1、湖南省益阳市箴言中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1（5分）设集合A=xR|x1|2，B=yR|y=2x，xR，则AB=（）AB0，3）C（0，3）D（1，3）2（5分）已知集合A=x|5xa0，B=x|6xb0，a，bN，且ABN=2，3，4，则整数对（a，b）的个数为（）A20B25C30D423（5分）设函数f（x）=ln（1+x）x，记a=f（1），b=f（），c=f（），则（）AbacBcbaCabcDacb4（5分）设f（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）ABCD5（5分
2、）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A2B4C2D46（5分）设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x1D，存在唯一的x2D，使得 成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的均值为C，现在给出下列4个函数：y=x3y=4sinxy=lgxy=2x，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（）ABCD7（5分）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）ax在区间（0，3上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（，e）C（0，D，）8（5分）设函数f（x）的定义域为R，且f（x+2）=f（x+1）f（x），若f（4）=2则函数的最小值是
3、（）A1B3Cln3Dln29（5分）如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP=x（0x2），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）ABCD10（5分）已知函数fM（x）的定义域为实数集R，满足（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且AB=，则的值域为（）AB1CD二、填空题（每题5分）11（5分）已知命题P：“对xR，mR，使4x2x+1+m=0”，若命题P是假命题，则实数m的取值范围是12（5分）若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且
4、在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”已知函数h（x）=x2（b1）x+b在（0，1上是“弱增函数”，则实数b的值为13（5分）已知函数f（x）=alnxbx2图象上一点P（2，f（2）处的切线方程为y=3x+2ln2+2，若方程f（x）+m=0在区间，e内有两个不等实根，则实数m的取值范围是（其中e为自然对数的底数）14（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且在0，2上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=15（5分）已知函数f（x）、g（x）分别是二次函数f（x）和三次函数g（x）的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h（x）=f（x）
5、g（x），则h（1），h（0），h（1）的大小关系为三、解答题16（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（）求A的大小；（）若a=6，求b+c的取值范围17（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点（）证明：PA平面BDE；（）求二面角BDEC的平面角的余弦值；（）在棱PB上是否存在点F，使PB平面DEF？证明你的结论18（12分）设f（x）=x2+x，用g（n）表示f（x）当xn，n+1（nN*）时的函数值中整数值的个数（1）求g（n）的表达式（2）设an=（nN*），求S2n=（1）k1ak（3）设
6、bn=，Tn=b1+b2+bn，若Tnl（lZ），求l的最小值19（13分）经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元已知燃油价格为每升（L）7.5元（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？20（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆
7、C过点（）求椭圆C的标准方程；（）设点T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且，若的取值范围21（13分）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围湖南省益阳市箴言中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1（5分）设集合A=xR|x1|2，B=yR|y=2x，xR，则AB=（）AB0，3）C（0，3）D（1，3）考点：交集及其运
8、算 专题：集合分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可解答：解：由A中不等式变形得：2x12，即1x3，A=（1，3），由B中y=2x0，得到B=（0，+），则AB=（0，3），故选：C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知集合A=x|5xa0，B=x|6xb0，a，bN，且ABN=2，3，4，则整数对（a，b）的个数为（）A20B25C30D42考点：交集及其运算 专题：计算题分析：由不等式的解法，可得A、B，进而由ABN=2，3，4，可得与的取值范围，进而由a，bN，可得a、b的值，进而可得答案解答：解：由集合
9、A中的不等式5xa0，解得x，A=x|x，由集合B中的不等式6xb0，解得：x，B=x|x，ABN=2，3，4，45，12，解得：20a25，6b12，又a，bN，a=20，21，22，23，24，b=6，7，8，9，10，11，则整数对（a，b）的个数为30故选C点评：本题考查集合的交集运算，有一定的难度，解题时，要注意ABN=2，3，4这一条件的运用3（5分）设函数f（x）=ln（1+x）x，记a=f（1），b=f（），c=f（），则（）AbacBcbaCabcDacb考点：利用导数研究函数的单调性 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：利用导数法分析出f（x）在（0，+）上的单调性
