1、江西省宜春市2013届高三模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图所示的韦恩图中，若，则阴影部分表示的集合为（ ）A BC或 D或2设与是异面直线，下列命题正确的是（ ）A过空间任意一点必可作一直线与、相交 B、的公垂线有无数多条C不存在两条相交直线与、都相交 D过直线有且仅有一个平面与平行3函数的零点所在的区间是 （ ）ABCD4设函数，其中，则的展开式中的系数为 （ ）A B C D5使命题“对任意的”为真命题的一个充分不必要条件为（ ）A B C D6设不等式组 所表示的平面区域是，平面区域与关
2、于直线对称对于中的任意一点与中的任意一点，的最小值等于（ ）AB4 C D2 7已知函数其中若的最小正周期为，且当时, 取得最大值，则（ ）A在区间上是减函数 B在区间上是增函数C在区间上是减函数 D在区间上是增函数8已知函数，则的大致图象是（ ）OyxOyxOyxOyxABCD9在等差数列中，其前项和为，若，则的值等于（ ） A B C D10定义域为的函数图象上两点，是图象上任意一点，其中已知向量，若不等式 对任意恒成立，则称函数在上“阶线性近似”若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为 （ ） A B C D是否输出S结束开始第12题图二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分
3、，请把正确答案填在题中横线上）11为虚数单位，如果为纯虚数，那么实数 12阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 13如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 14已知椭圆的离心率为，双 左视图主视图俯视图第13题图曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 15（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）（1）（极坐标与参数方程）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，曲线（为参数）与曲线的交点个数为 第16题图（2）（不等式选讲）不等式对任意恒成立的实数的取
4、值范围为_三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤）16（本小题满分12分）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减中，、分别为内角所对的边，且满足（1）证明：；（2）如图，点是外一点，设，当时，求平面四边形面积的最大值17（本小题满分12分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：支教次数人数根据上表信息解答以下问题：（1）从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之和，记“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；（2）从该学校任选两名老师，用表示这两人
5、支教次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望BCPDEFOABCDEFOA第18题图18（本小题满分12分）如图，在边长为4的菱形中，点分别在边上，点与点不重合，沿将翻折到的位置，使平面平面 （1）求证：平面；（2）当取得最小值时，若点满足()，试探究：直线与平面所成的角是否一定大于？并说明理由19（本小题满分12分）已知数列满足：（其中常数）（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求证：对于任意，20（本小题满分13分）如图，中，在轴上且关于原点对称，在边上，的周长为若一双曲线以为焦点，且经过两点xyCDOBA第20题图（1）求双曲线的方程；（2）若一条过点（为非零常数）的直线
6、与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样的定点的坐标；若不存在，请说明理由21（本大题满分14分）已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：,为自然对数的底数）江西省宜春市2013届高三模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题： CDCCA，BBBAD二、填空题11. 1或3，12 ,13. ，14. ,15.（1）2， 三、解答题16. （本小题满分12分）解：（1）由题意知：，解得， 2分 4分6分（2）因为，所以，所以为等边三角形 8分,， 当且仅当即时取最大值,的最
7、大值为12分17解:() 函数过点，在区间上有且只有一个零点，则必有即：，解得：所以，3分当时， 6分 () 从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之差的绝对值，则的可能取值分别是， 7分于是， ， 10分 从而的分布列：0123的数学期望： 12分18.（1）证明：菱形的对角线互相垂直， ， 平面平面，平面平面，且平面，平面, 平面， ，平面.5分（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系.设 因为，所以为等边三角形，故，.又设，则，.所以，故 ，所以当时，. 此时，7分设点的坐标为，由前知，则，.所以， ， 10分设平面的法向量为，则，取，解得：， 所以. 10分设直线与平面所成的角，
8、又 ，因此直线与平面所成的角大于，即结论成立12分19.解：(1)当 时, 当时， ,两式相减得： 又也适合上式 6分（2）Sn3572(2n1) 当1时，Sn357(2n1)n22n 当1时，Sn3572(2n1) ，Sn 352(2n1)n1(2n1) 当时，左=，结论显然成立。当时，左= =而 与同号，故对任意都成立。12分20.解：(1) 设双曲线的方程为，则由，得，即.3分解之得，双曲线的方程为.5分(2) 设在轴上存在定点，使设直线的方程为，由，得 即6分，即8分把代入，得.9分把代入并整理得其中且，即且 .10分代入，得，化简得 当时，上式恒成立因此，在轴上存在定点，使.13分2
9、1(1)解：函数f (x)定义域为(0，+)，由得：x = 1，当0 x 1时，f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，+)上单调递减，函数f (x)在x = 1处取得唯一的极值 2分由题意得，故所求实数a的取值范围为 4分(2)解： 当x1时，不等式化为：，即令，由题意，kg (x)在1，+)恒成立5分6分令，则，当且仅当x = 1时取等号所以在1，+)上单调递增，h (x)h(1) = 1 07分因此，g (x)在1，+)上单调递增，因此，k2，即实数k的取值范围为(，2 9分(3) 由(2)知，当x1时，不等式恒成立，即，整理得：10分令x = k(k + 1)，kN*，则有分别令k = 1，2，3，n，则有，12分将这n个不等式左右两边分别相加，得故，从而14分
