1、3.2 函数的单调性与最值课标要求考情分析核心素养1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.新高考3年考题题 号考 点数学抽象逻辑推理数学运算2022()卷7 单调性比较大小 2021()卷15 求函数最值 2021()卷7 单调性比较大小 2020()卷8单调性解不等式 2020()卷7 利用单调性求参 1. 函数的单调性若对于定义域I内的某个区间D(DI)上的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，（1）都有fx1-fx2x1-x20,那么就说函数f(x)在区间D上单调递增；（2）都有fx1-fx2x1-x20时,函数fx与kfx单调性相同
2、；k0,g(x)0时,则fxgx是增(减)函数;当fx0,g(x)0)的单调增区间为-,-a,(a,+)；单调减区间是-a,0,(0,a.1【P86 T2】函数y=x2-3x+3的单调递增区间是_.2【P86 T3】判断函数fx=x+4x在1,4上的单调性，并求函数fx的最大值和最小值考点一函数的单调性（区间）【方法储备】确定函数单调性(区间)的常用方法：【典例精讲】例1.(2021湖北省武汉市调研.多选)下列函数中既是奇函数，又在区间0,1上单调递增的是()A. fx=ln1x2+1-xB. fx=ln2-x2+xC. fx=sinx-xcosxD. fx=x-【名师点睛】解题时，利用单调性
3、的性质、复合函数单调性、导数法判断函数单调性较为常用，若函数含有参数，解导数不等式时，分类讨论要做到不重不漏.研究函数问题，明确单调性是第一步，能够准确快速的判断单调性，求出函数单调区间是解题的关键.【靶向训练】 练1-1(2022湖北省十堰市月考)函数f(x)=log12x2-2x-3的单调递减区间是()A. (-,1)B. (-,-1)C. (3,+)D. (1,+)练1-2(2022北京市期末)函数fx=sin2xsin2x，x0,2的单调递增区间为考点二函数单调性的应用【方法储备】1.利用单调性比较a,b,c的大小：2.利用单调性解不等式3.利用单调性求参数的取值范围角度1利用单调性比
4、较大小【典例精讲】例2.(2022安徽省合肥市联考)已知定义在R上的奇函数fx满足f(x)=f(2-x),x0,1时,(x)=3x-1，设a=ln1，b=e-ln25，c=(13)-0.1，则()A. f(c)f(b)f(a)B. f(b)f(c)f(a)C. f(b)f(a)f(c)D. f(a)f(b)0，则有()A. f(13)f(32)f(23)B. f(23)f(32)f(13)C. f(23)f(13)f(32)D. f(32)f(23)bcB. bcaC. acbD. cab角度2利用单调性解不等式【典例精讲】例3.(2022安徽省合肥市联考)若32+2x-3x2+x(14)2+
5、2x-(14)x2+x，则x的取值范围是()A. (-1,2)B. (-2,1)C. (-,-1)(2,+)D. (-,-2)(1,+)【名师点睛】利用单调性解双f型不等式，是一轮复习常见题型：1. 双f基本型：单纯的利用函数单调性，由函数值的大小关系，比较自变量的大小；2. 双f进阶型：单调性与奇偶性、对称性等性质结合考查；3. 双f构造型：逆用导数运算法则构造函数，判断函数单调性；4. 双f同构型：指、对同构，判断函数单调性.【靶向训练】练2-3(2022江西省宜春市联考)已知定义域为R的函数fx在3,+上单调递减，且y=fx+3为偶函数，则关于x的不等式fx2f4的解集为()A. -2,
6、-22,2 B. -,-2-2,22,+C. -,-22,+ D. -2,2练2-4(2022河北省石家庄市联考)已知函数f(x)=12x2-5x+7-ln|4x-5|，则使得不等式f(3t-1)f(t-2)成立的t的取值范围为()A. (-,12)(34,+)B. (-118,12)C. (-,-12)(118,+)D. (-12,34)(34,118)角度3利用单调性求参数的取值范围【典例精讲】例4. (2022江西省南昌市二模)已知0,2，函数f(x)=ln(x2sin-x+cos)在0,1上是单调函数，则的取值范围为【名师点睛】已知函数在给定区间上单调性求参问题，更倾向于考查利用转化与
7、化归的思想,将其转化为“不等式恒成立”问题,具有一定的普遍意义,属于 “通性通法”的范畴。【靶向训练】练2-5(2022江苏省无锡市一模)若函数f(x)=ex,0x1,af(x+1),x0.是增函数，则实数a的取值范围是()A. (0,1e)B. (0,1eC. 1e,1)D. (0,1)练2-6(2021浙江省宁波市月考)已知f(x)=x2+2ax-1对任意x1、x21,+)且x1x2，恒有x2f(x1)-x1f(x2)a(x1-x2)成立，则实数a的取值范围是()A. (-,2B. (-,3C. (-,72D. (0,72 考点三函数的最值【方法储备】1.求函数最值（值域）的常见方法：2.
