1、第1讲 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（ ）A.ab B. ab C.0,1,3 D.a+b=ab答案 B2对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析若ab0，则ab.ab；若ab，则ab，ab0不一定成立答案A3已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且20，那么 ()A. B.2C.3 D2解析由20可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故.答案A4设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，
2、则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是 ()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC、D可能同时在线段AB上DC、D不可能同时在线段AB的延长线上解析若A成立，则，而0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则01，且01，2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，1，且1，2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确答案D5已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的 ()AAB边中线的中点BAB边中线的三等分点(非重心)C重心DAB边的中点解析设AB的
3、中点为M，则，(2)，即32，也就是2，P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点答案B6在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对解析由已知8a2b2(4ab)2.，又与不平行，四边形ABCD是梯形答案C二、填空题7设a，b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为_解析2ab，又A，B，D三点共线，存在实数，使.即p1.答案18. 如图，在矩形ABCD中，|1，|2，设a，b，c，则|abc|_.解析根据向量的三角形法则有|abc|2|4.答案49若点O是ABC所在平面内
4、的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_解析2，|.故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形答案直角三角形10若M为ABC内一点，且满足，则ABM与ABC的面积之比为_解析 由题知B、M、C三点共线，设，则：()，(1)，.答案 三、解答题11如图所示，ABC中，DEBC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设a，b，用a，b分别表示向量，. 解b，ba，(ba)，(ba)，(ab)，(ab)12 (1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果2e13e2，6e123e2，4e18e2，求证：A，B，D三点共线(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e
5、1e2，若A，B，D三点共线，求k的值(1)证明因为6e123e2，4e18e2，所以10e115e2.又因为2e13e2，得5，即，又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)解De13e22e1e24e2e1，2e1ke2，若A，B，D共线，则D，设D，所以k8.13 如图所示，在ABC中，在AC上取一点N，使得ANAC，在AB上取一点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P，使得NPBN，在CM的延长线上取点Q，使得时，试确定的值解()()，又，即，.14已知O，A，B三点不共线，且mn，(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)m，nR，且mn1，mnm(1m)，即m()m，而0，且mR.故与共线，又，有公共点B.A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数，使，()即(1).由mn.故mn(1).又O，A，B不共线，不共线由平面向量基本定理得mn1.