1、第3讲 数学归纳法一、选择题 1. 利用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nN*)”时，在验证n1成立时，左边应该是()A 1 B 1aC 1aa2 D 1aa2a3解析 当n1时，左边1aa2，故选C.答案 C2用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()A假设nk(kN)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析A、B、C中，k1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k2为奇数答案D3用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基
2、础上加上()A. BC. D.解析当nk时，左侧1，当nk1时，左侧1.答案C4对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，1，nN*)，求证：S2n1(n2，nN*)证明(1)当n2时，S2nS411，即n2时命题成立；(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，即S2k11，则当nk1时，S2k111111，故当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，对n2，nN*.不等式S2n1都成立12已知数列an：a11，a22，a3r，an3an2(nN*)，与数列bn：b11，b
3、20，b31，b40，bn4bn(nN*)记Tnb1a1b2a2b3a3bnan.(1)若a1a2a3a1264，求r的值；(2)求证：T12n4n(nN*)(1)解a1a2a3a1212r34(r2)56(r4)78(r6)484r.484r64，r4.(2)证明用数学归纳法证明：当nN*时，T12n4n.当n1时，T12a1a3a5a7a9a114，故等式成立假设nk时等式成立，即T12k4k，那么当nk1时，T12(k1)T12ka12k1a12k3a12k5a12k7a12k9a12k114k(8k1)(8kr)(8k4)(8k5)(8kr4)(8k8)4k44(k1)，等式也成立根据
4、和可以断定：当nN*时，T12n4n.13设数列an满足a13，an1a2nan2，n1,2,3，(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)；(2)记Sn为数列an的前n项和，试求使得Sn2n成立的最小正整数n，并给出证明解(1)a25，a37，a49，猜想an2n1.(2)Snn22n，使得Snn22n.n6时，266226，即6448成立；假设nk(k6，kN*)时，2kk22k成立，那么2k122k2(k22k)k22kk22kk22k32k(k1)22(k1)，即nk1时，不等式成立；由、可得，对于所有的n6(nN*)都有2nn22n成立14数列xn满足x10，
5、xn1xxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是c0；(2)求c的取值范围，使xn是递增数列(1)证明先证充分性，若c0，由于xn1xxncxncxn，故xn是递减数列；再证必要性，若xn是递减数列，则由x2x1可得c0.(2)解假设xn是递增数列由x10，得x2c，x3c22c.由x1x2x3，得0c1.由xnxn1xxnc知，对任意n1都有xn0，即xn1.由式和xn0还可得，对任意n1都有xn1(1)(xn)反复运用式，得xn(1)n1(x1)(1)n1，xn1和 xn(1)n1两式相加，知21(1)n1对任意n1成立根据指数函数y(1)n的性质，得210，c，故0c.若00，即证xn对任意n1成立下面用数学归纳法证明当0c时，xn对任意n1成立(i)当n1时，x10，结论成立(ii)假设当nk(kN*)时，结论成立，即xn.因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)f()，这就是说当nk1时，结论也成立故xnxn，即xn是递增数列由知，使得数列xn单调递增的c的范围是.