8、已知函数最值求参数取值范围：角度1求函数的最值（值域）【典例精讲】例5.(2022浙江省金华市联考) 已知f(x)=ln(x2+1)，g(x)=(12)x-m，若对x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是【名师点睛】求解函数的最值或值域的方法较多，解题时根据解析式的结构，选择合适的方法,最值或值域；对于求一些代数式最值或取值范围、恒成立与存在性问题，都可以转化为求函数的最值与值域解决，但要注意所构造函数的定义域.【靶向训练】练3-1(2022江西省南昌市联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=-f(x)，f(x+2)=f(x)，当x(0,1时，f(x)=
9、4x-4x2，则f(x)的最小值为()A. -2B. -1C. -12D. -14练3-2(2022江苏省南京市期中)已知函数f(x)=ln(x-1)+ln(x+1)，则函数f(x)的最小值为角度2已知函数的最值（值域）求参【典例精讲】例6.(2022安徽省省蚌埠市调研)已知函数f(x)=(2x2-4x+3)(ex-1-e1-x)-2x+1在0,2上的最大值为M，最小值为m，则M+m=【名师点睛】求函数最值与已知函数最值求参，其解题的思路是一致的，都要利用常见的求最值的方法求出最值,因函数含有参数，解题时可能涉及分类讨论，一般难度较大.若涉及求最值之和，可从函数解析式的结构出发，研究函数的对称
10、中心，即可求出最值之和.【靶向训练】练3-3(2022河南省郑州市联考)若函数f(x)=2x-2-2m,x12x3-6x2,x1有最小值,m的一个正整数取值可以为练3-4(2022福建省泉州市调研)已知二次函数f(x)=x2-2ax+5，若f(x)在区间(-,2上是减函数，且对任意x1，x21,a+1，总有|f(x1)-f(x2)|4，则实数a的取值范围是 ()A. 2,3B. 1,2C. -1,3D. 2,+)核心素养系列 恒成立问题转化为求最值问题含参数的函数不等式恒成立求参数范围问题是近年来高考的重点和热点问题,思维难度高，旨在培养学生分析和解决函数综合问题的能力,促进学生数学学科核心素
11、养的达成.常见的解决恒成立的方法有：主元变更法、借助一元二次函数判别式解决恒成立问题、特值探路法、分类筛选法、借助最值解决恒成立问题、同构法等，本专题重点说明分离参数法解决恒成立问题.【方法储备】将恒成立问题中转化为函数的最值,常见的方法有：【典例精讲】例7.(2022湖北省武汉市联考)若不等式mcosx-cos3x-180对任意x(0,2)恒成立，则实数m的取值范围是()A. -,-94B. -,-2C. -,94D. -,98【名师点睛】恒成立问题转化为求函数最值，是解决恒成立问题的一个重要方向，例7采用分离参数构造函数求最值，如果参数与自变量不容易分开，也可以直接研究含参函数的最值，转化
12、为上述角度二已知函数最值求参.【靶向训练】练5-1(2021四川省成都市一模)已知函数f(x)=13x3-ax+1,0x0ex-axlny-ay0，恒成立，则a的取值范围是()A. 1e,e B. 1e,1 C. 1,e D. e,+)易错点1求复合函数单调区间时忽视定义域例8. (2022安徽省蚌埠市联考)函数y=log12(-x2+x+6)的单调增区间为()A. (12,3)B. (-2,12)C. (-2,3)D. (12,+)答案解析【教材改编】1.【解析】二次函数y=x2-3x+3的图象开口向上，对称轴为直线x=32，因此，函数y=x2-3x+3的单调递增区间是32,+. 2.【解析
13、】函数fx在1,2上单调递减，在2,4上单调递增，证明如下：在1,2上任取x1，x2，且x1x2fx2-fx1=x2+4x2-x1+4x1=x2-x1+4x1-x2x1x2=x2-x1x1x2-4x1x21x10，x1x2-40fx2-fx10，fx20，解得x3，设t=x2-2x-3=(x-1)2-4，当x3时t=x2-2x-3单调递增，因为函数y=log12t在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性可知，此函数的单调递减区间是(3,+)故选C练1-2. 【解析】令y=sin2xsin2x=2sinxcosxsin2x=2sin3x1-sin2x，设t=sinx0,1，则h(t)=2t31
