1、南安一中20202021学年高三第二次模拟考数学科试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数满足，为虚数单位，则等于（ ）AB C D2已知集合，集合，则（ ）A B C D3设数列的前n项和为，且，则（ ）A12 B13C16D324现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）A6种 B8种 C12种 D16种5鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字
2、立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（ ）(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)A96 B84 C42 D166. 函数在的图象大致为（ ）ABCD7已知向量，则当取最小值时，实数（ ）ABCD18已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在直线上的射影为，且直线的斜率为，则的面积为（ ）ABC D二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9若非零实数，满足，则
3、以下判断正确的是（ ）A BC D10设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则下列说法正确的是（ ）A B双曲线的离心率为C双曲线的渐近线方程为 D点在直线上11设，其中若对一切恒成立，则以下结论正确的是（ ）A B；C是奇函数； D的单调递增区间是；12已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）A曲线在处的切线方程为 B恰有2个零点C既有最大值，又有最小值 D若且，则三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若，则的值为 14 已知等差数列的前项和，其前三项和为6，后三项和为39，则该数列有 项.15已知的展开式中常数项为112，则实数的值为 1
4、6如图，在长方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是 四、 解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10分）已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，过的直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积.18.（12分）在；（）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题：已知数列中，_（1）求；（2）若数列的前项和为，证明：19.（12分）已知中，内角，所对的边分别为，,，是边上一点，.(1)若，求；(2)若，求的最大值.20.（12分）如图,矩形和梯形所在平面互相垂直,.（1）求
5、证:平面;（2）当的长为何值时,直线与平面所成角的大小为? 21. （12分）已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为（1）求曲线的轨迹方程；（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于，求证：直线经过定点22. （12分）已知函数（1）当时，判断的单调性，并求在上的最值；（2），求的取值范围南安一中20202021学年高三第二次模拟考试卷数学科参考答案一、选择题：1 A； 2C； 3D； 4B； 5. B； 6A； 7A； 8C1.【解析】，.故选A2.【解析】由解得，由解得，故，故选C.3.【解析】当时，可得；当时，即；数列是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为，故选
6、：D4.【解析】先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种故选B5.【解析】 若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，即2R2，所以R，球形容器的表面积S4R284.故选B6.【解析】设，则，故为上的偶函数，故排除B又，排除C、D故选：A7【解析】由，得，则当时，有最小值.故选：A.8.【解析】设准线与轴交于点，所以，因为直线的斜率为，所以，所以，由抛物线定义知，且，所以是以4为边长的正三角形，其面积为故选C二、多选题 9.BD 10.ABD 11.AC 12.BD
7、9【解析】，若，则，故选项A不正确；因为在上单调递增，若，则，故选项B正确；因为在上单调递减，则，故选项C不正确；因为，所以，所以，选项D正确；故选BD.10.【解析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，即，焦点，因为过作的一条渐近线的垂线，垂足为，所以，故A正确；因为，则，所以，在三角形中，根据余弦定理可知，解得，即离心率或（舍），故B正确；因为，解得所以渐近线的方程为，故C错误；因为点在直线上，可设，由可知，解得，故D正确故选ABD11【解析】，其中，对一切恒成立，知直线是的对称轴，又的最小正周期为.因为可看做，加了个周期所对应的函数值，所以.故A正确.因为函数周期，因为，所以，
8、故B不正确.因为直线是的对称轴，因为由函数平移，所以函数的图像既关于原点对称，所以函数既是奇函数，故C正确.依题意，函数相邻两条对称轴，在区间上函数单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故D不正确.故选AC.12【解析】函数的定义域为，当时，；当时，则曲线在处的切线方程为，即，A错误；当时，函数是减函数，当时，函数是减函数，因为，所以函数恰有2个零点，B正确；由函数的单调性易知，C错误；当、时，因为，所以，因为在上为减函数，所以，同理可证得当、时命题也成立，D正确，故选BD三、填空题 13. 14. 15. 16.，13【解析】由题得14【解析】由等差数列的前三项和为6，后三项和为39，可得
9、，根据等差数列的性质，可得，所以又由，解得.15【解析】由于展开式中的通项公式为：，令，求得，可得它的展开式的常数项是，再根据展开式中的常数项是112，可得，求得.16【解析】取中点，在上取点，使，连结、，则平面平面，是侧面四边形内一动点（含边界），平面，线段，当与的中点重合时，线段长度取最小值，当与点或点重合时，线段长度取最大值或，在长方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足，线段长度的取值范围是，17.【解析】（1）因为椭圆的离心率，所以，点代入椭圆C得：；联立解得，所以，所求椭圆方程为.5分（2）直线的斜率，故直线的方程为：，.6分与椭圆方程联立，消去得：，.8分或.的面积为.10分18.
10、【解析】（1）选：由可得，即，.3分又，所以是首项为4，公差为4的等差数列，所以，所以；.6分选：由，可得，即，.3分又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以；.6分选：由（）可得：当时，.3分当时，符合，所以当时，；.6分（2）证明：由（1）得，.8分所以，因为，所以，.10分又因为随着的增大而增大，所以，综上.12分19.【解析】，.3分.6分（2）解法一：，因为，所以，即，整理得到，两边平方后有，所以即，整理得到，所以，.9分因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值.12分解法二：设，则，在中，在中，又，所以，解得，在中，即，由可得接下来同解法一.9分20. 【解析】(1)
11、解法一：如图,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为建系.设,由,依据三角形相似可得,故由勾股定理可知.在中,可得.2分所以各点坐标为.,设面的法向量为,所以,化简得,令得，得,故.4分又不在面上,所以面.6分解法二：因为矩形,故. ，.2分 又,且,故面面.4分又，且,故平面.6分(2)，.7分设面法向量为,所以,化简得,令,得.9分由题得.故,因为为正,所以.12分21. 【解析】（1）由已知，轨迹为双曲线的右支，曲线标准方程.4分（2）由对称性可知，直线必过轴的定点，当直线的斜率不存在时，知直线经过点，.5分当直线的斜率存在时，不妨设直线，直线，当时，.7分得，.9分下面证明直线经过点，即证，即，即，由，整理得，即.11分即证经过点，直线过定点.12分22.【解析】（1）当时，定义域为.1分设，则，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则.3分所以在上为增函数.4分故在上的最大值为，最小值为.6分（2）不等式可转化为令，则.7分当时，在上单调递减；当时，在上单调递增所以，于是，.9分记，则，因为在上恒成立，所以在上单调递减，在上单调递增.11分所以，从而故的取值范围是.12分
