1、2.3.2 平面向量的坐标运算第 1 课时 平面向量的坐标表示及坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来知识点一 平面向量的坐标表示思考 1 如图，向量 i，j 是两个互相垂直的单位向量，向量 a 与 i 的夹角是 30，且|a|4，以向量 i，j 为基底，如何表示向量 a?思考 2 在平面直角坐标系内，给定点 A 的坐标为 A(1,1)，则 A 点位置确定了吗？给定向量 a的坐标为 a(1,1)，则向量 a 的位置确定了吗？梳理(1)平面向量的坐标在平面直角坐
2、标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个_i、j 作为基底对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数 x，y，使得 axiyj.平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的(直角)坐标，记作 a(x，y)在平面直角坐标平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系区别表示形式不同向量 a(x，y)中间用等号连结，而点 A(x，y)中间没有等号意义不同点 A(x，y)的坐标(x，y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向
3、.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点二 平面向量的坐标运算思考 设 i、j 是分别与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量 ab，ab，a(R)如何分别用基底 i、j 表示？梳理(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数 数学公式文字语言表述向量加法ab(x1x2，y1y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法ab(x1x2，y1y2)两个向量差的
4、坐标分别等于这两个向量相应坐标的差向量数乘a_实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(2)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标类型一 平面向量的坐标表示例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，OA a，ABb.四边形 OABC 为平行四边形(1)求向量 a，b 的坐标；(2)求向量BA的坐标；(3)求点 B 的坐标 反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标一般利用不等式思想
5、求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围跟踪训练 1 已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上，点 C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD 的坐标 类型二 平面向量的坐标运算例 2 已知三点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点 P 满足APABAC(R)(1)当 为何值时，点 P 在函数 yx 的图象上？(2)若点 P 在第三象限，求实数 的取值范围 反思与感悟 向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有
6、向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行跟踪训练 2 已知 a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)12a13b.类型三 平面向量坐标运算的应用例 3 已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若APABAC(R)，试求 为何值时：(1)点 P 在第一、三象限的角平分线上；(2)点 P 在第三象限内 反思与感悟(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用(2)坐标形式下向量相等的条件：相等
7、向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值跟踪训练 3 已知向量 a(2,1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_1设平面向量 a(3,5)，b(2,1)，则 a2b_.2已知向量OA(3，2)，OB(5，1)，则向量12AB的坐标是_3已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且BC2AD，则顶点 D 的坐标为_4已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC_.5如图，在 66 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 a，b，c 满足 cxayb(x，yR)，则 x
8、y_.1向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化2要区分向量终点的坐标与向量的坐标由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时AB(xBxA，yByA)3向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积答案精析问题导学知识点一思考 1 a2 3i2j.思考 2 对于 A 点，若给定坐标为 A(1,1)，则 A 点位置确定对于向量 a，给定 a
9、 的坐标为 a(1,1)，此时给出了 a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此 a 的位置还与其起点有关梳理(1)单位向量 知识点二 思考 ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.梳理(1)(x1，y1)题型探究例 1 解(1)作 AMx 轴于点 M，则 OMOAcos 454 22 2 2，AMOAsin 454 22 2 2.A(2 2，2 2)，故 a(2 2，2 2)AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，C32，3 32，ABOC 32，3 32，即 b32，3 32.(2)BAAB3
10、2，3 32.(3)OB OA AB(2 2，2 2)(32，3 32)2 232，2 23 32.跟踪训练 1 解 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，则顶点 A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60，2sin60)，C(1，3)，D(12，32)，AB(2,0)，AC(1，3)，BC(12，30)(1，3)，BD(122，32 0)(32，32)例 2 解 设 P(x1，y1)，则AP(x12，y13)因为AB(3,1)，AC(5,7)，所以APAB AC(3,1)(5,7)(35，17)，所以x1235，y1317，所以x155，y147.所以点 P 的坐标是(55，47)(1)
11、令 5547，得 12.所以当 12时，点 P 在函数 yx 的图象上(2)当点 P 在第三象限时，有550，470成立，解得 1.实数 的取值范围是(，1)跟踪训练 2 解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)12a13b12(1,2)13(2,1)12，1 23，13 76，23.例 3 解 设点 P 的坐标为(x，y)，则AP(x，y)(2,3)(x2，y3)，ABAC(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)APABAC，x235，y317，则x55，y47.(1)若点 P 在一、三象限角平分线上，则5547，12.(2)若点 P 在第三象限内，则550，470，1.当 12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；当 1 时，点 P 在第三象限内跟踪训练 3 3当堂训练1(7,3)2.4，12 3.2，72 4(7，4)5.197
