1、3.8 函数的图象课标要求考情分析核心素养1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.新高考3年考题题 号考 点数学运算直观想象2020()卷8数形结合思想解不等式 2020()卷8 数形结合思想解不等式 1利用描点法作函数的图象步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；（4）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2作出常见函数的图象（1）作出基本初等函数的图象：常数函数、一次函数、反比例
2、函数、二次函数、对勾函数、指数函数、对数函数、三角函数；（2）用五点法作三角复合函数的图象；（3）作出分段函数的图象：如果函数带有绝对值，脱去绝对值，转化为分段函数：（4）结合抽象函数的单调性、奇偶性，特殊点，作出抽象函数的大致图象.3利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换（2）对称变换y=f(x)的图象 y=-f(x)的图象；y=f(x)的图象 y=f(-x)的图象；y=f(x)的图象 y=-f(-x)的图象； (，且)的图象 (，且)的图象.（3）伸缩变换y=f(x) y=f(ax)y=f(x) y=af(x)（4）翻折变换y=f(x)的图象 y=|fx|的图象；y=f(x)的图象 y=
3、f(|x|)的图象.4借助导数作出函数大致图象步骤：（1）求导，确定函数的单调区间；（2）借助极值点、极值、最值、零点或其他特殊点作出函数大致图象.5函数图象取自圆锥曲线的一部分函数的解析式通过变形，变成圆锥曲线的方程，结合函数解析式求出的取值范围，即可明确函数图象.（1）函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称；（2）函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称；（3）若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足：fa+x=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称；（4）图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需
4、把系数提出来，再进行变换；（5）图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行.1.【P139 练习4】如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为()A. y=|x|4-x2 B. y=x4-x2 C. y=-x2+2|x| D. y=-x2+2x2.【P120 T9】已知函数f(x)=-x2+2|x|+3 (1)作出函数f(x)的图象； (2)根据图象写出f(x)的单调递增区间考点一作出函数的图象【方法储备】函数图象的画法：（1）直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数，或函数图象是解析几何中熟悉的曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的
5、一部分）时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出；（2）转化法：含有绝对值符号函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象；（3）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【典例精讲】例1.(2021安徽省安庆市月考) 已知函数f(x)=x2-2x-8(1)画出f(x)的图象，并写出f(x)的增区间(不需要证明);(2)若f(x)的图象与y=x2-kx+k-16在-2，4上没有公共点，求k的取值范围【名师点睛】1.熟练掌握基本函数的图象：如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数
6、、幂函数、形如yx的函数2.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序3.对于较复杂的函数，可借助导数作出大致图象.【靶向训练】 练1-1(2022陕西省西安市模拟) 已知函数f(x)=a|x|-1(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(2)若f(-32)=2，解决下列问题：(i)判断f(x)在0,1)和(1,+)的单调性(不要求证明)；(ii)画出f(x)的图象，并利用图象解不等式f(x)f(-32)练1-2(2022江苏省徐州市期中) 已知函数f(x)=|log2x-1|,04，设a，b，c是三个不相等的实数，且满足f(a)=f(
