1，则从而且两个等号不同时成立，解得0a.故所求实数a的取值范围是.学生用书第6页第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲1了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2理解全称量词与存在量词的意义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知 识 梳 理1简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词(2)命题pq，pq，綈p的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任
36、给”“所有的”等(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示3全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题(2)含有存在量词的命题叫特称命题4命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.辨 析 感 悟1逻辑联结词的理解与应用(1)命题pq为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题()(2)命题pq为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题()2对命题的否定形式的理解(3)(2013山西四校联考改编)“有
37、些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”()(4)(2013东北联考改编)命题p：n0N,2n01 000，则綈p：n N,2n1 000.()(5)(2013四川卷改编)设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：xA,2xB，则綈p：xA,2xB.()(6)已知命题p：若xy0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p：若xy0，则x，y中至多有一个大于0.()感悟提升1一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样
38、，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系如“并且”、“綉”的含义为“且”；“或者”、“”的含义为“或”；“不是”、“”的含义为“非”2两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，綈p指的是命题的否定，只需否定结论如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6).学生用书第7页考点一含有逻辑联结词命题的真假判断【例1】 (1)设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为；命题q：函数ycos x的图象关于直线x对称则下列判断正确的是()Ap为真 B綈q为假Cpq为假 Dpq为真(2)(2013湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题
39、p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A(綈p)(綈q) Bp(綈q)C(綈p)(綈q) Dpq解析(1)函数ysin 2x的最小正周期为，故命题p为假命题；x不是ycos x的对称轴，命题q为假命题，故pq为假故选C.(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“pq”的否定选A.答案(1)C(
40、2)A规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”一真即真，“且”一假即假，“非”真假相对，做出判断即可【训练1】 若命题p：关于x的不等式axb0的解集是x|x，命题q：关于x的不等式(xa)(xb)0的解集是x|axb，则在命题“pq”、“pq”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有_解析依题意可知命题p和q都是假命题，所以“pq”为假、“pq”为假、“綈p”为真、“綈q”为真答案綈p，綈q考点二含有一个量词的命题否定【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：x0
41、R，x2x020；(4)s：至少有一个实数x0，使x10.解(1)綈p：x0R，xx00，假命题(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题(3)綈r：xR，x22x20，真命题(4)綈s：xR，x310，假命题规律方法 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词【训练2】 (1)(2013江门、佛山模拟)已知命题p：x01，x10，那么綈p是()Ax1，x210 Bx1，x210Cx01，x10 Dx01，x10(2
42、)命题：“对任意k0，方程x2xk0有实根”的否定是_解析(1)特称命题的否定为全称命题，所以綈p：x1，x210，故选B.(2)将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k0，使方程x2xk0无实根”答案(1)B(2)存在k0，使方程x2xk0无实根考点三含有量词的命题的真假判断【例3】 下列四个命题p1：x0(0，)，；p2：x0(0,1)，x0x0；p3：x(0，)，x；p4：x，x.其中真命题是()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4解析根据幂函数的性质，对x(0，)，故命题p1是假命题；由于xx，故对x(0,1)，xx，所以x0(0,1
43、)，x0x0，命题p2是真命题；当x时，1，x1，故x不成立，命题p3是假命题；x，1，x1，故x，命题p4是真命题答案D学生用书第8页规律方法 对于特称命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立. 【训练3】 (2013开封二模)下列命题中的真命题是()AxR，使得sin xcos xBx(0，)，exx1Cx(，0)，2xcos x解析因为sin xcos xsin，故A错误；当x0时，y2x的图象在y3x的图象上方，故C错误；因为x时有sin xcos x，
44、故D错误所以选B.答案B 1逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题2正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真答题模板1借助逻辑联结词求解参数范围问题【典例】 (12分)已知a0，设命题p：函数yax在R上单调递增；命题q：不等式ax2ax10对xR恒成立若“pq”为假，“p
45、q”为真，求a的取值范围规范解答函数yax在R上单调递增，p：a1.不等式ax2ax10对xR恒成立，且a0，a24a0，解得0a4，q：0a4. (5分)“pq”为假，“pq”为真，p，q中必有一真一假 (7分)当p真，q假时，a|a1a|a4a|a4 (9分)当p假，q真时，a|0a1a|0a4a|0a1 (11分)故a的取值范围是a|0a1，或a4 (12分)反思感悟 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算答题模板第一步：求命题p，q对应的参数的范围第二步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p真q假”或“p假q真”第
46、三步：根据新命题的真假，确定参数的范围第四步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范【自主体验】(2014锦州月考)命题p：关于x的不等式x22ax40对一切xR恒成立，q：函数f(x)(32a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围解设g(x)x22ax4，由于关于x的不等式x22ax40对一切xR恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故4a2160，2a2.又函数f(x)(32a)x是增函数，32a1，a1.又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假(1)若p真q假，则1a2；(2)若p假q真，则a2.综上可知，所求实数a的取值范围是(，21,2).
