1、概率一、选择题1(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()ABCD【答案】C解析：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为故选：C2(2021年高考全国乙卷理科)在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为()ABCD【答案】B解析：如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以故选：B【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题
2、关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出3(2020年高考数学课标卷理科)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()ABCD【答案】B解析：对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为因此，B选项这一组标准差最大故选：B【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题4(2019年高考数学课标全国卷理科)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分
3、为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()ABCD【答案】答案：A解析：所有的重卦共有个，而恰有3个阳爻的重卦有个，所以所求概率为5(2018年高考数学课标卷（理）)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，则()ABCD【答案】B解析：依题意可知，则，解得或又，所以即，即所以，故选B6(2018年高考数学课标卷（理）)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数
4、，其和等于30的概率是()ABCD【答案】C解析：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，故概率，故选C7(2018年高考数学课标卷（理）)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边,的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II其余部分记为III在整个图形中随机取一点，此点取自1，II,III的概率分别记为则()ABCD【答案】A解析：如图：设，故选A8(2017年高考数学新课标卷理科)如图,正方
5、形内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()()ABCD【答案】B【解析】设正方形边长为,则圆的半径为,则正方形的面积为,圆的面积为由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是,选B 秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概率,故选B 9(2016高考数学课标卷理科)从区间随机抽取个数,，构成个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(
6、)ABCD【答案】C【解析】几何概型问题：样本空间 其面积为：事件“两数的平方和小于1的数对”对应的集合为：其对应区域面积为：，所以所以，故选C10(2016高考数学课标卷理科)某公司的班车在，发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()(A)Error! No bookmark name given.(B)Error! No bookmark name given.(C)Error! No bookmark name given.(D)Error! No bookmark name given.【答案】B【解析】如图所示，画出时间轴
7、：小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型，所求概率故选B11(2015高考数学新课标1理科)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为06，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0648B432C036D0312【答案】A解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0648，故选A考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式12(2014高考数学课标2理科)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075，连续两为优良的概率
8、是06，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A08B075C06D045【答案】A解析：设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则，故选A13(2014高考数学课标1理科)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率()ABCD【答案】D解析:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种, 周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况:一天一人一天三人有种;每天2人有种,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为;或间接解法:4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种,则周六、周日都有同学
9、参加公益活动的概率为;选D 二、填空题14(2019年高考数学课标全国卷理科)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是【答案】答案：解析：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，若第1场或第2场输1场，则，若第3场或第4场输1场，则，所以甲以4：1获胜的概率是15(2017年高考数学课标卷理科)一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽
10、取次，表示抽到的二等品件数，则 【解析】随机变量，二是随机变量是否为在这次独立重复试验中某事件发生的次数，且表示在独立重复试验中，事件恰好发生次的概率16(2013高考数学新课标2理科)从个正整数中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则_【答案】8解析：由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是，17(2012高考数学新课标理科)某个部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么
11、该部件的使用寿命超过1000小时的概率为【答案】解析： 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A=超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常，B=超过1000小时时，元件3正常，C=该部件的使用寿命超过1000小时则超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率，而那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=三、解答题18(2020年高考数学课标卷理科)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，
12、负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为，(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）记事件甲连胜四场，则；（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为，所以，需要进行第五场比赛的概率为；（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，则甲赢的基本事件包括：、，所以，甲赢概率为由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为【点
13、睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题19(2019年高考数学课标全国卷理科)分制乒乓球比赛，每赢一球得分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束求；求事件“且甲获胜”的概率【答案】；.就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，则这个球均由甲得分，或者均由乙得分因此且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，且这个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得分，后两球均为甲
14、得分因此所求概率为【解析】由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，所以.由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”所以.20(2019年高考数学课标全国卷理科)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定，对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1
15、分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则()，其中，假设，(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性【答案】（1）解：X的所有可能取值为，所以的分布列为X01P（2）（i）由（1）得因此，故，即又因为，所以为公比为4，首项为的等比数列（ii）由（i）可得.由于，故，所以表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲
