1、4.数列、不等式 1.等差数列的有关概念及运算(1)等差数列的判断方法：定义法 an1and(d 为常数)或 an1ananan1(n2).(2)等差数列的通项：ana1(n1)d 或 anam(nm)d.(3)等差数列的前 n 项和：Snn（a1an）2，Snna1n（n1）2d.回扣问题 1 等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a12，S312，则 a6 等于()A.8B.10C.12D.14 C2.等差数列的性质(1)当公差 d0 时，等差数列的通项公式 ana1(n1)ddna1d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d；前 n 项和 Snna1n（n1）2dd2n2(a1d2)
2、n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.(2)若公差 d0，则为递增等差数列；若公差 d0，则为递减等差数列；若公差 d0，则为常数列.(3)当 mnpq 时，则有 amanapaq，特别地，当 mn2p 时，则有 aman2ap.(4)Sn，S2nSn，S3nS2n 成等差数列.回扣问题2 设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A.6B.7C.8D.9 A3.等比数列的有关概念及运算(1)等比数列的判断方法：定义法an1an q(q 为常数)，其中 q0，an0 或an1an anan1(n2).(2)等比数列的通项：ana1qn1 或 an
3、amqnm.(3)等比数列的前 n 项和：当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna1（1qn）1qa1anq1q.(4)等比中项：若 a，A，b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项.值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为 ab.如已知两个正数 a，b(ab)的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A 与 B 的大小关系为 AB.回扣问题3 等比数列an中，a39，前三项和S327，则公比q的值为_.答案 1 或124.等比数列的性质 (1)若an，bn都是等比数列，则anbn也是等比数列；(2)若数列an为等比数列，则数列an可能
4、为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列；(3)等比数列中，当mnpq时，amanapaq；回扣问题4 等比数列an的各项均为正数，且a4a5a68，则log2a1log2a2log2a9()A.9B.6C.4D.3 A5.数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.(1)分组法求数列的和：如 an2n3n；(2)错位相减法求和：如an(2n1)2n；(3)裂项法求和：如求 1 11211231123n；(4)倒序相加法求和.回扣问题 5 若数列an的通项公式为 an2n2n1，则数列an的前 n 项和 Sn 为()A.2nn21B.2n1n21C.2n1n22
5、D.2nn22 C6.求数列通项常见方法(1)已知数列的前 n 项和 Sn，求通项 an，可利用公式 anS1（n1），SnSn1（n2）.由 Sn 求 an 时，易忽略 n1 的情况.(2)形如 an1anf(n)可采用累加求和法，例如an满足 a11，anan12n，求 an；(3)形如an1cand可采用构造法，例如a11，an3an12，求 an.(4)归纳法，例如已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 S2n(an2)Sn10，求 Sn，an回扣问题 6 若数列an的前 n 项和 Sn23an13，则an的通项公式是 an_.答案(2)n1 7.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个
6、数，必须讨论这个数的正负.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行.回扣问题 7 若 ab0，cd0，则一定有()A.adbc B.adbcC.acbdD.acbdB8.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示.回扣问题 8 已知关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集是x|x2，或 x12，则 ax2bxc0 的解集为_.答案 x12x29.基本不等式：ab2 ab(a，b0)(1)推广：a2b22ab2 ab 21a1b(a，bR).(2)用法：已知 x，y 都是正数，则若积 xy 是定值 p，则当 xy 时，和 xy 有最小值 2 p；若和 xy 是定值 s，则当 xy 时，积 xy 有最大值14s2.利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件.回扣问题 9(1)已知 x1，则 x 4x1的最小值为_.(2)已知 x0，y0 且 xy1，且3x4y的最小值是_.答案(1)5(2)74 310.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中 y 的系数的正负.回扣问题 10 若变量 x，y 满足约束条件yx，xy1，y1，且 z2xy 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 mn()A.5B.6C.7D.8B