47、对应学生用书P223基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1命题“x0RQ，xQ”的否定是()Ax0RQ，xQ Bx0RQ，xQCxRQ，x3Q DxRQ，x3Q解析根据特称命题的否定为全称命题知，选D.答案D2(2014合肥质检)已知命题p：若(x1)(x2)0，则x1且x2；命题q：存在实数x0，使0.下列选项中为真命题的是()A綈p Bq C綈pq D綈qp解析依题意，命题p是真命题，命题q是假命题，因此綈p是假命题，綈q是真命题；则綈qp是真命题，綈pq是假命题，故选D.答案D3下列命题中，真命题是()Am0R，使函数f(x)x2m0x(xR)是偶函数Bm0R，使函数f(x)x2
48、m0x(xR)是奇函数CmR，使函数f(x)x2mx(xR)都是偶函数DmR，使函数f(x)x2mx(xR)都是奇函数解析由函数奇偶性概念知，当m00时，f(x)x2为偶函数，故选A.答案A4下列命题中的假命题是()Ax0R，lg x00Bx0R，tan x0CxR，x30Dx，tan xsin x解析当x1时，lg x0，故命题“x0R，lg x00”是真命题；当x时，tan x，故命题“x0R，tan x0”是真命题；由于x1时，x30，故命题“xR，x30”是假命题；当x时，tan x0sin x，故“x，tan xsin x”是真命题答案C5已知命题p1：函数y2x2x在R上为增函数，
49、p2：函数y2x2x在R上为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2和q4：p1(綈p2)中，真命题是()Aq1，q3 Bq2，q3 Cq1，q4 Dq2，q4解析命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真答案C二、填空题6命题：“xR，exx”的否定是_答案x0R，ex0x07已知命题p：x23x30；命题q：1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是_ 解析因为“綈q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，0，即2x3，所以q假时有x3或x2；p为真命题时，由x22x30，解得x1或x3，由得x3或1x2或x3，所以x的取值范围是(，
50、3)(1,23，)答案(，3)(1,23，)8若命题“xR，ax2ax20”是真命题，则实数a的取值范围是_解析当a0时，不等式显然成立；当a0时，由题意知得8a0.综上，8a0.答案8,0三、解答题9分别指出“pq”、“pq”、“綈p”的真假(1)p：梯形有一组对边平行；q：梯形有两组对边相等(2)p：1是方程x24x30的解；q：3是方程x24x30的解(3)p：不等式x22x10的解集为R；q：不等式x22x21的解集为.解(1)p真q假，“pq”为真，“pq”为假，“綈p”为假(2)p真q真，“pq”为真，“pq”为真，“綈p”为假(3)p假q假，“pq”为假，“pq”为假，“綈p”为
51、真10已知c0，且c1，设p：函数ycx在R上单调递减；q：函数f(x)x22cx1在上为增函数，若“pq”为假，“pq”为真，求实数c的取值范围解函数ycx在R上单调递减，0c1.即p：0c1，c0且c1，綈p：c1.又f(x)x22cx1在上为增函数，c.即q：0c，c0且c1，綈q：c且c1.又“pq”为真，“pq”为假，p与q一真一假当p真， q假时，c|0c1.当p假，q真时，c|c1.综上所述，实数c的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是()A ，R，使sin()sin sin BR，函数f(x)sin(2x)
52、都不是偶函数CmR，使f(x)(m1)xm24m3是幂函数，且在(0，)上单调递减Da0，函数f(x)ln2 xln xa有零点解析对于A，当0时，sin()sin sin 成立；对于B，当时，f(x)sin(2x)cos 2x为偶函数；对于C，当m2时，f(x)(m1)xm24m3x1，满足条件；对于D，令ln xt，a0，对于方程t2ta0，14(a)0，方程恒有解，故满足条件综上可知，选B.答案B2(2013衡水二模)已知命题p：“x0R，使得x2ax010成立”为真命题，则实数a满足()A1,1) B(，1)(1，)C(1，) D(，1)解析“x0R，x2ax010”是真命题，即不等式
