1、第一节平面向量的基本概念及线性运算【最新考纲】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相
2、反的向量2向量的线性运算3共线向量定理向量(0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得b1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)若b，bc，则c.()(3)b是b(R)的充要条件()(4)ABC中，D是BC的中点，则()()答案：(1)(2)(3)(4)2D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()ABC. D.解析：D是ABC的边AB上的中点，.答案：A3(2014课标全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B.C. D.解析：由于D，E，F分别是BC，CA，AB的中
3、点，所以()()()()2.答案：A4如右图，已知D，E，F分别是ABC的边BC，AB，AC的中点，则下列说法正确的是()A.B.C.D.解析：向量与向量方向相同，且模相等，.答案：C5(2015课标全国卷)设向量，b不平行，向量b与2b平行，则实数_解析：b与2b平行，bt(2b)，则bt2tb，解得t.答案：一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量三个结论1若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()2.(，为实数)，若点A，B，C共线，则1.3若A，B，C是平面内不共线的三点，则0P为ABC的重心三个防范1向量共线的充要条件中要注意“0”
4、，否则可能不存在，也可能有无数个2进行向量减法运算时，一定将向量平移至同一起点3证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线一、选择题1把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是()A一条线段B一段圆弧C两个孤立点 D一个圆解析：由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆答案：D2设、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Ab BbC2b Db且|b|解析：表示与同向的单位向量，表示与
5、b同向的单位向量，只要与b同向，就有，观察选项易知C满足题意答案：C3(2015佛山一中期中考试)如下图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB、AD分别交于E、F两点，且交其对角线AC于K，其中，则的值为()A. B.C. D.解析：，则，2，()2，由E，F，K三点共线可得，21，解得.答案：A4设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0解析：由向量加法的平行四边形法则易知，与的和向量过AC边中点，长度是AC边中线长的2倍结合已知条件可知P为AC边中点，做0.答案：C5设是已知的平面向量且0.关于向量的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使bc；给定
6、向量b和c，总存在实数和，使bc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使bc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使bc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1B2 C3D4解析：显然命题，正确对于，给定向量b，则b可以确定方向，不妨设如图所示，作b，B为垂足当正数|AB|sin，b时，不存在单位向量c，使bc，因此错对于，根据向量的三角形法则，必有|b|c|.若1，|2时，与|bc|b|c|2矛盾，则不正确答案：B二、填空题7在ABCD中，b，3，M为BC的中点，则_(用，b表示)解析：由3，得433(b)，b，所以(b)b.答案：b8(
7、2015北京卷)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_解析：2，.，()，().又xy，x，y.答案： 9设，b是两个不共线向量，2pb，b，2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为_解析：2b，又A，B，D三点共线，存在实数，使，即p1.答案：1 三、解答题10设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2， 8e12e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A，C，D三点共线，求k的值(1)证明：e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e2(8e12e2)，与共线又与有公共点C，A，C，D三点共线解：(2)(e1e2)(2e13e2)3e12e2，A，C，D三点共线，与共线，从而存在实数使得，则3e12e2(2e1ke2)2e1ke2，得解得，k，所以k.