10、，进而可比较出a，b，c三个数的大小解答：解：f（x）=ln（1+x）x，f（x）=1=，当x0时，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上单调递减，又a=f（1），b=f（），c=f（），cba，故选：B点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中利用导数法分析出函数的单调性是解答的关键4（5分）设f（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）ABCD考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义 专题：压轴题分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=
11、f（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数解答：解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D点评：考查函数的单调性问题5（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A2B4C2D4考点：定积分 专题：函数的性质及应用分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，
12、曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是（4xx3）dx，而（4xx3）dx=（2x2x4）|=84=4，曲边梯形的面积是4，故选：D点评：考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题6（5分）设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x1D，存在唯一的x2D，使得 成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的均值为C，现在给出下列4个函数：y=x3y=4sinxy=lgxy=2x，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（）ABCD考点：函数恒成立问题 专题：新定义分析：由题意可得，均值为2，则即f（x1）+f（
13、x2）=4，要满足已知的条件，则必需使所求的函数单调函数，也不能为周期函数，还得让函数满足值域为R，然后结合已知函数逐项排除解答：解：由题意可得，均值为2，则即f（x1）+f（x2）=4：y=x3在定义域R上单调递增，对应任意的x1，则存在唯一x2满足x13+x23=4正确：y=4sinx，满足4sinx1+4sinx2=4，令，则根据三角函数的周期性可得，满足sinx2=0的x2无穷多个，错误y=lgx在（0，+）单调递增，对应任意的x10，则满足lgx1+lgx2=4的x2唯一存在正确y=2x满足，令x1=3时x2不存在错误故选D点评：本题主要考查了函数的新定义，解决问题的关键是要根据已知
14、定义，把题中的定义进行转化，要求考生具备阅读转化的能力7（5分）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）ax在区间（0，3上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（，e）C（0，D，）考点：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3上有三个零点，进行判断解答：解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：当a0时，显然，不合乎题意，当a0时，如图示，当x（0，1时，存在一个零点，当x1时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnxax，（x（1，3）g（x）=，若g（x）0，
15、可得x，g（x）为减函数，若g（x）0，可得x，g（x）为增函数，此时f（x）必须在1，3上有两个零点， 解得，在区间（0，3上有三个零点时，故选D点评：本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等8（5分）设函数f（x）的定义域为R，且f（x+2）=f（x+1）f（x），若f（4）=2则函数的最小值是（）A1B3Cln3Dln2考点：基本不等式；函数的值 专题：计算题分析：先根据条件f（x+2）=f（x+1）f（x）可得函数的周期性，然后将f转化成f（4），根据基本不等式求最值的方法即可得答案解答：解：f（x+2）=f（x+1）f（x），f（x+3）=f（x+2）f（x+1）将+得f（x+3
16、）=f（x）f（x+6）=f（x+3）+3=f（x+3）=f（x）f=f（7+3346）=f（7）=f（4+3）=f（4）=2=，由基本不等式可得，g（x），当且仅当，即x=0时，上式取到等号故的最小值为：3故选B点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的周期性和基本不等式求最值，属于中档题9（5分）如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP=x（0x2），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）ABCD考点：函数的图象 专题：综合题；函数的性质及应用分析：由题
17、意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项解答：解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tanBGM=，即BGM=，所以tanBGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C点评：由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面
18、解答较难时常见的方法10（5分）已知函数fM（x）的定义域为实数集R，满足（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且AB=，则的值域为（）AB1CD考点：函数的值域；交集及其运算 专题：新定义分析：对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可解答：解：当xCR（AB）时，fAB（x）=0，fA（x）=0，fB（x）=0，F（x）=1同理得：当xB时，F（x）=1；当xA时，F（x）=1故F（x）=，即值域为1故选B点评：本题主要考查了函数的值域、分段函数，解答关键是对于新定义的正确理解，属于创新型题目二、填空题（每
19、题5分）11（5分）已知命题P：“对xR，mR，使4x2x+1+m=0”，若命题P是假命题，则实数m的取值范围是m1考点：命题的否定 专题：计算题分析：利用命题的否定与原命题真假相反得到命题p是真命题，即方程有解；分离参数，求二次函数的值域解答：解：命题p是假命题，即命题P是真命题，即关于x的方程4x2x+1+m=0有实数解，m=（4x2x+1）=（2x1）2+1，所以m1故答案为m1点评：本题考查P与p真假相反；解决方程有解问题即分离参数求函数值域12（5分）若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”已知函数h（x）=x2（b1）x
