1、第28讲 空间距离的计算太仓市实验高级中学 何志衔一、 高考要求空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中没有公共点的图形间相对位置的远近程度，是平面几何与立体几何中研究的重要数量空间距离的求法是教材的重要内容，也是历年高考考查的重点其中点与点、点到线、点到面的距离为基础在高考中通常是以一道大题中的某一小题的形式出现，一般是求体积，需算点到面的距离二、 两点解读重点：（1）求距离的一般步骤：找出或作出有关距离；证明它符合定义；归到某三角形中计算（2）要注意各种距离间的相互转化、等积法及“平行移动”等思想方法难点：点到平面的距离的求法三、 课前训练1矩形中，沿对角线将此矩形折成的二面角，则顶点的距离
2、为 （ ）（A） （B） （C ） （D）2若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且满足，则到平面的距离为 （ ）（A） （B） （C） （D）3在棱长为的正方体中，过且平行于平面的平面与平面的距离为 4已知正方体中，的长为，则与间距离为 四、 典型例题 例1已知在中，它所在平面外一点到三个顶点的距离都是14，那么点到平面的距离是 （ ）（A）13 （B）11 （C）9 （D）7例2 在北纬圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140与西经130，设地球半径为R，则甲乙两地的球面距离是 （ ）（A） （B） （C） （D）例3 在正三棱柱中，若，则点到平面的距离为 例4 四边形为正方形，为平面外一点，二
3、面角为，则到的距离是 例5 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A = 90，O1，G分别是B1C1，A1A的中点，且AB = AC = A1A = 2(I) 求O1到面A1B1C的距离；(II) 求BC与平面GB1C1的距离例6 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABa，AD3a，且ADCarcsin，又PA平面ABCD，PA=a（I）求二面角P-CD-A的大小（用反三角函数表示）（II）求点A到平面PBC的距离第28讲 空间距离的计算 过关练习1一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是 （ ）（A）2 （B）3 （C）6 （D）2若干毫升水倒入底面半径为2
4、cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）（A）6cm （B）6 cm （C）2cm （D）3cm3把长、宽各为4，3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角BACD，则顶点和的距离为 （ ）（A） （B） （C） （D） 4已知一正四面体体积为72，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_5正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为 6如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有
5、棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为7ABC是边长为2的正三角形， 平面ABC，P点在平面ABC内的射影为O，并且PA = PB = PC =那么P点到平面ABC的距离为 ；异面直线PO与BC间的距离为 ；点O到平面PBC的距离为 8在直角梯形ABCD中，如图，DBAD90，ADABa（如图（1），将ADC沿AC折起，使D到D，记面ACD为，面ABC为，面BCD为（）若二面角AC为直二面角（如图（2），求二面角BC的大小；（）若二面角AB为60（如图（3），求三棱锥DABC的体积第28讲 空间距离的计算答案课前训练1 C 2 D 3 4 典型例题 例1 D 例2 A 例3 例4 ；例5略
6、解：（1）；（2）例6解：（1）如图986，在平面ABCD内，过点A作AECD，垂足为E，连接PE由PA平面ABCD，由三垂线定理知PECD，故PEA是二面角PCDA的平面角在RtDAE中，AD=3a，ADCarcsin则AEADsinADEa在RtPAE中，tanPEA故二面角PCDA的大小为arctan（2）在平面PAB中，过点A作AHPB，垂足为H由PA平面ABCD，ABBC，PABC，则有BC平面PAB，又AH平面PAB，因此BCAH，又AHPB，故AH平面PBC因此，线段AH的长即为点A到平面PBC的距离在等腰直角PAB中，AHa，故点A到平面PBC的距离为a过关练习1 2 3 4
7、5 6 7分析 求P点到平面ABC的距离，从概念上讲只要从P作平面ABC的垂线段PO，并计算PO的长即可，但是若不了解垂足O的性质，计算无法进行为此连结OA，OB，OC（如图）则由PAPBPC可得OAOBOC，即O是正三角形ABC的中心于是可以在直角三角形PAO中由PA=,OA= ，得PO= 有了以上基础，只要延长AO，交BC于D，则可证明OD即为异面直线PO与BC间的距离，为求O点到平面PBC的距离，关键也在确定O在平面PBC内的射影H的位置由已知可知H在PD上，故只要作OHPD于H即可证明OH即所求距离以通过证明平面平面PBC来进行为好在直角三角形POD中，点评由上可见确定点在平面内射影是求点到平面距离的关键，可以作定量分析，也可以作定性分析8解：（）在直角梯形ABCD中，由已知DAC为等腰直角三角形，如图ACa，CAB45过C作CHAB，由AB2a，可推得ACBCa ACBC取AC的中点E，连结DE， 则DEAC又二面角AC为直二面角， DE又BC平面， BCDE，BC，而DC BCDCDCA为二面角BC的平面角由于DCA45，二面角BC为45图976（）取AC的中点E，连结DE，再过D作DO，垂足为O，连结OE，ACDE， ACOE，DEO为二面角AC的平面角，如图976DEO60在RtDOE中，DEa，DO=asin60=aVDABCSABCDOACBCDO