1、第8节函数与方程 【选题明细表】知识点、方法题号函数零点的个数1、3、6、8、12、13函数零点所在区间4、5、7、9函数零点的应用2、10、11、14一、选择题1.(2013山东临沂市模拟)函数f(x)=x-2-x的零点个数为(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:由f(x)=x-2-x=0得x=x,在同一坐标系中作出函数y=x,y=x的图象,由图象可知两函数的交点有1个,即函数f(x)=x-2-x的零点个数为1.故选B.2.(2013青岛市高三期末检测)若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是(B)(A),+(B)(-,-1),+(C)-1,(
2、D)(-,-1)解析:要使函数在(-1,1)上存在一个零点,则有f(-1)f(1)0,即(a+1)(-5a+1)0,解得a或a0时,令-2+ln x=0,解得x=e2,所以函数f(x)有2个零点,故选C.4.(2013山东莱州一中月考)函数f(x)=ln x+ex的零点所在的区间是(A)(A)0,(B),1(C)(1,e)(D)(e,+)解析:函数f(x)=ln x+ex在(0,+)上单调递增,f=ln +=-1+0,结合选项知应选A.5.函数f(x)=-log2x的零点所在的区间为(C)(A),(B),1(C)(1,2)(D)(2,3)解析:f(x)在(0,+)上是减函数,且f(1)=10,
3、f(2)=-1=-0,则f(x)的零点在区间(1,2)内.故选C.6.(2013年高考湖南卷)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=ln x与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.故选C.7.(2013年高考重庆卷)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(A)(A)(a,b)和(b,c)内(B)(-,a)和(a,b)内(C)(b
4、,c)和(c,+)内(D)(-,a)和(c,+)内解析:ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,故选A.二、填空题8.(2013山东枣庄一模)函数f(x)=的零点的个数为.解析:当x0时,由f(x)=0得x+1=0,此时x=-1不成立.当x0时,由f(x)=0得x2+x=0,此时x=-1或x=0(不成立舍去).所以函数的零点为x=-1.答案:19.函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(nN)内,则n=.解析:由于f(1)=-40,f(2)=ln 2-10,又f(x)在(0,+)上为增函数,所以零点在区间(2,3)内,故n=2.答
5、案:210.(2013上海长宁区期末)设a为非零实数,偶函数f(x)=x2+a|x-m|+1在区间(2,3)上存在唯一零点,则实数a的取值范围是.解析:因为函数f(x)为偶函数,所以m=0,所以f(x)=x2+a|x|+1.要使函数在区间(2,3)上存在唯一零点,则有f(2)f(3)0,即(4+2a+1)(9+3a+1)0,所以(5+2a)(10+3a)0,解得-a-,即实数a的取值范围是-,-.答案:-,-11.(2013山东即墨市期末)已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是.解析:f(x)的图象如图,要使方程f(x)-a=0有两个实根,即y=f(x
6、)与y=a的图象有两个交点,0a1.答案:(0,1三、解答题12.判断函数f(x)=1+4x+x2-x3在区间(-1,1)内零点的个数,并说明理由.解:f(-1)=1-4+1+=-0,f(x)在区间(-1,1)内有零点.又f(x)=4+2x-2x2=-2(x+1)(x-2),当-1x0,f(x)在(-1,1)内单调递增,因此,f(x)在(-1,1)内有且仅有一个零点.13.已知函数f(x)=4x+m2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.解:f(x)=4x+m2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m2x+1=0仅有一个实根,设2x=t(t0),则t2+mt+1=0仅有一个
7、正实根.当=0时,m2-4=0,解得m=2或m=-2,而m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去),2x=1,x=0符合题意.当0,即m2或m-2时,t2+mt+1=0有两正根或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.这种情况不符合题意.综上可知,m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.14.(1)已知f(x)=x2+2mx+3m+4,m为何值时.函数有且仅有一个零点;函数有两个零点且均比-1大;(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点方程f(x)=0有两个相等实根=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,m=4或m=-1.法一设f(x)的两个零点分别为x1,x2,则x1+x2=-2m,x1x2=3m+4.由题意,知-5m-1.故m的取值范围为(-5,-1).法二由题意,知即-5m-1.m的取值范围为(-5,-1).(2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出g(x)、h(x)的图象.由图象可知,当0-a4,即-4a0时,g(x)与h(x)的图象有4个交点,即f(x)有4个零点.故a的取值范围为(-4,0).