20、+b在（0，1上是“弱增函数”，则实数b的值为1考点：奇偶性与单调性的综合 专题：新定义分析：由“弱增函数”的定义知h（x）在（0，1）上递增，在（0，1）上递减，分别根据二次函数、“对勾函数”的单调性求出b的取值范围，二者取交集即可求得b值解答：解：因为h（x）在（0，1上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1）上递增，在（0，1）上递减（1）由h（x）在（0，1）上递增，得0，解得b1；（2）由=x+（b1）在（0，1）上递减，得若b0，=x+（b1）在（0，+）上递增，不合题意；若b0，由=x+（b1）在（0，1）上递减，得1，解得b1，综上，得b1，由（1）（2），得b=1故答案为：1
21、点评：本题考查函数的单调性问题，熟练掌握常见函数如：二次函数、“对勾函数”的单调性可以为我们迅速解决问题提供帮助13（5分）已知函数f（x）=alnxbx2图象上一点P（2，f（2）处的切线方程为y=3x+2ln2+2，若方程f（x）+m=0在区间，e内有两个不等实根，则实数m的取值范围是（1，2+（其中e为自然对数的底数）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：对函数f（x）进行求导，根据f（2）=3得到关于a、b的关系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出a，b，再确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据
22、单调性与其极值点确定关系式得到答案解答：解：函数f（x）=alnxbx2的导数f（x）=2bx，由切线方程得f（2）=4b，f（2）=aln24b4b=3，且aln24b=6+2ln2+2=2ln24解得a=2，b=1则f（x）=2lnxx2，令h（x）=f（x）+m=2lnxx2+m，则h（x）=2x，令h（x）=0，得x=1（x=1舍去）在，e内，当x，1）时，h（x）0，即h（x）是增函数；当x（1，e时，h（x）0，即h（x）是减函数则方程h（x）=0在，e内有两个不等实根的充要条件是，即1m2+故答案为：（1，2+点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大
23、于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题14（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且在0，2上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：根据函数的奇偶性和周期性，以及分段函数的表达式代入即可得到结论解答：解：由f（x+4）=f（x），得函数的周期是4，则f（）=f（8）=f（），f（x）是奇函数，f（）=f（）=，f（）=f（8）=f（）=f（）=sin=sin，则f（）+f（）=，故答案为：点评：本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性和周期性以及分段函数的
24、表达式进行转化是解决本题的关键15（5分）已知函数f（x）、g（x）分别是二次函数f（x）和三次函数g（x）的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h（x）=f（x）g（x），则h（1），h（0），h（1）的大小关系为h（0）h（1）h（1）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义 专题：计算题分析：求出函数h（x）=f（x）g（x）的解析式，然后将1，0，1代入比较即可求出h（1），h（0），h（1）的大小关系解答：解：二次函数f（x）的导函数是一次函数，三次函数g（x）的导函数是二次函数一次函数过点（0，0），（1，1），f（x）=x，f（x）=x2+C，二次函数过点（1，
25、1），（1，1），（0，0），g（x）=x2，g（x）=x3+C，h（x）=f（x）g（x）=x2x3+CC记CC=m为常数则h（1）=+m，h（0）=m，h（1）=+mh（0）h（1）h（1）故答案为：h（0）h（1）h（1）点评：本题主要考查根据导函数求原函数，考查比较函数值大小，搞清导函数与原函数之间的关系是解题的关键，属于中档题三、解答题16（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（）求A的大小；（）若a=6，求b+c的取值范围考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用 专题：解三角形分析：（）利用正弦定理把原等式转化为关于A的等式，求得tanA的值，进而求得A（
26、）先根据三角形三边的关系求得b+c的一个范围，进而利用余弦定理求得b+c的关系式，利用基本不等式求得b+c的范围，最后取交集即可解答：解：（）由正弦定理知=，sinA=cosA，即tanA=，0A，A=（）由已知：b0， c0，b+ca=6，由余弦定理得36=b2+c22bccos=（b+c）23bc（b+c）2（b+c）2=（b+c）2，（当且仅当b=c时取等号），（b+c）2436，又b+c6，6b+c12，即b+c的取值范围是（6，12点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用结合了基本不等式知识的考查，综合性较强17（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面
27、ABCD，PD=DC，E是PC的中点（）证明：PA平面BDE；（）求二面角BDEC的平面角的余弦值；（）在棱PB上是否存在点F，使PB平面DEF？证明你的结论考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（I）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA平面BDE（II）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角BDEC的余弦值（）由已知得PBDE，假设棱PB上存在点F，使PB平面DEF，设，（01），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF=，使得P
28、B平面DEF解答：（I）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，2），=（0，1，1），设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y=1，得=22=0，又PA不包含于平面BDE，PA平面BDE，（II）解：由（）知=（1，1，1）是平面BDE的一个法向量，又=（2，0，0）是平面DEC的一个法向量设二面角BDEC的平面角为，cos=cos，=故二面角BDEC的余弦值为（）解：=（2，2，2），=（0，1，1），=0，PBDE，假设棱PB上存在点
