1、巧用勾股定理解决几何问题 一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧1. 构造直角三角形根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构造直角三角形。如：在ABC中，AB=AC=5，BC=8，求三角形ABC的面积。 答案：12。2. 利用勾股定理列方程将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。（1）在翻折问题中，大多数求值都是这种应用如：如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为多少？ 答案：3。（2）求折断物体长度时，使用方程如：一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度
2、是多少？答案：尺。3. 分类讨论思想已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论。如：已知一个直角三角形的两边长是和，求第三边的长。答案：5cm或cm。4. 数形结合思想几何与代数问题的综合。如：在一棵树的5米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树10米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？答案：7.5米。二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律1. 含有30角的直角三角形（1）30角所对的直角边是斜边的一半；（2）60角所对的直角边是30角所对直角边的倍。2. 等边三角形高等于边长的倍。总结：（1）勾股定理的几何应用是学习的重点
3、内容，要在直角三角形中灵活运用。（2）要有意识的训练自己辅助线的添加，经常性的思考不同问题的不同添加法。例题 A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3A1B，垂足为A3，A3A4A2B，垂足为A4，A4A5A3B，垂足为A5，An+1An+2AnB，垂足为An+2，则线段An+1An+2（n为自然数）的长为（）A. B. C. D. 解析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及A3A4的长，找出规律即可解答答案：A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3A1B，A1B=，A1A2B是等腰直角三角形， A2A3=A1A3=A1B=，同理，A2A3B是等腰直角
4、三角形，A2A3=A3B=，A3A4A2B，A2B=a，A3A4=A2A4=A1B=，线段An+1An+2（n为自然数）的长为故选A。点拨：规律性题目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性质，解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长，并找出规律分类讨论求值近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查同学们的数学基本知识与方法，而且考查了同学们思维的深刻性。在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑不同情况下的求值。例题 在ABC中，AB=13，AC=15，BC
5、边上的高AD=12，则边BC的长是（）A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 解析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD、CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD答案：解：（1）如图，锐角ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12， 在RtABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则BD=5，在RtACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9，故BC的长为BD+DC=9+5=14； （2）钝角ABC
6、中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12， 在RtABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则BD=5，在RtACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9，故BC的长为DC-BD=9-5=4综上可得BC的长为14或4故选C（1） （2）生活中的勾股定理方案设计在实际生活中应用勾股定理。例题 某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a=6米，b=8米现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以b为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长为（）米A. 32
7、或20+4 B. 32或36或 C. 32或或20+4 D. 32或36或或20+4解析：由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是ABD，则应分为AB=AD，AD=BD两种情况进行讨论答案：解：如图所示：在RtABC中，AC=8m，BC=6m，AB=10m，如图1，当AB=AD时，DC=BC=6m，此时等腰三角形花圃的周长=10+10+6+6=32（m）；如图2：当AD=BD时，设AD=BD=x（m）；RtACD中，BD=x（m），CD=（x-6）m；由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即（x-6）2+82=x2，解得x=；此时等腰三角形绿地的周长=2+10=（m）当AB
8、=BD时，在RtACD中，AD=4，等腰三角形绿地的周长=210+4=20+4（m）故选C（答题时间：45分钟）一、选择题1. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；，根据以上规律的第组勾股数是（）A. 14、48、49 B. 16、12、20 C. 16、63、65 D. 16、30、342. 如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（）A. 等于1米 B. 大于1米 C. 小于1米 D. 不能确定*3. 已知ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形，以RtAB
9、C的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是（）A. cm B. cm C. 2ncm D. cm*4. 如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A. 5S6 B. 6S7 C. 7S8 D. 8S9*5. 如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点D、E在BC上，且DAE=45，现将ACE绕点A旋转至ABE处，连接DE和EE，则下列结论中ABDEADE=BAEAEE是等腰直角三角形ADEEBD2+CE2=DE2正确的有（
