1、江苏省淮安市2020届高三数学下学期5月调研测试试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，则中的元素个数为_.【答案】4【解析】【分析】由集合的并运算可得解.【详解】由已知可得：则中的元素个数为4.故答案为：4【点睛】本题考查了集合的并运算，属于基础题.2.复数（为虚数单位）的实部为_.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，再求得的实部.【详解】整理得：，所以复数实部为.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的运算，考查实部的概念，属于基础题.3.若一组数据3，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是_.【答案】2
2、【解析】【分析】通过平均数求出x，再利用方差公式求出方差得解.【详解】由已知可得：，解得.则该组数据的方差是.故答案为：2【点睛】本题考查了平均数和方差的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4.函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【分析】由辅助角公式可得，问题得解.【详解】因所以函数的最小正周期为.故答案为：【点睛】本题考查了辅助角公式和三角函数的周期公式，属于基础题.5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是_.【答案】8【解析】【分析】循环进行赋值运算，直到退出循环，输出结果【详解】当时，进入循环：；当时，进入循环：；当时，退出循环，输出.故答案为：8【点睛】本题考查
3、了利用循环结构计算变量的值，属于基础题.6.若，则方程有实根的概率为_.【答案】【解析】【分析】由已知可得，解得，可知当时满足要求，再根据古典概型概率公式求解.【详解】方程有实根，解得时满足要求，则方程有实根的概率为.故答案为：【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题.7.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】先求抛物线与双曲线焦点坐标，再根据条件列式解得，最后根据双曲线的离心率定义求结果.【详解】抛物线的焦点坐标为：双曲线的右焦点坐标为：由已知可得：，即则该双曲线的离心率为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的相关知
4、识，属于基础题.8.已知公差不为0的等差数列，其前项和为，首项，且，成等比数列，则_.【答案】【解析】【分析】由已知得，由得，解得，最后由等差数列求和公式得解.【详解】，成等比数列，等差数列首项，解得或.因为等差数列的公差不为0,所以.由等差数列求和公式得.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列通项公式基本量的计算和求和公式，考查了等比中项公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知非零向量满足,则与夹角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】首先由可得，再由向量的数量积可求得夹角的余弦值.【详解】,又，故答案为：【点睛】本题考查了向量的模长、向量数量积的运算，考查了向量最基本的化简，
5、属于中档题.10.已知一个正四面体的体积为，则该正四面体的棱长为_.【答案】2【解析】【分析】设棱长为a，根据正四面体的对称性，求出正四面体的底面积和高，即可得解.【详解】设四面体中CD边中点为E，F为正三角形BCD的中心，则AF为四面体的高，设正四面体的棱长为a，则，解得，则该正四面体的棱长为2.故答案为：2【点睛】本题考查了求棱锥的体积，考查了计算能力，属于中档题.11.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，若有三个零点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】将问题转化为与有三个交点，由已知画出图象观察即可得解.【详解】方程有三个零点，可转化为与有三个交点，函数是定义域为的奇函数，所
6、以图象关于原点对称，再由当时，可画出下图：由图可知：【点睛】本题考查了函数的奇偶性及二次函数函数作图，考查了数形结合思想，属于中档题.12.已知，且，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】由题得，再利用基本不等式可得解.【详解】,，又，当且仅当时等号成立，则的最小值是.故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式求最值，关键是利用两式相乘创造积为定值的条件，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.13.已知，则值为_.【答案】【解析】【分析】由可得，再由和可得的值，问题得解.【详解】由已知得：则整理得：，解得或，当时，则，当时，舍 故答案：【点睛】本题考查了三角函数的平方和关系和商数关系，考查了计算能
7、力，较简单.14.在平面直角坐标系，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若的面积等于的直线恰有3条，则正实数的值为_.【答案】或【解析】【分析】将圆的方程配成标准式，求出圆心及半径，由三角形面积公式得，则或，要使的面积等于的直线恰有3条，则有最小值，从而得到，即可求解；【详解】解：由，得：，则圆心，因为点在圆内，所以解得由已知得：，解得：，则或因为过的直线与圆相交于，两点，要使的面积等于的直线恰有3条，则有最小值，即所以或故答案为：或【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，三角形面积公式的应用，属于中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