53、x22ax10有解，(2a)240，得a21，即a1或a1.答案B二、填空题3(2014宿州检测)给出如下四个命题：若“pq”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a 2b1”；“xR，x211”的否定是“x0R，x11”；在ABC中，“AB”是“sin Asin B”的充要条件其中不正确的命题的序号是_解析若“pq”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以不正确；正确；“xR，x211”的否定是“x0R，x11”，所以不正确；在ABC中，若AB，则ab，根据正弦定理可得sin Asin B，所以正确故不正确的命题有.答案三、解答题4已知命题p：方
54、程x2mx10有两个不等的负根；命题q：方程4x24(m2)x10无实根若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围解若方程x2mx10有两个不等的负根，则解得m2，即命题p：m2.若方程4x24(m2)x10无实根，则16(m2)21616(m24m3)0，解得1m3，即q：1m3.因“p或q”为真，所以p，q至少有一个为真，又“p且q”为假，所以命题p，q至少有一个为假，因此，命题p，q应一真一假，即命题p为真、命题q为假或命题p为假、命题q为真或解得：m3或1m2，即实数m的取值范围是(1,23，)基础回扣练集合与常用逻辑用语(对应学生用书P225)(建议用时：60分钟)一、选择题1
55、(2014深圳二次调研)已知集合A0,1，则满足条件AB2,0,1,3的集合B共有()A1个 B2个 C3个 D4个解析由题知B集合必须含有元素2,3，可以是2,3，2,1,3，2,0,3，2,0,1,3，共4个，故选D.答案D2(2014济南4月模拟)已知集合Ax|x1|2，Bx|log2x2，则AB()A(1,3) B(0,4) C(0,3) D(1,4)解析将两集合分别化简得Ax|1x3，Bx|0x4，故结合数轴得ABx|1x3x|0x4x|0x3答案C3(2014滁州模拟)定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB，设A1,2，B0,2，则集合A*B的所有元素之和是()A0 B2 C3
56、 D6解析zxy，xA，yB，且A1,2, B0,2，z的取值有：100；122；200；224.故A*B0,2,4集合A*B的所有元素之和为0246.答案D4(2013陕西五校质检)已知两个非空集合Ax|x(x3)4，Bx|a，若ABB，则实数a的取值范围是()A(1,1) B(2,2)C0,2) D(，2)解析解不等式x(x3)4，得1x4，所以Ax|1x4；又B是非空集合，所以a0，Bx|0xa2而ABBBA，借助数轴可知a24，解得0a2，故选C.答案C5(2014厦门质检)若集合P1,2,3,4，Qx|0x5，xR，则下列论断正确的是()AxP是xQ的充分不必要条件BxP是xQ的必要
57、不充分条件CxP是xQ 的充分必要条件DxP是xQ的既不充分也不必要条件解析P为Q的真子集，故P中元素一定在Q中，反之不成立故选A.答案A6(2013湖南卷)“1x2”是“x2”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析当1x2时，必有x2；而x2时，如x0，推不出1x2，所以“1x2”是“x2”的充分不必要条件答案A7(2014长沙模考(二)下列命题错误的是()A命题“若x23x20，则x1”的逆否命题为“若x1，则x23x20”B对命题p：任意xR，均有x2x10，则綈p为：存在xR，使得x2x10C“三个数a，b，c成等比数列”是“b”的充分不