29、F，使PB平面DEF，设，（01），则=（2，2，2），=（2，2，22），由=0，得42+422（22）=0，（0，1），此时PF=，即在棱PB上存在点F，PF=，使得PB平面DEF点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角余弦值的求法，考查满足直线与平面垂直的点的位置的确定，解题时要注意空间思维能力的培养18（12分）设f（x）=x2+x，用g（n）表示f（x）当xn，n+1（nN*）时的函数值中整数值的个数（1）求g（n）的表达式（2）设an=（nN*），求S2n=（1）k1ak（3）设bn=，Tn=b1+b2+bn，若Tnl（lZ），求l的最小值考点：数列的求和 专题：综合题；等差
30、数列与等比数列分析：（1）根据二次函数f（x）=x2+x的图象形状，分析出当xn，n+1（nN*）时，f（x）的单调性和最值，进而可得答案；（2）利用并项求和，可得S2n=（1）k1ak（3）利用错位相减法求和，即可求l的最小值解答：解（1）对nN*，函数f（x）=x2+x在n，n+1（nN*）单增，当x=n时，函数f（x）取最小值n2+n；当x=n+1时，函数f（x）取最大值（n+1）2+n+1=n2+3n+2；故f（x）的所有整数值的个数为（n2+3n+2）（n2+n）+1=2n+3个；（2）an=n2，故S2n=（1222）+（3242）+（2n1）2（2n）2=3+7+（4n1）=n（
31、n+1）；（3）由bn=得Tn=+，且Tn=+两式相减，得Tn=于是Tn=7，故7l且lZ，则l的最小值是7点评：本题考查二次函数的图象和性质，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（13分）经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元已知燃油价格为每升（L）7.5元（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行
32、驶，才能使运送这车水果的费用最少？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；分段函数的应用；函数模型的选择与应用 专题：综合题分析：（1）由题意，当0v50时，y=，当v50时，=，由此能将y表示成速度v的函数关系式（2）当0v50时，是单调减函数，故v=50时，y取得最小值，当v50时，由导数求得当v=100时，y取得最小值+600=2400，由于31502400，知当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少解答：解：（1）由题意，当0v50时，y=30=，当v50时，=，（2）当0v50时，是单调减函数，故v=50时，y取得最小值，当v50时，由=0，得v=100当50v100时
33、，y0，函数单调递增，当v=100时，y取得最小值+600=2400，由于31502400，所以，当v=100时，y取得最小值答：当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点解题时要认真审题，仔细解答20（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C过点（）求椭圆C的标准方程；（）设点T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且，若的取值范围考点
34、：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1设椭圆C的标准方程为，由于椭圆C过点代入椭圆方程可得，又a2=b2+c2，联立解得即可；（II）对直线l的斜率分类讨论：当直线l的斜率不存在时，即=1时，直接求出当直线l的斜率存在时，即2，1）时，设直线l的方程为y=k（x1），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量相等，可得，且0进而得到：由2，1）可得到k2的取值范围由于=（x12，y1），=（x22，y2），可得=，通过换元，令，即可得出解答：解：（）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准
35、方程为，椭圆C过点，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2故椭圆C的标准方程为（）1）当直线l的斜率不存在时，即=1时，又T（2，0），2）当直线l的斜率存在时，即2，1）时，设直线l的方程为y=k（x1），由得（1+2k2）x24k2x+2k22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），显然y10，y20，则由根与系数的关系，可得：，且0将式平方除以式得：，由2，1）得即故，解得=（x12，y1），=（x22，y2），=（x1+x24，y1+y2），又，故=，令，即，综上所述：点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分
36、类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题21（13分）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进
37、而求出函数f（x）的极值；（）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（）先把f（x0）g（x0）成立转化为h（x0）0，即函数在1，e上的最小值小于零；再结合（）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围解答：解：（）f（x）的定义域为（0，+），（1分）当a=1时，f（x）=xlnx，（2分）x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1（4分）（），（6分）当a+10时，即a1时，在（0，1+a）上h（x）0，在（1+a，+）上h（x）0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，
38、在（1+a，+）上单调递增；（7分）当1+a0，即a1时，在（0，+）上h（x）0，所以，函数h（x）在（0，+）上单调递增（8分）（ III）在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，即在1，e上存在一点x0，使得h（x0）0，即函数在1，e上的最大值小于零（9分）由（）可知即1+ae，即ae1时，h（x）在1，e上单调递增，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）当1+a1，即a0时，h（x）在1，e上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a0可得a2；（11分）当11+ae，即0ae1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0ln（1+a）1，所以，0aln（1+a）a故h（1+a）=2+aaln（1+a）2此时，h（1+a）0不成立（12分）综上讨论可得所求a的范围是：或a2（13分）点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值