8、明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为.已知.（1）求角；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，得，整理得：，从而得解； （2）由，求出，由展开即可得解.【详解】（1）由，得，即，所以，解得.（2）由，得，所以，的值为.【点睛】本题考查了两角和的正弦展开式和诱导公式，关键是利用正弦定理将边化为角，属于基础题.16.如图，矩形所在平面与菱形所在平面互相垂直，交线为，是的中点.（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且，求证：平面.【答案】（1）见详解；（2）见详解【解析】【分析】（1）证出四边形是平行四边形，进而得到，利用线面平行的判定定理，
9、即可得证；（2）证出，又O是BD中点，可得，又已知，借助线面垂直的判定定理，即可得证.【详解】（1）连接，如图，是菱形，O是AC的中点，又是矩形的边的中点，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.（2）平面平面，且平面平面，又平面，且，平面，由勾股定理知：，又O是BD中点，又且，平面.【点睛】本题考查了线面平行判定定理和线面垂直的判定定理，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.17.某校为整治校园环境，设计如图所示的平行四边形绿地，在绿地中种植两块相同的扇形花卉景观，两扇形的边都落在平行四边形的边上，圆弧都与相切，其中扇形的圆心角为，扇形的半径为8米.（1）求花卉景观的面积；（2）求平行四
10、边形绿地占地面积的最小值.【答案】（1）；（2）平行四边形绿地占地面积的最小值为.【解析】【分析】（1）由扇形面积公式即可得解；（2）设，由，得：，再由基本不等式可得的最小值，从而得解.【详解】（1）由扇形面积公式可得，花卉景观的面积为：，所以，花卉景观的面积；（2）设，则由余弦定理得：，由，得：，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，解得， ，所以，平行四边形绿地占地面积的最小值为.【点睛】本题考查了扇形面积公式，余弦定理，三角形面积公式及基本不等式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.18.已知椭圆的右焦点为，右准线为.过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标
11、原点，且直线与右准线交于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.【解析】【分析】（1）根据准线的定义得，又由，结合可求得，得椭圆标准方程；（2）由可求得点横坐标，设直线方程为，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，由可得，得直线方程；（3）设，得，由点差法可得，从而得，则可得点坐标，然后计算可得【详解】（1）由已知可得： ，解得：椭圆的标准方程为：.（2）由可知：即，可得：，设，直线AB的方程为，联立 ，得：，为线段的中点，则，即，解得：，所以直线的方程为.（3）设，由，两
12、方程相减得，即，即，又，即，存在满足题意的，且【点睛】本题考查已知准线方程求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交的弦中点问题椭圆中弦中点问题，点差法是最重要的方法，利用这种方法可以得到弦所在直线与弦中点和原点连线的斜率之间的关系本题还考查了学生的运算求解能力属于难题19.已知函数.（1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若函数有两个极值点，且.求实数的取值范围；求证：.（参考数据：）【答案】（1）；（2）；见详解【解析】【分析】（1）求出导数，利用可求得；（2）求得，问题转化为方程，有两个不等的正实根，由二次方程的分布知识可得解由得，解得，代入不等式，进行变形为，只要令，用导数求出其最
13、小值，最小值不小于0，即证原不等式成立【详解】（1）由，可得：，若曲线在处的切线与直线平行，则，解得.（2），设，因为函数有两个极值点，则在上有两个根，则有 ，解得；证明：，由得，则，令，令得（舍去），当时，单调递减，当时，单调递增，,，即【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数与极值点的关系，考查证明极值点有关的不等式证明与极值点有关的不等式，可根据极值点的定义把函数式的参数用极值点表示出来代入要证不等式，这样要证的不等式只含有极值点，问题可转化为求新函数的最值问题，这又可用导数实现本题对学生的运算求解能力，逻辑推理能力要求较高，属于难题20.已知数列和的前项和分别为和，且，其中为常数.（1
14、）若，.求数列的通项公式；求数列的通项公式.（2）若，.求证：.【答案】（1），（2）见解析【解析】【分析】（1）已知两等式相加可得是等比数列，从而可得通项公式，已知两等式相减可得的递推关系式，凑配成一个新的等比数列，利用等比数列的通项公式可求得；（2）已知两等式相加可得数列是等比数列，就是的前项和，分类求得这个和，在且时用数学归纳法证明不等式成立【详解】（1）若，则有由，得：所以是公比为4的等比数列，首项，所以；由，得：则所以是公比为2的等比数列，首项，所以，则；（2）由，得，数列是等比数列，时，不等式左边，右边，不等式成立；时，不等式即为，下面用数学归纳法证明：（i）时，左边，右边，左边右边，不等式成立，（ii）假设时，不等式成立，即，则时，左边，由归纳假设左边，下面只要证，即证，再用数学归纳法证明：时，不等式左边，右边，不等式成立，假设（）时不等式成立，即 ，则时，不等式也成立，由得时，不等式成立，时，不等式成立，由（i）（ii），原不等式对一切正整数都成立综上，原不等式得证【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查证明与数列有关的不等式掌握等比数列的定义是解题基础在遇到递推式时，常常用凑配法（由已知等式求出中的），构造新数列（）为等比数列，从而求得通项公式，与数列有关的不等式常常是证明与正整数有关的不等式，因此有时可用数学归纳法证明，掌握数学归纳法是解题关键