1、第六节 几何概型【知识梳理】1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ _成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称几何概型.长度(面积或体积)2.几何概型的特点(1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 _个.(2)等可能性:试验结果在每一个区域内_分布.无限多 均匀 3.几何概型的概率公式 P(A)=_.A()()构成事件 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积【特别提醒】1.几何概型与古典概型的共同点:基本事件的发生都是等可能的.2.几何概型与古典概型的不同点:几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限
2、的,前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)有关,而后者却与个数有关.3.几何概型中,线段的端点,图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘,将它们水平 放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是 ()【解析】选A.如题干选项中图,各种情况的概率都是其 面积比,中奖的概率依次为 32P AP B88，21P CP D.63，2.(必修3P140例2改编)已知A=(x,y)|-1x1,0y 2,B=(x,y)|y.若在区域A中随机地扔一 粒豆子,则该豆子落
3、在区域B中的概率为()21xA.1 B.C.1 D.8448【解析】选A.集合A=(x,y)|-1x1,0y2表示 的区域是一正方形,其面积为4,集合B=(x,y)|y表示的区域为图中阴影部分,其面积为4-12.21x12所以向区域A内随机地扔一粒豆子,则豆子落在区域B内 的概率为 1421.48 感悟考题 试一试 3.(2015山东高考)在区间0,2上随机地取一个数x,则事件 发生的概率为()1211log(x)12“”3211A.B.C.D.4334【解析】选A.由 得 即0 x ,故所求概率为 1211log(x)12 11x222，32332.244.(2016莱芜模拟)将一个质点随机
4、投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.2468【解析】选B.阴影部分的面积 长方形 的面积S=21=2.所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概 率是 21S122阴，S2.S24阴5.(2016济宁模拟)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 .【解析】设阴影部分面积为S,由几何概型可知 所以S=0.18.答案:0.18 S18011 000，考向一 与长度(角度)有关的几何概型【典例1】(1)(2015重庆高考)在区间 0,5上随机地选择一个数p,则
5、方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为 .(2)已知A是圆上固定的一点,在圆上其他位置上任取一点A,则AA的长度小于半径的概率为 .【解题导引】(1)首先根据题意列出方程有两个负根满足的条件,求出p的取值范围,然后根据几何概型的概率计算公式求解.(2)可将AA的长度小于半径转化为与A,A两点有关的角度问题.【规范解答】(1)方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1,x2,则 解得 又因为p0,5,根据几何概型的概率计算公式可知方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为 答案:212124p4 3p20,xx2p0,x x3p20,2p1p2.3 或215223P.5323(
6、2)如图,满足AA的长度小于半径的点A位于劣弧上,其中ABO和ACO为等边三角形,可知BOC=,故所 求事件的概率 答案:23213P.2313【一题多解】解答本题(2)还可以用如下方法:如例题解析中图,满足AA的长度小于半径的点A位 于劣弧上,其中ABO和ACO为等边三角形,设圆的半 径为r,所以其概率 答案:23 2 rBAC12P.2r2r3的长13【母题变式】1.若本例题(1)条件“两个负根”变为“无实根”,则结果如何?【解析】由条件知=4p2-4(3p-2)0,解得:1p2,所以没有实根的概率为 2 11P.552.若本例题(1)条件“两个负根”变为“一正一负根”,则结果又如何?【解
7、析】要使该方程有一正一负根,只需x1x2=3p-20,即p ,又x0,5,所以有一正一负根的概率P=.232035215【规律方法】1.与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为 AP A.构成事件 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度2.与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段.【变式训练】1.(2016泰安模拟)在区间-1,1上随 机取一个数x,使 的值介于0到 之间的概率为 ()xcos 2121212A.B.C.D.323【解析
8、】选A.在区间-1,1上随机取一个数x,即x-1,1,要使 的值介于0到 之间,需使 或 所以-1x 或 x1,区间长度为 ,由几何概型知 的值介于0到 之 间的概率为 xcos 2122x23x,322232323xcos 212213.232.如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,以A为圆心,1 为半径作四分之一个圆弧DE,在DAB内任作射线AP,则 射线AP与线段BC有公共点的概率为 .3【解析】因为在DAB内任作射线AP,则等可能基本事 件为“DAB内作射线AP”,所以它的所有等可能事件 所在的区域H是DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在CAB内,区域h为CAB
9、,所以射线AP与线段 BC有公共点的概率为 答案:CAB301.DAB90313【加固训练】1.在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为一边作正方形,则此正方形的面积介于36cm2到81cm2之间的概率为()1111A.B.C.D.16842【解析】选C.正方形的面积介于36cm2到81cm2之间,所 以正方形的边长介于6cm到9cm之间.线段AB的长度为 12cm,则所求概率为 961.1242.在等腰RtABC中,过直角顶点C在ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D,则ADAC的概率为 .【解析】射线CD在ACB内是均匀分布的,故ACB=90可看成试验的所有结果构成的区域,在
