1、3.2导数与函数的单调性、极值、最值1 函数的单调性如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x)0，则在这个区间上，函数yf(x)是增加的；如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(6)函数f(x)xsin x有无数个极值点()2 函数f(x)x22ln x的单调减区间是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)答案A解析f(
2、x)2x(x0)当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数3 (2013浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值答案C解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0.x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)显然f(1)0，且x在1的左边附近f(x)0，f(x)在x1处取到极小值故选C.4 函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为(
3、)A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析设m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0，m(x)0的解集为x|x1，即f(x)2x4的解集为(1，)5 函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案3，)解析f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即a3x2在(1，)上恒成立a3.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若
4、不存在，请说明理由思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论解f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在R上单调递增，若a0，exa0，exa，xln a.因此当a0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间是ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3.当ae3时，f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)1，则f(x)的单调减区间为_答案(2,2a)解析f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a1知，当x0，故f(x)在区间(，2)上是增函数；当2x2a时
5、，f(x)2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2a，)上是增函数综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_答案(，1解析转化为f(x)x0在1，)上恒成立，即bx(x2)在1，)上恒成立，令g(x)x(x2)(x1)21，所以g(x)min1，则b的取值范围是(，1题型二利用导数求函数的极值例2设a0，函数f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲线yf(x)在(2，f(2)处与直线yx1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值思维启迪(1)通过f(2)的值确定a
6、；(2)解f(x)0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值解(1)由已知，得x0，f(x)x(a1)，yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，所以f(2)1，即2(a1)1，所以a0，此时f(2)220，故所求的切线方程为yx2.(2)f(x)x(a1).当0a0，函数f(x)单调递增；若x(a,1)，f(x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)a2aln a，极小值是f(1).当a1时，f(x)0，所以函数f(x)在定义域(0，)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值当a1时，若x(0,1)，f(x)0，函
7、数f(x)单调递增；若x(1，a)，f(x)0，函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)，极小值是f(a)a2aln a.综上，当0a1时，f(x)的极大值是，极小值是a2aln a.思维升华(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解对f(
8、x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.结合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以a的取值范围为a|00)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围思维启迪(1)题目条件的转化：f(1)g(1)且f
9、(1)g(1)；(2)可以列表观察h(x)在(，2上的变化情况，然后确定k的取值范围解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)且f(1)g(1)，即a11b且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)，h(x)在(，2上的变化情况如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为28；当3k0，由f(
10、x)0得x，所以f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，)上单调递增所以，x是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在(2)g(x)xln xa(x1)，则g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1，所以，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数当ea11，即a1时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以g(x)的最小值为g(1)0.当1ea1e，即1a2时，g(x)的最小值为g(ea1)aea1.当ea1e，即a2时，在区间1，e上，g(x)为递减函数，所以g(x)的最小值为g(e)aeae.综上，当a1时，g(x)的最小值为0；当1a2时
11、，g(x)的最小值为aea1；当a2时，g(x)的最小值为aeae.利用导数求函数的最值问题典例：(12分)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值思维启迪(1)解方程f(x)0列表求单调区间；(2)根据(1)中表格，讨论k1和区间0,1的关系求最值规范解答解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.2分f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)6分(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在
12、区间0,1上的最小值为f(0)k；8分当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.10分综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k0.故选C.3 设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1Ca Da0时，ex1，aex1.4 设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A1a2 Ba4Ca2 D00)，当x0时，有00且a13，解
13、得1a2.5 函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是()A2 B0 C2 D4答案C解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.二、填空题6 函数f(x)x的单调减区间为_答案(3,0)，(0,3)解析f(x)1，令f(x)0，解得3x0或0x2或a0，a2或aa，则实数a的取值范围是_答案(，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f()，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a.三、解答题9 已知函数f(x)ln x求函数f(x)的
14、极值和单调区间解因为f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以x1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)10已知函数f(x)x2bsin x2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)aln x在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围解(1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x，依题意，对任意实数x，恒有F(x)F(x
15、)0.即x2bsin x(x)2bsin(x)0，即2bsin x0，所以b0，所以f(x)x22.(2)g(x)x222(x1)aln x，g(x)x22xaln x，g(x)2x2.函数g(x)在(0,1)上单调递减，在区间(0,1)内，g(x)2x20恒成立，a(2x22x)在(0,1)上恒成立(2x22x)在(0,1)上单调递减，a4为所求B组专项能力提升(时间：30分钟)1 已知f(x)是可导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则()Af(1)e2 014f(0)Bf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Cf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)
16、Df(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)答案D解析令g(x)，则g(x)()0，所以函数g(x)是单调减函数，所以g(1)g(0)，g(2 014)g(0)，即，故f(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)2 如图是函数f(x)x3bx2cxd的大致图像，则xx等于()A. B. C. D.答案C解析由图像可得f(x)x(x1)(x2)x3x22x，又x1、x2是f(x)3x22x20的两根，x1x2，x1x2，故xx(x1x2)22x1x2()22.3 已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案(0,1)(2,3)解析由题意知
17、f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图像开口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对于任意x0,1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1时f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x0,1，f(x)xex0，且只在x0时，f(x)0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，当a0时
18、，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.当a1时，对于任意x0,1有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.当0a0.若1，即0a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.当1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g()2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，由g(0)g(1)1a(1a)e(1e)a1e0，得a.则当a时，g(0)g(1)0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a0，g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.