1、3.4 不等式的实际应用5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.一元二次不等式ax2+2x-1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A.a1 B.a1且a0C.a-1 D.a-1且a0解析：一元二次不等式有两个不等的实数根，其判别式=4+4a0，即a-1且二次项系数不能为0，即a0.答案：D2.某企业生产一种产品x(百件)件的成本为(3x-3)万元,销售总收入为(2x2-5)万元,如果要保证该企业不亏本,那么至少生产该产品数为_(百件).解析：要不亏本只需收入不小于成本,即2x2-5-(3x-3)0,即2x2-3x-20,解之得x或x2,而产品件数不能是负数,所以,x的最小值为2.答案：
2、23.已知不等式ax2+bx-20的解集为(1,2),那么实数a=_,b=_.解析：根据不等式解集的特点可知a0,且方程ax2+bx-2=0的两个实数根分别为1和2,代入方程或者利用根与系数的关系即可求出a,b的值.答案：-1 34.不等式x2-ax+b0的解集为x|2x3,则a=_,b=_.解析：根据条件2和3是方程x2-ax+b=0的两个实根,由根与系数的关系可得即a=5,b=6.答案：5 610分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.关于x的一元二次不等式x2-ax+2a=0有一个正根和一个负根,那么实数a的取值范围是( )A.a0 B.a0 C.a1 D.a1解析：令函数f(x)= x2
3、-ax+2a,则f(x)与x轴的两个交点分别在y轴的两侧,结合二次函数的图象可知,应有f(0)= 2a0,即a0.答案：A2.乘某种出租车，行程不足4千米时，车票10.40元，行程不足16千米时，大于或等于4千米的部分，每0.5千米车票0.8元，计程器每0.5千米计一次价.例如当行驶路程x（千米）满足12x12.5时，按12.5千米计价；当12.5x13时，按13千米计价.若某人乘车从A到B共付费28元，则从A地到B地行驶的路程m千米满足( )A.10.5m11 B.11m11.5C.14.5m15 D.15m15.5解析：可以根据条件首先判断出m的大致范围,然后代入验证即可.当m=15时，付
4、费10.40+（15-4）20.8元=28元.答案：D3.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价1 m2分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为_元.解析：设池底一边长为x m,水池的总造价为y元,则依题意得y=4120+2(2x+2)80=480+320(x+)(x0).因为x+=4,当且仅当x=,即x=2时,取等号.所以,y的最小值为1 760.答案：1 7604.已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为_.解析：设直线l为=1(a0,b0)，则有关系=1对=1应用二元均值不等式
5、，得1=，即ab8于是，OAB面积为S=ab4从而应填4答案：45.定义域为-1，1的函数f(x)=kx+2k+1,其值域既有正数也有负数,则实数k的取值范围是_.解析：由已知可得f(x)=kx+2k+1是单调函数,其值域既有正数也有负数,应有f(-1)f(1)0且k0,即(k+1)(3k+1)0且k0.所以k-1.答案：k-16.若函数f(x)=的定义域为R,求实数k的取值范围. 解:函数的定义域为R等价于函数y=kx2-6kx+k+80对于一切xR都成立.(1)k=0时,y=80恒成立;(2)当k0时,解之得0k1,所以0k1.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.不等式ax2+bx+
6、20的解集是x|x，则a-b等于( )A.-4 B.14 C.-10 D.10解析：由ax2+bx+20的解集是x|x,知、是方程ax2+bx+2=0的两根，且a0,由韦达定理得：a-b=-10.答案：C2.如图甲所示，P是球O的直径AB上的动点，PA=x，过P点且与AB垂直的截面面积记为y，则y=f（x）的大致图象是图乙中的（ ） 图甲 图乙解析：不妨设球的半径为R（常数）.PA=x，OP=R-x.截面圆的半径r=.y=r2=2Rx-x2（0xR）.选A.答案：A3.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下关系：y=-2x
7、2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产摩托车数量为( )A.4149 B.5159 C.6169 D.7179解析：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意，得-2x2+220x6 000.移项整理，得x2-110x+3 0000.因为=1000，所以方程x2-110x+3 000=0有两个实数根x1=50，x2=60.由二次函数y=x2-110x+3 000的图象得不等式的解为50x60.因为x只能取整数值，所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益
8、.答案：B4.若实数a、b满足a2+b2=1,且ca+b恒成立,则实数c的取值范围是_.解析：只需使c小于a+b的最小值,根据条件设a=cos,b=sin,则a+b=cos+sin=sin(+),所以a+b的最小值为,故只需c.答案：(-,)5.在ABC中,三边a、b、c的对角分别为A、B、C,若2b=a+c,则角B的取值范围是_.解析：因为2b=a+c,所以b=,所以,cosB=,所以,0B.答案：0B6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_吨.解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都
9、购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为4+4x万元，4+4x160，当=4x，即x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.答案：207.某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用为9 000元；汽车的维修费各年为：第一年2 000元，第二年4 000元，第三年6 000元，以每年2 000元的增量递增，问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用为最少）?（计算总维修费可用：年数）解:设使用n年平均费用为y万元，则y=+12+1=3(万元).当且仅当，即n=10时等号成立.答：最多使用10年报废最合算
10、.8.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解:(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,租出的车辆数为=12,所以这时租出了88辆.(2)设每辆车的租金定为x元,则租赁公司的月收益为f(x)=(100-)(x-150)-50,整理得f(x)=+162x-21 000=(x-4 050)2+307 0
11、50.所以,当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为307 050元.9.某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解:设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800.蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).所以S808-=648(m2).当a=2b,即a=40(m
12、),b=20(m)时，S最大值=648(m2)答：当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.10.(2006高考湖南卷,理20)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度含污物体的清洁度定义为:为0.8,要求清洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1a3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(xa-1),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8c0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.(1)分别求出方案甲以及c=0.95时方
13、案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(2)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量的影响.解:(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.由c=0.95得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程:=0.99,解得y=4a,故z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19与4a+3.因为当1a3时，x-z=4(4-a)0,即xz,故方案乙的用水量较少.(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（1）得x=,y=a(99-100c).（*）于是x+y=+a(99-100c)=+100a(1-c)-a-1.当a为定值时,x+y-a-1=w-a+-1.当且仅当=100a(1-c)时等号成立.此时c=（不合题意，舍去）或c=(0.8,0.99).将c=代入（*）式得x=-1a-1,y=-a.故c=时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为与-a, 最少总用水量是T(a)=-a+-1.当1a3时, T(a)是增函数(可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a的值的最少总用水量也最少.