7、b)=f(c)，则abc的取值范围为考点二函数图象的辨识【方法储备】1抓住函数的性质，定性分析：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数周期性，判断图象的循环往复2抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题【典例精讲】例2.(2022浙江省温州市模拟.多选) 下列可能是函数f(x)=ax+b(x+c)2(其中a，b，c-1,0,1)的图象的是()A. B. C. D. 【名师点睛】由函数解析式选择函数的图象，多采用排除法选题，
8、从定义域、奇偶性、单调性、特征点等角度出发，有时候可借助极限思想，即当x+, x-,xa+,xa-时, 先确定函数表达式的正负, 然后再判断图像的趋向性.通过以上一种角度,有时需要结合以上几个角度排除不合要求的图象 【靶向训练】练2-1(2022安徽省六安市模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A. f(x)=4+ln|x|1+12cosx B. f(x)=x2cosxe|x|C. f(x)=cosxln|x|2+sinx D. f(x)=2+ln|x|x2+cosx练2-2(2022江苏省徐州市月考)函数y=x+cosx的大致图象是(图中虚线为y=x的图象)(
9、)A. B. C. D. 考点三函数图象的变换【方法储备】函数图像及其变换要求熟记几种常见函数如反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如fx=x+1x的函数的性质,如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近性等，在此基础上熟练掌握函数图像的几种变换, 平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换（上述），快速准确作出函数图象.【典例精讲】例3.(2021安徽省六安市联考) 已知函数f(x)=-2x,-1x0x,00且a1)，将函数f(x)的图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍，横坐标不变，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函
10、数f(x)的图象重合，则a的值是()A. 32 B. 23 C. 33 D. 3练3-2(2022安徽省蚌埠市调研)已知aR，函数f(x)=2x,x1log12x,x1，则函数y=f(a-x)的大致图象不可能是()A. B. C. D. 考点四函数图象的应用【方法储备】函数的图象在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：（1）研究函数的性质：对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则（2）研究方程根的个数（零点个数）及参数的取值范围：构造函数，转化为两个函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分
11、别作出两个函数的图象，数形结合求解；（3）利用图象解不等式：不等式不能用代数法求解时，转化为两个函数fx,g(x)的不等关系，在图象上表现为上、下位置关系，通过画出函数图象可以直观地求解不等式.角度1研究函数的性质【典例精讲】例4. (2021山东省东营市二模) 对任意实数a，b定义运算“”：ab=b,aba,ab，设f(x)=|2-x2|(4-|x|)，有下列四个结论：f(x)的最大值为2；f(x)有3个单调递减区间；f(x)在-32,-1是减函数；f(x)的图象与直线y=m有四个不同的交点，则0m2.其中正确结论有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【名师点睛】在新授课中，不难发现
12、求函数的定义域、值域，判断函数单调性、奇偶性等性质时，共同的方法是图象法，从函数的图象上，可以直观的得到函数的性质。所以，在面对较为复杂的函数时，依然可以作出函数图象，化“抽象”为“形象”，进一步研究函数性质.【靶向训练】练4-1(2021海南省海口市期中.多选) 小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置不可能是图1中的()A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q练4-2(2022山东省