14、-t2，h(t)=6t21-t2+2t3(1-t2)=6t21-t2-2t41-t2=6t21-t2-2t41-t2=2t23-4t21-t2，t0,1，h(t)00t32，0sinx320x3，f(x)在区间(0,3)上单调递增故答案为：(0,3)例2. 【解析】当x0,1时，f(x)=3x-1，则f(x)在0,1上是增函数，且当x0,1时，0f(x)2，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+2)=f(-x)=-f(x)，f(x)的图象关于直线x=1对称f(a)=f(-ln)=-f(ln)=-f(2-ln)，f(b)=f(52)=f(-12)=-f(12)，f(c)=f(30.1)=f(2
15、-30.1)，0122-ln1，02-30.11，0f(12)f(2-ln)1，0f(c)1，-1-f(2-ln)-f(12)0，即-1f(a)f(b)0，f(a)f(b)0，故函数f(x)在1,+)上单调递减，根据函数的对称性可知，函数f(x)在(-,1)上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，故f(13)f(32)f(23)，故选A练2-2. 【解析】设函数f(x)=ex+1ex，f(-x)=ex+1ex=f(x)，则f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)=ex-1ex0，所以f(x)在(0,+)上单调递增，在(-,0)上单调递减，因为sin132，tan2-1cos31-cos332si
16、n10，又a=f(sin1)，b=f(tan2)=f(-tan2)，c=f(cos3)=f(-cos3)，所以bca故本题选：B例3. 【解析】32+2x-3x2+x142+2x-14x2+x，32+2x-(14)2+2x3x2+x-(14)x2+x，构造函数F(t)=3t-(14)t，且3t在R上单调递增，(14)t在R上单调递减；则F(t)为R上的单调递增函数，由32+2x-(14)2+2x3x2+x-(14)x2+x，可得F(2+2x)F(x2+x)，根据F(x)在R上单调递增，得2+2xx2+x，即x2-x-2f(4)得|x2-3|1，-2x-2或2xf(4)的解集为(-2,-2)(2
17、,2)故选A练2-4. 【解析】因为函数fx=12x2-5x+7-ln4x-5，定义域为x-,5454,+，又f52-x=12(52-x)2-5(52-x)+7-ln452-x-5=12(254-5x+x2)-252+5x+7-ln|10-4x-5|=12x2-5x+7-ln|4x-5|=f(x)，所以函数f(x)=12x2-5x+7-ln|4x-5|关于x=54对称，当x(54,+)时，y=12x2-5x+7，y=-ln|4x-5|单调递减，故函数f(x)=12x2-5x+7-ln|4x-5|单调递减，所以函数f(x)=12x2-5x+7-ln|4x-5|在(-,54)单调递增，在(54,+
18、)单调递减，由f(3t-1)f(t-2)可得|3t-1-54|t-2-54|3t-154t-254，解得-12t0恒成立，cos0，且sin+cos-10，(0,2)，sin0要使f(x)在0,1上是单调函数，需满足二次函数y=x2sin-x+cos在0,1上是单调函数，则需满足12sin1，0sin12，故(0,6.答案为：(0,6.练2-5. 【解析】当x(0,1时，函数f(x)单调递增，f(x)(1,e，x0时，f(x)=af(x+1)，要使函数f(x)=ex,0x1,af(x+1),x0.是增函数，可得0a并且af(1)1，可得0a1e故选：B练2-6. 【解答】由已知得f(x1)+a