10、线段AB上取 一点E,使AE=AC,则ACE=67.5,可看成事 件构成的区域,所以满足条件的概率为 答案:180452 67.53.90434考向二 与体积有关的几何概型【典例2】(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()A.B.1 C.D.1121266(2)已知正棱锥S-ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥 内任取一点P,使得VP-ABC VS-ABC的概率是()123711A.B.C.D.4824【解题导引】(1)点P到点O的距离大于1的点位于以O为 球心,以1
11、为半径的半球的外部.(2)本题利用几何概型解决,根据题中条件:“VP-ABC VS-ABC”得点P所在的区域为棱锥的中截面以下,结合 大棱锥与小棱锥的体积比即可求得结果.12【规范解答】(1)选B.点P到点O的距离大于1的点位于 以O为球心,以1为半径的半球的外部.记点P到点O的距 离大于1为事件A,则 333142123P A1.212(2)选B.由题意知,当点P在三棱锥的中截面以下时,满足:VP-ABC VS-ABC,故使得VP-ABC VS-ABC的概率:12123P171().28 大三棱锥的体积小三棱锥的体积大三棱锥的体积【规律方法】与体积有关的几何概型问题 如果试验的结果所构成的区
12、域的几何度量可用空间几何体的体积表示,则其概率的计算公式为:P(A)=求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积.A构成事件 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积【变式训练】一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔,则它飞入几何体F-AMCD内的概率为()32A.B.4311C.D.32【解析】选D.因为VF-AMCD=SAMCDDF=a3,VADF-BCE=a3,所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为 131412331 a14.12a2【加固训练】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在 正方体内随机取点M,则使四棱锥
13、M-ABCD的体积小于 的概率为 .16【解析】过M作平面RS平面AC,则两平面间的距离是 四棱锥M-ABCD的高,显然M在平面RS上任意位置时,四棱 锥M-ABCD的体积都相等.若此时四棱锥M-ABCD的体积等 于 ,只要M在截面以下即可小于 ,当VM-ABCD=时,即 解得h=,即点M到底面ABCD的距离,所 以所求概率 答案:161616111 1 h36 ，1211 112P.1 1 12 12考向三 与面积有关的几何概型【典例3】(1)(2015陕西高考)设复数z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为()3111A B4221111C D422(2)(2016临沂
14、模拟)在满足不等式组 的平面点集中随机取一点M(x0,y0),设事件A=“y0 2x0”,那么事件A发生的概率是()xy10,xy30,y0 1312A.B.C.D.4433【解题导引】(1)根据复数的模及解析几何的知识构造出基本事件空间和随机事件对应的几何图形,转化为面积的比值.(2)确定不等式组表示的区域,求出面积,求出满足y0 2x0的区域的面积,利用几何概型概率公式,可得结论.【规范解答】(1)选C.因为复数z=(x-1)+yi(x,yR)且|z|1,所以 即(x-1)2+y21,即点(x,y)在以(1,0)为圆心、1为半径的圆及其内部,而yx表示直线y=x左上方的部分(图中阴影弓形)
15、,所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比,22zx1y1，即 221111 142P1 1142(2)选B.作出不等式组 的平面区域即 ABC,其面积为4,且事件A=“y02x0”表示的区域为AOC,其面积为3,所以事件A发生的概率是 .xy10,xy30,y0 34【规律方法】1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路 利用平面几何、解析几何等相关知识,先确定基本事件对应区域的形状,再选择恰当的方法和公式,计算出其面积,进而代入公式求概率.2.与线性规划交汇问题的解题思路 先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.3.与定积分交汇问题的解题思路 先确定基本事
16、件对应区域的形状构成,再将其面积转化为某定积分的计算,并求其大小,进而代入公式求概率.【变式训练】1.(2015福建高考)如图,在矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于()x1,x0,1 x1,x021131A.B.C.D.6482【解析】选B.因为四边形ABCD为矩形,B(1,0)且点C和 点D分别在直线y=x+1和y=-x+1上,所以C(1,2)和 D(-2,2),所以阴影部分三角形的面积S=31=,S矩形=32=6,故此点取自阴影部分的概率 121232S1P.S4矩形2.(2
17、015湖北高考)在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y ”的概率,p2为事件“|x-y|”的概率,p3为事件“xy ”的概率,则()A.p1p2p3 B.p2p3p1 C.p3p1p2 D.p3p2p1 121212【解析】选B.由题意知,事件“x+y ”的概率为 事件“|x-y|”的概率为p2=事件“xy ”的概率为p3=,其中,S0=S=11=1,由图知 所以,p2p3p1.1211117222p1;1 18 121112322211 14，120SS1211111dx1ln 222x2，037S;48【加固训练】1.(2016菏泽模拟)已知菱形ABCD的边长为4,ABC=
18、150,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为()A.B.144C.D.188【解析】选D.由题设菱形ABCD的边长为4,ABC=150,知菱形的面积S菱形ABCD=2 ABBCsin150=4 4 =8,1212记事件M为“该点到菱形的四个顶点的距离大于1”,则 事件M对应的区域是菱形内部且在以顶点为圆心,半径 为1的圆外的部分,如图所示,根据几何概型的概率计算 公式:AABCDS8P M1.S88 菱形2.(2014辽宁高考)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是 .【解析】阴影部分面积S阴等于正方形面积S减去其内部的非阴影部分的面积S1,由对称性可知,根据几何概型知,质点落在图中阴影区域的概率 答案：123 11001448S=4x dx4xS2 2,3333阴8S23P.S2 23阴233.(2015福建高考)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .【解析】S矩形ABCD=14=4,所以此点 取自阴影区域内的概率 答案：223 21117x dxx33，7453P.412512