13、东营市月考.多选) 设函数f(x)的定义域为R，f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x(-1,1时，f(x)=-x2+1，则下列结论正确的是()A. f(72)=-89 B. f(x)在(6,8)上为减函数C. 点(3,0)是函数f(x)的一个对称中心 D. 方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解角度2求不等式的解集【典例精讲】例5. (2021浙江省温州市月考) 函数fx是定义在-4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式fxcosxg(x)的形式，关键是在同一坐标系中准确作出两个函数的图象（练4-4）.【靶向训练】练4-3(2021江苏省徐州市模拟) 已知函数f(
14、x)的部分图象如图所示，若不等式-2f(x+t)4的解集为(-1,2)，则实数t的值为练4-4(2022湖北省宜昌市一模.多选) 已知函数f(x)=(3x-1)ex-a(x-2),若关于x的不等式f(x)02|x|,x0，则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是【名师点睛】数形结合思想解决方程根个数问题思路：将方程转化为fx=g(x)的形式，其中g(x)多为常数函数或一次函数，将方程的根个数转化为两个函数图象交点个数问题；进而借助函数的图象变换、导数等知识作出图象，求出交点个数.【靶向训练】练4-5(2021安徽省六安市月考) 二次函数y=-x2-4x(x-2)与指数函数y=(12)
15、x的交点个数有()A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个练4-6 (2022江苏省无锡市联考.多选) 已知函数f(x)=2x+1,x0|log2x|-1,x0，则方程f2(x)-2f(x)+a2-1=0的根的个数可能为( )A. 2B. 6C. 5D. 4核心素养系列 直观想象函数图象在函数零点问题中的应用函数零点问题是沟通函数、方程、图象等知识的重要桥梁,它充分体现了函数与方程的密切关系,展现了数与形的完美结合.直观想象作为六大核心素养之一,是一种围绕几何思维解决问题的能力素养,其具体体现是“数缺形时少直观”,在求解函数零点的综合问题时，以“形”代“数”可以化繁为简.【方法储备】专题3.7
16、函数与方程中已经在判断零点与方程根所在区间、判断零点与方程根个数，求与零点与关的参数取值范围，3个考点中分别说明从函数图象的角度解题.共同点是要将函数零点问题转化为方程问题,再转化为两个函数图象交点问题,最后作出图象，判断零点个数或求参数的取值范围.【典例精讲】例7. (2022浙江省宁波市期中) 设函数f(x)=|lnx|,x0ex(x+1),x0，若函数g(x)=f(x)-b有三个零点，则实数b可取的值可能是()A. 0B. 12C. 1D. 2【名师点睛】求解此类问题的关键是充分借助数形结合的思想,注意把“数”和“形”结合起来具体考查,从而获得巧思妙解,优化解题思维,进一步提升学生数学运
17、算、逻辑推理、直观想象等素养.【靶向训练】练5-1. (2021安徽省合肥市月考) 已知函数fx=lnx,x02-x2,x0，若函数g(x)=f(x)-kx有4个零点，则实数k的取值范围是练5-2(2022福建省泉州市模拟.多选) 已知函数fx=lnx,0xef2e-x,ex1，排除A故答案选：C2. 【解析】(1)对于函数f(x)=-x2+2|x|+3，当x0时，f(x)=-x2+2x+3；当x0时，f(x)=-x2-2x+3. 作出f(x)的图象，如图：(2)f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(0,1)【考点探究】例1. 【解析】(1)f(x)的图象如图增区间为(-2,1)，(4,+)
18、，(2)-2x4时，方程|x2-2x-8|=x2-kx+k-16，可化为：-(x2-2x-8)=x2-kx+k-16即2x2-k+2x+k-24=0在-2,4上无解，令g(x)=2x2-k+2x+k-24，由g(1)=-240，可知：-2,4上，g(x)0恒成立，等价于g(-2)=8+2(k+2)+k-240g(4)=32-4(k+2)+k-240解得0k4故k的取值范围是(0,4)练1-1. 【解析】(1)f(x)定义域D=x|x1且x-1关于原点对称，令xD，则-xD，f(-x)=a-x-1=ax-1=f(x)，f(x)是D上的偶函数;(2)f(-32)=a32-1=2，a=1，(i)f(
19、x)=1x-1在0,1)上递减，f(x)=1x-1在(1,+)上递减;(ii)画出f(x)的图象如下，令f(x)=2得x=32，观察图象可得不等式f(x)f-32的解集为：(-,-32(-1,1)32,+)练1-2. 【解析】作出函数f(x)图象如图所示，因为a,b,c是三个不相等的实数，且满足f(a)=f(b)=f(c)，结合图象不妨设1a2b4c2，故A错误；对于B选项，函数定义域为R，故B错误；对于C选项，函数定义域为x|x0，f(-x)=cos(-x)ln|-x|2+sin(-x)=cosxln|x|2-sinx，故函数为非奇非偶函数，故C错误故选：D练2-2. 【解析】由于f(x)=