19、x1f(x2)+ax2，构造g(x)=f(x)+ax=x2+2ax+a-1x=x+a-1x+2a对x1，x21,+)，若x1x2，恒有f(x1)+ax1f(x2)+ax2，即gx10时，要使函数g(x)在1,+)上单调递增，需要满足对勾函数的性质得，a-11，解得10，当12时，ln(x-1)0，f(x)=ln(x-1)+ln(x+1)=ln(x2-1)，f(x)在(2,+)是增函数；因此当x=2时，f(x)有最小值f(2)=ln3例6. 【解析】设x-1=t，则x=t+1，因为x0,2，所以t-1,1，则函数f(x)=(2x2-4x+3)(ex-1-e1-x)-2x+1，化为ft=2t2+1
20、et-e-t-2t-1，设gt=ft+1=2t2+1et-e-t-2t，则g-t=2-t2+1e-t-et+2t=-gt，所以函数gt为奇函数，因为fx在0,2上的最大值为M，最小值为m，即ft在-1,1上的最大值为M，最小值为m，所以gt在-1,1上的最大值为M+1，最小值为m+1，则根据奇函数的性质，得出M+1+m+1=0，所以M+m=-2故答案为-2练3-3. 【解析】 y=2x-2-2m在(-,1)上单调递增，y=2x-2-2m12-2m，又当x-时y-2m，所以当x1时，y-2m,12-2m，当x1时，y=2x3-6x2，此时y=6x2-12x=6x(x-2)，y=2x3-6x2在(
21、1,2)上单调递减，在(2,+)上单调递增，y=2x3-6x2在1,+)上的最小值为x=2时函数值y=223-622=-8，若函数f(x)有最小值，则-2m-8，即m4，故m的一个正整数取值可以为4故答案为：4(答案不唯一)练3-4. 【解析】函数f(x)=x2-2ax+5的对称轴是x=a，则其单调减区间为(-,a，因为f(x)在区间(-,2上是减函数，所以a2则|a-1|(a+1)-a|=1，所以当x1,a+1时，f(x)在x=1处取得最大值f(1)，在x=a处取得最小值f(a)，因此任意的x1,x21,a+1，总有f(x1)-f(x2)4，只需f(a)-f(1)4即可，即(a2-2a2+5
22、)-(1-2a+5)=a2-2a+1=(a-1)24,即-2a-12，解得-1a3，又a2，因此a2,3故选A【素养提升】例7. 【解析】因为x(0,2)，所以cosx(0,1)，原不等式可变形为mcos3x+18cosx=cos(x+2x)+18cosx=cosxcos2x-sinxsin2x+18cosx=4cos2x+18cosx-3令t=cosx(0,1)，则g(t)=4t2+18t-3，g(t)=8t-18t2=64t3-18t2=8t3-(14)3t2=8(t-14)(t2+t4+116)t2当t(0,14)时，g(t)0，g(t)单调递增，所以g(t)g(14)=-94，又mg(
23、t)min，所以m-94故选A练5-1. 【解析】 a0，在x1时，f(x)=alnx为增函数，f(x)=alnxf(1)，恒成立在0x1时，f(x)=13x3-ax+1，则f(x)=x2-a，若a1，则f(x)0，f(x)单调递减，f(x)f(1)成立，13-a+10，a43，1a43，若0a1，则当0xa时，f(x)0，f(x)递减，ax0，f(x)递增，因此x=a时，f(x)min=f(a)=13(a)3-(a)3+1=-23a32+1，所以-23a32+10，显然成立，综上a的取值范围是(0,43故答案为：(0,43练5-2.【解析】 x,y0，ex-axlny-ay0恒成立，即exx-alnyy-a0恒成立设fx=lnxx，fx=1-lnxx2，令fx=1-lnxx2=0，解得x=e，当x0,e时，fx0，函数fx单调递增，当xe,+时，fx0，gx=ex(x-1)x2，令gx=0，解得x=1，当x1,+时，gx0函数gx单调递增，当x(0,1)时，gx0，函数gx单调递减，gxmin=g1=efxmax0，lnyy0，则-2x3，故函数的定义域为(-2,3)，且y=log12t在定义域内单调递减，故本题即求函数t在(-2,3)上的减区间利用二次函数的性质可得t=-x2+x+6在定义域(-2,3)上的减区间为(12,3)，故选：A