10、）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题：*6. 如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m，且C、D两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走 m*7. 如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45降至30已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是 m*8. 勾股定理是初等几何中的一个基本定理这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形
11、的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上若正方形ABCD的面积=16，AE=1；则正方形EFGH的面积= *9. 图（1）是一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图（2）；经过第2次“生长”后变成图（3），经过第3次“生长”后变成图（4），如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，这就是美丽的“勾股树”已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律，请你利用这一规律
12、求：经过第一次“生长”后的所有正方形的面积和为_，经过第10次“生长”后，图中所有正方形的面积和为： 三、解答题：*10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是多少？*11. 已知：如图，点O是等腰直角ABC斜边AB的中点，D为BC边上任意一点操作：在图中作OEOD交AC于E，连接DE探究OD、BD、CD三条线段之间有何等量关系？请探究说明*12. 如图，平面直角坐标系x
13、oy中，A（1，0）、B（0，1），ABO的平分线交x轴于一点D （1）求D点的坐标； （2）如图所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足MON=45，下列结论BM+AN=MN，BM2+AN2=MN2，其中有且只有一个结论成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论（1） （2）1. C 解析：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1，故可得第组勾股数是16，63，65故选C2. B 解析：如图，AC=EF=10米，AB=8米，AE=1米，求CF；B=90，由勾股定理得，BC=6
14、米，又AE=1米，BE=7米，EF=10米，由勾股定理得，BF=米，即7，-61故选B3. B 解析：等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，第二个（也就是ACD）的斜边长：1=；第三个，直角边是第一个的斜边长，所以它的斜边长：=（）2；第n个，直角边是第（n-1）个的斜边长，其斜边长为：（）n1故选B4. B解析：正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程S=5+=5+即6S7故选B5. D 解析：（1）ABC是等腰直角三角形，BAC=90，ABC=C=45，ADE=ABC+BAD，BAE=DAE+BAD，DAE=45，ADE=BAE；正确。（2）ACE绕点A旋转至ABE处，AE=AE，EAC=EA
15、B，BAC=90，EAB +BAE=90，EAB+BAE=90，AEE是等腰直角三角形；正确。（3）DAE=45，BAC=90，EAC+BAD=45，EAC=EAB，DAE=EAD=45，AEE是等腰直角三角形，ADEE，正确。（4）C=EBA=DBA=45，EBD=90，EC=EB，BD2+CE2=DE2，正确，综上所述项正确故选D6. 1300 解析： 解：作A关于CD的对称点E，连接BE，并作BFAC于点F则EF=BD+AC=700+500=1200m，BF=CD=500m在RtBEF中，根据勾股定理得：BE=1300米7. 解析：设AC=xm，ABC=BAC=45，BC=xm，滑梯AB
16、的长为3m，2x2=9，解得x=，D=30，AD=2AC， AD=m，故答案为：。8. 10 解析： 四边形EFGH是正方形，EH=FE，FEH=90，AEF+AFE=90，AEF+DEH=90，AFE=DEH，在AEF和DHE中，AEFDHE（AAS），AF=DE，正方形ABCD的面积为16，AB=BC=CD=DA=4，AF=DE=AD-AE=4-1=3，在RtAEF中，EF=，故正方形EFGH的面积=10故答案为：109. 2；11 解析：如图2：设直角三角形的三条边分别是a、b、c根据勾股定理，得a2+b2=c2，即：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1；所有正方形的面积之
17、和为2=（1+1）1；图（3）正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，所有正方形的面积之和为3=（2+1）1推而广之，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（n+1）1，则：“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（10+1）1=11故答案为：2；11。10. 解：图中正方形ABCD、正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，CG=NG，CF=DG=NF，S1=（CG+DG）=CG+
18、DG+2CGDG=GF+2CGDG，S2=GF，S3=（NG-NF）=NG+NF-2NGNF=GF2-2NGNF，S1+S2+S3=10=GF+2CGDG+GF+ GF-2NGNF=3GF，S2的值是：11. 解：如图，关系为2OD2=BD2+CD2作OEOD交AC于E，连接OC、DE，得到OBDOCE从而RtDCE与RtEOD中，CE2+DC2=DE2，OD2+OE2=DE2由BD=CE，OD=OE，所以2OD2=BD2+CD2，（也可过O作BC垂线）12. 解：（1）过点D作DEAB于E，设D点坐标为（m，0），根据题意得：OB=1，OA=1，OD=m；在RtAOB中，AB2=OA2+OB2，所以AB=，A=45；在DOB和DEB中，DOBEDB（AAS），OD=ED=m，OB=EB=1；在AED中，A=45，AED=90，DE=AE=m，1+m=，m=-1，D点坐标为（-1，0）（2）结论正确；过点O作OEOM，并使OE=OM，连接NE，AE在MOB和EOA中，MOBEOA（SAS），BM=AE，B=OAE，在MON和EON中，MONEON（SAS）；MN=EN，又NAE=NAO+OAE=90，NAE为直角三角形，NA2+AE2=NE2BM2+AN2=MN2，即结论正确