20、x+cosx，f(-x)=-x+cos(-x)=-x+cosx，f(-x)f(x)，且f(-x)-f(x)，故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=2时，x+cosx=x，即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为2，排除D故选B例3. 【解析】作出函数f(x)=-2x,-1x0x,01的草图，再作函数f(x)的图象关于y轴对称，得到函数f(-x)的图象，再通过平移得到函数y=f(a-x)的大致图象。若a=1，图象可能为D项，若a1，图象可能为A项，若a1，图象可能为C项，不可能为B项故选B例4. 【解析】根据定义，作出f(x)的图象(实线部分)：可知当x=2或0时，f(x)取
21、得最大值2，故正确；f(x)单调递减区间为-2,-2,0,2,2,+)，故正确；因为-32-20当x2,4时，y=cosx0结合y=fx，x0,4上的图象知，当1x2时，fxcosx0又函数y=fxcosx为偶函数，所以在-4,0上，fxcosx0的解集为-2,-1，所以fxcosx0的解集为(-2,-1)(1,2)练4-3.【解析】由题意可知，f(x)在0,3内单调递减，因为f0=4,f3=-2，且当-2f(x)4时，可得0x3，而-2f(x+t)4的解集为(-1,2)，所以x-1,2，且x+t(0,3)，则t=1故答案为1练4-4.【解析】由f(x)=(3x-1)ex-a(x-2)0，得(
22、3x-1)ex-23时，g(x)0，当x-23时，g(x)0，所以g(x)在(-,-23)上单调递减，在(-23,+)上单调递增，当x趋近于-时，g(x)趋近于0，当x趋近于+时，g(x)趋近于+，且g(13)=0，h(x)=a(x-2)的图象恒过定点(2,0)，画出g(x)，h(x)的图象，如下图所示，若关于x的不等式f(x)0恰好有两个整数解，则这两个整数解为0，-1，所以g(0)h(0),g(-1)h(-1),g(-2)h(-2),即-1-2a,-4e-1-3a,-7e-2-4a, 解得74e2a43e-2)，且x=-2时，y=-x2-4x=4，y=(12)x=4，x=-1时，y=-x2
23、-4x=3，y=(12)x=2，则在坐标系中画出y=-x2-4x(x-2)与y=(12)x的图象：由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，故选C练4-6 .【解析】作出函数f(x)的图象，如图：由于f2(x)-2f(x)+a2-1=0，设t=f(x)，则t2-2t+a2-1=0，若这个方程有根，则两根t1,t2关于直线t=1对称若=0，则此时t1=t2=1，根据图象有两个交点；若0，且t1(0,1)，t2(1,2)，此时图象有2+3=5个交点；若0，且t1(-1,0)，t2(2,3)，此时图象有2+2=4个交点找不到6个交点的情况故答案ACD【素养提升】例7. 【解析】函数g(x)=f(x)-
24、b有三个零点，则函数g(x)=f(x)-b=0，即f(x)=b有三个根，即函数y=f(x)与函数y=b有三个交点当x0时，f(x)=ex(x+1)，则f(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2)，由f(x)0得x+20，即x0得x+20，即-2x0时，f(x)为增函数，即当x=-2时，f(x)取得极小值f(-2)=-1e2，且x-时，f(x)0，f(0)=1，作出f(x)的图象如图：要使f(x)=b有三个根，则002-x2,x0与y=kx有4个交点，作出函数y=f(x)与y=kx的大致图象如图所示：由图分析可得，当k0时，函数y=f(x)与直线y=kx的图象最多有两个交点，不符合，故k0，当
25、直线y=kx与函数y=f(x)图象相切时为临界点，记h(x)=lnxx1，设切点Ax0,y0，所以hx=1x，所以k=1x0lnx0=y0y0=kx0，所以k=1ex0=e,分析可知，要使函数y=f(x)与直线y=kx的图象又4个交点，则0k1e，则实数k的取值范围是(0,1e)；故答案为(0,1e). 练5-2. 【解答】当ex2e时，02e-xe，所以f(x)=f(2e-x)=|ln(2e-x)|，又f(x)=f(2e-x)，所以f(x)的函数图象关于直线x=e对称，作出f(x)的函数图象如图所示：F(x)=f(x)-ax有4个零点，y=ax与y=f(x)的图象有4个交点，当直线y=k1x经过点(e,1)时，k1=1e，设直线y=k2x与y=lnx相切，切点为(x0,y0)，则k2=1x0y0=lnx0y0=k2x0，解得x0=e，y0=1，k2=1e0a1e.则CD满足，故选：CD【易错点归纳】例8. 【解析】作出函数f(x)=1-x2,x0,1的图象如下：由图可知g(1)=21+a=0，则a=-2；g(0)=20+a=1，则a=0；当a-2,0时，总会存在x1,x20,1使得f(x1)=g(x2)成立，故答案为-2,0