58、必要条件D“x2”是“x23x20”的充分不必要条件解析对于A，命题“若x23x20，则x1”的逆否命题为“若x1，则x23x20”，因此选项A正确对于B，对命题p：任意xR，均有x2x10，则綈p为：存在xR，使得x2x10，因此选项B正确对于C，若a，b，c成等比数列，则b2ac，当b0时，b；若b，有可能a0，b0，c0，则a，b，c不成等比数列，因此“a，b，c成等比数列”是“b”的既不充分也不必要条件对于D，注意到由x2得x23x2(x1)(x2)0；反过来，由x23x20不能得知x2，如取x0时，x23x20，但此时02，因此选项D正确故选C.答案C8(2013深圳调研)下列命题为
59、真命题的是()A若pq为真命题，则pq为真命题B“x5”是“x24x50”的充分不必要条件C命题“若x1，则x22x30”的否命题为“若x1，则x22x30”D已知命题p：xR，使得x2x10，则綈p：xR，使得x2x10解析对于A，“p真q假”时，pq为真命题，但pq为假命题，故A错；对于C，否命题应为“若x1，则x22x30”，故C错；对于D，綈p应为“xR，使得x2x10”，所以D错；故选B.答案B9(2013太原检测)已知p：0，q：4x2xm0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A(2，) B(，2C2，) D6，)解析00x112x2，由题意知，222m0，即m6，故选D
60、.答案D10已知数列an是等比数列，命题p：“若a1a2a3，则数列an是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为()A1 B2 C3 D4解析若已知a1a2a3，则设数列an的公比为q，有a1a1qa1q2.当a10时，解得q1，此时数列an是递增数列；当a10时，解得0q1，此时数列an也是递增数列反之，若数列an是递增数列，显然有a1a2a3，所以命题p及其逆命题都是真命题由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p的否命题和逆否命题都是真命题，故选D.答案D二、填空题11(2014金华第二次统练
61、)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若I(MN)IN，则MN_.解析由Venn图可知NM，MNM.答案M12已知集合A0,2，B1，a2，若AB0,1,2,4，则实数a的值为_解析由题意知a24，所以a2.答案213已知f(x)ln(1x)的定义域为集合M，g(x)2x1的值域为集合N，则MN_.解析由对数与指数函数的知识，得M(1，)，N(1，)，故MN(1，)答案(1，)14已知命题p：“x0(0，)，x0”，命题p的否定为命题q，则q是“_”；q的真假为_(填“真”或“假”)解析全称命题的否定为特称命题，所以命题q为：x(0，)，x.答案x(0，)，x假15(2013海口模
62、拟)若命题“xR，使得x2(a1)x10”是真命题，则实数a的取值范围是_解析xR，使得x2(a1)x10是真命题，(a1)240，即(a1)24，a12或a12，a3或a1.答案(，1)(3，)16(2013昆明质检)下面有三个命题：关于x的方程mx2mx10(mR)的解集恰有一个元素的充要条件是m0或m4；m0R，使函数f(x)m0x2x是奇函数；命题“x，y是实数，若xy2，则x1或y1”是真命题其中真命题的序号是_解析中，当m0时，原方程无解，故是假命题；中，当m0时，f(x)x显然是奇函数，故是真命题；中，命题的逆否命题“x，y是实数，若x1且y1，则xy2”为真命题，故原命题为真命
63、题，因此为真命题答案三、解答题17已知集合Ax|x22x30，xR，Bx|x22mxm240，xR(1)若AB1,3，求实数m的值；(2)若ARB，求实数m的取值范围解Ax|1x3，Bx|m2xm2(1)AB1,3，得m3.(2)RBx|xm2，或xm2ARB，m23或m21.m5或m3.故实数m的取值范围是(，3)(5，)18已知命题p：关于x的不等式ax1(a0，a1)的解集是x|x0，命题q：函数ylg(ax2xa)的定义域为R，如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围解由关于x的不等式ax1(a0，a1)的解集是x|x0，知0a1；由函数ylg(ax2xa)的定义域为R，知不等式ax2xa0的解集为R，则解得a.因为pq为真命题，pq为假命题，所以p和q一真一假，当p假，q真时，由a1；当p真，q假时，由0a.综上，知实数a的取值范围是(1，).