16、药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理21(2018年高考数学课标卷（理）)(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位：亿元)的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型：；根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型：(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【答案】解析：（1）利用模型
17、，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额，的变化趋势2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠
18、（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值2261亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了2种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得分22(2018年高考数学课标卷（理）)(12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求
19、的最大值点(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的作为的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】解析：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为因此令，得当时，；当时，所以的最大值点为（2）由（1）知，（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，即所以（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元由于，
20、故应该对余下的产品作检验23(2017年高考数学新课标卷理科)(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性；()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9951012996996100199
21、2998100410269911013100292210041005995经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到001)附：若随机变量服从正态分布，则，【答案】(1),;(2)详见解析 【分析】(1)根据题设条件知一个零件尺寸在之内的概率为,则零件的尺寸在之外的概率为,而,进而可以求出的数学期望(2)(i)判断监控生产过程的方法的合理性,重点是考虑一天内抽取的个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率大还是小,若小即合理;(ii)根据题设条件题出的估计值和的估计
22、值,剔除之外的数据,算出剩下数据的平均数,即为的估计值,剔除之外的数据,剩下数据的样本方法,即为的估计值 【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为09974,从而零件的尺寸在之外的概率为00026故因此 的数学期望为 (2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在之外的概率只有,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率只有00408,发生的概率很小因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的 (ii)由,得的估计值为,的估计值为,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外,因此需
23、对当天的生产过程进行检查 剔除之外的数据922,剩下数据的平均数为因此的估计值为剔除之外的数据,剩下数据的样本方差为,因此的估计值为 24(2017年高考数学课标卷理科)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20
24、)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元)当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?【解析】(1)依题意可知的所有可能取值为其中,所以的分布列为(2)当时:,此时,当时取到 当时: 若,则,若时,则若时,则的分布列为此时,当时取到 当时,若,则若时,则若时,则的分布列为(元)当时,易知一定小于的情况 综上,当为瓶时,的数学期望达到最大值 25(2016高考数学课标卷理科
25、)(本题满分12分)某险种的基本保费为(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234概率0300150200200100 05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（I）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于，故（II）设表示事件：“
26、一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于，故，又因此所求概率为（III）记续保人本年度的保费为，则的分布列为因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：26(2016高考数学课标卷理科)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零
27、件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（1）求的分布列；（2）若要求，确定的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？【答案】 (I)16171819202122(II) 19 (III)【官方解答】(I)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为02,04,02,02从而，所以的分布列为16171819202122(II)由(I)得，故的最小值为19(III)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）当时，当时，要令，则的最小值为
28、19可知当时所需要的费用的期望小于当时所需要的费用的期望故应选购买零件所需费用含两部分：一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当时，费用的期望为当时，费用的期望为所以应选用27(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：地区：6273819295857464537678869566977888827689地区：7383625191465373648293486581745654766579()根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地
29、区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；()根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率解析：（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散（）记表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；表示事件
30、：“A地区用户满意度等级为非常满意”；表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”则与独立，与独立，与互斥，由所给数据得，发生的概率分别为，故，故考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件28(2014高考数学课标1理科)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差(i)利用该正态分布,求;(ii)某用户从
31、该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值为于区间(1878,2122)的产品件数,利用(i)的结果,求附:若,则【答案】解析:(1)抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 (2)()由(1)知,从而 ()由()知,一件产品中质量指标值为于区间的概率为依题意知,所以 29(2013高考数学新课标2理科)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以X(单位： t,100X150)表示下一个销售季度内的
32、市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x100,110)，则取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的T的数学期望【答案】（1）; （2）07 ；（3）59400解析：(1)当X100,130)时，T500X300(130X)800X39000当X130,150时，T50013065000所以(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120X150由直方图知需求量X120,150的频率为07，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为07(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P01020304所以E(T)450000153000026100003650000459400考点：（1）1021频率分布直方图的绘制与应用；（2）1094离散型随机变量的均值、方差；难度： B