1、第1讲平面向量的概念及线性运算考纲解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示2掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义(重点)3掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查预测2021年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量向量的模向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模)|a|或|零向量长
2、度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量与非零向量a共线的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当|b|，则abC
3、若ab，则ab D若|a|0，则a0答案C解析A错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B错误，向量不能比较大小；C正确，若ab，则a与b方向相同，故ab；D错误，若|a|0，则a0.(2)设a，b是不共线的两个向量，已知a2b，4a4b，a2b，则()AA，B，D三点共线 BA，C，D三点共线CA，B，C三点共线 DB，C，D三点共线答案B解析因为a2b，所以a2b，所以(a2b)(4a4b)3a6b3(a2b)3.所以，所以A，C，D三点共线(3)已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，则_，_(用a，b表示)答案baab解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以，a，所以ba
4、，ab.题型 一平面向量的基本概念1设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.2下列叙述错误的是_(填序号)已知向量ab，且|a|b|0，则向量ab的方向与向量a的方向相同；|a|b|ab|a与b方向相同；向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个
5、实数，使得ba；0；若ab，则ab.答案解析对于，当a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；当a和b方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同对于，当a，b之一为零向量时结论不成立对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0时，不存在对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以0.对于，当0时，无论a与b的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有ab.故均错误有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移
6、动混淆(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，是与a反方向的单位向量(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件1.给出下列说法：若A，B，C，D是不共线的四个点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等；若ab，bc，则ac.其中正确说法的序号是()A. BC D答案A解析正确；错误，因为a，b的方向不一定相同；错误，.2.下列命题中，正确的个数是()若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；若|a|b|，则ab或ab；若a0(为实数)，则
7、必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线A.0 B1C2 D3答案A解析错误，如在ABCD中，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；错误，若a0(为实数)，则0或a0；错误，当0时，ab0，但a与b不一定共线.题型 二向量的线性运算1.下列四个结论：0；0；0；0.其中一定正确的结论个数是()A.1 B2C3 D4答案C解析正确；错误，0；正确，()()0；正确，()()0.2.(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.答案A解析根据向量的运算法则，可得()，故选A.3.在ABC中，D为AB的中点，点
8、E满足20，则_(用A，C表示)答案 解析因为D为AB的中点，所以，所以.又因为20，所以2()()0，所以32，所以.1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2.向量线性运算的两个常用结论(1)在ABC中，AD为BC边上的中线，则()，如举例说明2.(2)O为ABC的重心的充要条件是0.1.在ABC中，若点D满足2，点M为AC的中点，则()A. B.C. D.答案A解析().2(2019衡水模拟)如图，在平行四边形ABCD中
9、，对角线AC与BD交于点O，且2，则()A. B.C. D.答案C解析因为2，所以，又因为，所以，所以().题型 三共线向量定理的应用角度1证明向量共线或三点共线1.已知平面内一点P及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是()A.点P在线段AB上 B点P在线段BC上C.点P在线段AC上 D点P在ABC外部答案C解析因为，所以2，所以A，P，C三点共线，且P是线段AC的三等分点(靠近A).角度2由向量共线求参数的值2(2019安徽合肥一中高考模拟)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且，连接AC，MN交于点P，若，则点N在AD上的位置为()A.AD中点B.AD上靠近点D的
10、三等分点C.AD上靠近点D的四等分点D.AD上靠近点D的五等分点答案B解析设，因为()，又M，N，P三点共线，所以1，解得，所以，所以点N在AD上靠近点D的三等分点.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线(1t)t(O为平面内任一点，tR)(，为实数)，若A，B，C三点共线
11、，则1.1.在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A.矩形 B平行四边形C.梯形 D以上都不对答案C解析(a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2，所以ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD是梯形.2.设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值解(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又A与B有公共点B，A，B，D三点共线(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F三点共线，(R)
12、，即3e1ke2e14e2，解得k12.组基础关1.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0成立的是()A.a2b BabC.ab Dab0答案C解析使0成立，需向量a与b反向故选C.2.已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d反向共线，则实数的值为()A.1 BC.1或 D1或答案B解析由于c与d反向共线，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又k0，所以0，故.3.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22，则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向
13、延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上答案B解析因为22，所以2，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则()A.()，(0,1)B.()，C.()，(0,1)D.()，答案A解析根据向量的平行四边形法则，得.因为点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，所以与共线，所以()，(0,1)，故选A.5.(2019湖北省“四地七市”联考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若向量ab与c共线，则实数()A.2 B1C.1 D2答案D解析由图可知2abc，若向量ab与c共线，则2.故选D.6如图，在Rt
14、ABC中，ABC，AC2AB，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D.设a，b，则向量()A.ab B.abC.ab Dab答案C解析由题意知，AC为ABC的外接圆的直径设ABC的外接圆圆心为O，如图，连接OD，BD，则ABOAOD.又易得ABOD，所以四边形ABDO是平行四边形，所以ab.故选C.7如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则()A. B.C. D答案C解析().8.(2019河南三市联考)若，(1)，则_.答案解析，.1，.9.给出下列四个命题：若ab与ab是共线向量，则a与b也是共线向量；若|a|b|ab|，则a与b是共线向量；若|
15、ab|a|b|，则a与b是共线向量；若|a|b|a|b|，则b与任何向量都共线其中是真命题的有_(填上序号)答案解析由向量的平行四边形法则可知，若ab与ab是共线向量，则必有a与b也是共线向量，所以是真命题；若|a|b|ab|，则a与b同向，或b是零向量，或a，b均为零向量，所以a与b是共线向量，所以是真命题；若|ab|a|b|，则a与b方向相反，或a，b中至少有一个零向量，所以a与b是共线向量，所以是真命题；当a是零向量，b是非零向量时，|a|b|a|b|成立，而b不能与任何向量都共线，所以是假命题.10.(2019青岛质检)已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给
16、出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的序号为_答案解析ab，所以错误；ab，故正确；()(ba)ab，故正确；综上知0，故正确.组能力关1.已知点O为ABC的外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A.30 B60 C90 D120答案A解析因为0，所以.所以四边形OACB是平行四边形，又因为|，所以四边形OACB是菱形，OAC是等边三角形所以BACOAC30.2.在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析设y，yy()y(1y).3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，y，
17、x(1x)，xy，x.3.点O是ABC内一点，满足条件23，延长BO交AC于点D，则的值为()A. B. C. D.答案B解析解法一：如图(1)，分别取BC，AC的中点为E，F，连接EF.23，2()，即2()，222，2.故O在ABC的中位线EF上，且OF2OE.过点E作EHCD，交BD于点H，则H为BD的中点，EHCDDF，因此CDDF，CDAD13，.故选B.解法二：230，令2，3，0，O是ABC的重心，如图(2)，延长BO交AC于点F，则AFFC.过点C作CEAC，交BF于点E，.故选B.4在平面向量中有如下定理：设点O，P，Q，R为同一平面内的点，则P，Q，R三点共线的充要条件是：存在实数t，使(1t)t.试利用该定理解答下列问题：如图，在ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF2FA，BF交CE于点M，设xy，则xy_.答案解析因为B，M，F三点共线，所以存在实数t，使得(1t)t，又2，所以2(1t)t.又E，M，C三点共线，所以2(1t)t1，得t.所以2(1t)t，所以x，y，所以xy.
