1、第4讲 基本不等式一、选择题1若x0，则x的最小值为()A2 B3 C2 D4解析x0，x4.答案D2已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5解析依题意得(ab)，当且仅当，即a，b时取等号，即的最小值是.答案C3小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则 ()Aav BvC.v Dv解析设甲、乙两地之间的距离为s.ab，v0，va.答案A4若正实数a，b满足ab1，则()A.有最大值4 Bab有最小值C.有最大值 Da2b2有最小值解析由基本不等式，得ab，所以ab，故B错；4，故A错；由基本不等式得 ，即 ，故C正确；a2b2(ab)22a
2、b12ab12，故D错答案C5已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是 ()A(，24，) B(，42，)C(2,4) D(4,2)解析x0，y0且1，x2y(x2y)442 8，当且仅当，即x4，y2时取等号，(x2y)min8，要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m恒成立，即8m22m，解得4m0)，l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为 ()A16 B8 C8 D4解析如图，作出y|log2x|的图象，由
3、图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，)内，而且xCxA与xBxD同号，所以，根据已知|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC2，xB2m，xD2，所以2m，由于m4，当且仅当，即2m14，即m时等号成立，故的最小值为28.答案B二、填空题7设x，y为实数若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_解析依题意有(2xy)213xy12xy12，得(2xy)21，即|2xy|.当且仅当2xy时，2xy取最大值.答案8在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_解析假设直线与函数f(x
4、)的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍假设P点的坐标为，则|PQ|2|OP|24.当且仅当x，即x0时，取“”号答案49若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_解析由a，bR，由基本不等式得ab2，则abab323，即ab230(3)(1)0 3，ab9.答案9，)10已知两正数x，y满足xy1，则z的最小值为_。解析zxyxyxy2，令txy，则00，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因
5、此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.13设f(x)(x0)(1)求f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)b23b.(1)解f(x)2，当且仅当x时，即x2时，等号成立所以f(x)的最大值为2.(2)证明b23b23，当b时，b23b有最小值3，由(1)知，f(a)有最大值2，对任意实数a，b，恒有f(a)b23b.14桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米(1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值解(1)由图形知，3a6x，a.则总面积Sa2aa1 832，即S1 832(x0)(2)由S1 832，得S1 8322 1 83222401 352.当且仅当，此时，x45.即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米.