1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第二章 圆锥曲线与方程21椭圆2.1.1椭圆及其标准方程1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：PM|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|定义中的常数不满足2a|F1F2|时点的轨迹是什么？提示：(1)当|PF1|PF2|2abc一定成立吗？提示：不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定1辨析记忆(对的打“”，错
2、的打“”)(1)已知F1(4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆()提示：(1).因为2a|F1F2|8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆(2)已知F1(4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆()提示：(2).2a6|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆答案：椭圆类型一求椭圆的标准方程(数学运算) 1(2021昆明高二检测)已知椭圆的两个焦点是，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程是()A1 B1C1 D1【解析】选A.由题意，因为椭圆的两个焦点是(3，0)，(3，0)，所以c3，且焦点在x轴上，又
3、因为椭圆过点，所以b2，根据a2b2c2，可得a，故椭圆的标准方程为1.2已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(，0)，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为3，则椭圆C的方程为()Ay21 By21C1 D1【解析】选C.因为椭圆C的左焦点为F(，0)，所以c，又因为椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为3，即2abab3又因为a2b2c2，即a2b23由解得：a，b，椭圆C的方程为1.3求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程【解析】方法一：(1)当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0).依题意，有解得由ab0，知不合题意，故舍去
4、(2)当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0).依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为1.方法二：设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn).则解得所以所求椭圆的方程为5x24y21，故椭圆的标准方程为1. 1求曲线方程首先考虑比较简单的定义法，也可以用待定系数法2待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能(2)设方程依据上述判断设方程为1(ab0)或1(ab0)；在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2ny21(m0，n0且mn).(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b或m，n的方程组(4)得方程：
5、解方程组，将a，b或m，n代入所设方程即为所求提醒：焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同类型二椭圆中的焦点三角形问题(数学运算)【典例】(1)椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，求F1PF2的大小(2)已知椭圆1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1F2120，求PF1F2的面积【思路导引】【解析】(1)由1，知a3，b，所以c，|PF2|2a|PF1|2，在F1PF2中，由余弦定理得cos F1PF2，所以F1PF2120.(2)由1，知a2，b，所以c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF
6、1|F1F2|cos PF1F2，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义得|PF1|PF2|2a4.由联立得|PF1|.所以|PF1|F1F2|sin PF1F22. 1椭圆定义的应用(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化(2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题2椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的F1PF2，如果已知F1PF2，可利用S|PF1|PF2|sin F1PF2把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，
7、而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量1已知椭圆C：1(ab0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为，过点F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为_【解析】由题意及椭圆的定义知4a4，则a.又，所以c1.所以b22.所以C的方程为1.答案：12已知P是椭圆1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点且F1PF230，则F1PF2的面积是_【解析】由椭圆方程知a，b2，所以c1，所以|F1F2|2，又由椭圆定义知|PF1|PF2|2a2.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos F1PF2，即4(|PF1|PF2
8、|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，即420(2)|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|16(2)，|PF1|PF2|sin F1PF216(2)84.答案：84【拓展延伸】 椭圆中的焦点三角形：椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解【拓展训练】在椭圆C：1(ab0)的焦点三角形PF1F2中，F1PF2，点P的坐标为(x0，y0)，求证：PF1F2的面积SPF1F2c|y0|b2 tan .【证明】SPF1F2|F1F2|y0|c|y0|.在PF1F2
9、中，根据椭圆定义，得|PF1|PF2|2a.两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.根据余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2| cos 4c2.，得(1cos )|PF1|PF2|2b2，所以|PF1|PF2|.根据三角形的面积公式得|PF1|PF2|sin sin b2.又因为tan ，所以b2tan .类型三与椭圆有关的轨迹问题(直观想象、数学运算)定义法【典例】一个动圆与圆Q1：(x3)2y21外切，与圆Q2：(x3)2y281内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程【思路导引】由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹【解析】由已知，得两定
10、圆的圆心和半径分别为Q1(3，0)，R11；Q2(3，0)，R29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图由题设有|MQ1|1R，|MQ2|9R，所以|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6.由椭圆的定义知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a5，c3.所以b2a2c225916，故动圆圆心的轨迹方程为1.若将“圆Q1：(x3)2y21”改为“圆Q1：(x3)2y29”，试求这个动圆圆心的轨迹方程【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(3，0)，R13；Q2(3，0)，R29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R.由题设有|MQ1|3R，|MQ2|9R，所以|MQ1|MQ2|12|Q1Q2
11、|6.由椭圆的定义知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a6，c3.所以b2a2c236927，椭圆方程为1，又当M在点(6，0)时，不存在圆符合题意，所以x6，故动圆圆心的轨迹方程为1(x6).代入法(相关点法)【典例】已知P是椭圆1上一动点；O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为_【思路导引】点Q为OP的中点点Q与点P的坐标关系代入法求解【解析】设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x02x，y02y，又1，所以1，即x21.答案：x21 1对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨
12、迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法2代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法). 1已知动圆M过定点A(3，0)，并且内切于定圆B：(x3)2y264，求动圆圆心M的轨迹方程【解析】设动圆M的半径为r，则|MA|r，|MB|8r，所以|MA|MB|8，且8|AB|6，所以动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(3，
13、0)，B(3，0)，且2a8，所以a4，c3，b2a2c21697.所以所求动圆圆心M的轨迹方程是1.2(2021洛阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且是与的等差中项(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足F1PF260，求PF1F2的面积【解析】(1)设所求椭圆方程为1(a0，b0)，根据已知可得2，所以42a，所以a2，b2a2c2413，所以此椭圆方程为1；(2)在PF1F2中，设m，n，由余弦定理得4m2n22mncos 60，所以4(mn)22mn2mncos 60163mn，mn4，所以SPF1F2mnsin 604.1若方程1表示椭圆，则实数a的取值范围是()ABCD【解析】选B.因为方程1表示椭圆，所以有20a8或8am0，解得：0m3或6a2.答案：(3，)(6，2)关闭Word文档返回原板块