1、51.2数据的数字特征考点学习目标核心素养基本数字特征理解数据的基本数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差与标准差等数据分析数字特征的应用会用数字特征解决相关问题数学运算 问题导学预习教材P61P67的内容，思考以下问题：1数据的数字特征主要有哪些？2实际问题是如何用数字特征刻画的？3方差与标准差有什么关系？1最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反应的是这组数最极端的情况一般地，最大值用max表示，最小值用min表示2平均数(1) (x1x2x3xn)xint；其中符号“”表示求和，读作“西格玛”.(2)求和符号的性质：(xiyi) xiyi；( kxi) k
2、xi ；tnt；(axib)ab3中位数、百分位数(1)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，x2n1，则称xn1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，x2n，则称为这组数的中位数(2)设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，x3，xn，计算inp%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)4众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数5极差、方差与标准差(1)极差：
3、一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差(2)方差：s2(xi)2(3)如果a，b为常数，则ax1b，ax2b，axnb的方差为a2s2；(4)方差的算术平方根为标准差标准差描述了数据相对于平均数的离散程度 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)中位数是一组数据中间的数()(2)众数是一组数据中出现次数最多的数()(3)一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近()答案：(1)(2)(3) 奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()A减少计算量B避免故障C剔除异常值 D活跃赛场气氛解析：选C.
4、因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为_，25%分位数为_答案：65 样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为_解析：由题意知(a0123)1，解得a1.所以样本方差为s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.答案：2利用概念求平均数、中位数、众数某电冰箱专卖店出售容积为182 L、185 L、228 L、268 L四种型
5、号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就做一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据(1)这组数据的平均数有实际意义吗？(2)这组数据的中位数、众数分别是多少？(3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数？【解】(1)这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值(2)这组数据共有110个，中位数为228，众数为228.(3)专卖店总经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228 L型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些一组数据中出现次数最多的数据是众数，它是我们关心的一种集中趋势，通常选择众数进行
6、决策 若数据3.2，3.4，3.2，x，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是_，平均数是_解析：由题意3.5，x3.6，所以众数是3.2，平均数是(3.23.43.23.63.93.7)3.5.答案：3.23.5利用三数平均数、众数、中位数解决问题某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用三位候选人的各项测试成绩如下表所示：测试项目测试成绩甲乙丙教学能力857373科研能力707165组织能力647284(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得
7、分按532的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由【解】(1)甲的平均成绩为：(857064)373，乙的平均成绩为：(737172)372，丙的平均成绩为：(736584)374，所以候选人丙将被录用(2)甲的测试成绩为：(855703642)(532)76.3，乙的测试成绩为：(735713722)(532)72.2，丙的测试成绩为：(735653842)(532)72.8，所以候选人甲将被录用5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用 小王数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果
8、按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少？解：小王平时测试的平均成绩84(分)所以87.6(分)所以小王该学期的总评成绩应该为87.6分极差、方差与标准差某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)小宇的作业：解：甲(94746)6，s(96)2(46)2(76)2(46)2(66)2(94140)3.6.甲、乙两人射箭成绩统计表第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩94746乙成绩757a7(1)a_；乙_；(
9、2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；(3)观察图，可看出_的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中【解】(1)由题意得：甲的总成绩是：9474630，则a3077574，乙3056，故答案为：4，6；(2)如图所示：(3)观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：乙；s(76)2(56)2(76)2(46)2(76)21.6，由于ss，所以上述判断正确因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利
10、用方差的意义比较稳定性即可 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由解：(1) 甲(9582888193798478)85(分)，乙(8375808090859295)85(分)甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分(2)由(1)知甲乙85分，所以s(9585)2(8285)2(7885)235.5，s(838
11、5)2(7585)2(9585)241.从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；从方差来看，因为甲乙，ss，所以甲的成绩较稳定；从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩1已知一组数据2，1，x，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是()A2 B2.5C3 D5解析：选B.由众数的意义可知
12、x2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为2.5.2已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x12，3x22，3x32，3x42，3x52的平均数和方差分别为()A2， B2，1C4， D4，3答案：D3样本101，98，102，100，99的标准差为()A. B0C1 D2解析：选A.样本平均数100，方差为s22，所以标准差s，故选A.4. （2i1）. 解析：(2i1)1357925.答案：255甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是_解析：由题意知
13、乙6，s6s，则乙的成绩比较稳定答案：乙A基础达标1已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为()A3B4C5 D6解析：选B.由数据3，a，4，5的众数为4，可得a为4，再求这组数据3，4，4，5的平均数为4.2小华所在的年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法错误的是()A1.65米是该班学生身高的平均水平B班上比小华高的学生人数不会超过25人C这组身高数据的中位数不一定是1.65米D这组身高数据的众数不一定是1.65米解析：选B.本题考查了一组数据中中位数、平均数、众数的概念及三者的
14、取法，由平均数所反映的意义知A选项正确，由中位数与平均数的关系确定C选项正确，由众数与平均数的关系确定D选项正确，由于平均数受一组数据中的极大、小值的影响，故B选项错误3某排球队12名队员的年龄如下表所示：年龄/岁1819202122人数/人14322则该队队员年龄的众数与中位数分别是()A19岁，19岁 B19岁 ，20岁C20岁 ，20岁 D20岁 ，22岁解析：选B.由众数的定义可知，数据19出现的次数最多达4次，12个数据中，由小到大排列后第6个与第7个位置上的数都是20，这两个数的平均数也是20.所以该队队员年龄的众数与中位数分别是19岁，20岁4已知一组数据：12，5，9，5，14
15、，则下列说法不正确的是()A平均数是9 B中位数是9C众数是5 D极差是5解析：选D.数据描述类的题目，主要考查了平均数、中位数、众数、极差的计算，题目数据比较简单，先从简单的众数入手，C是正确的，其次从小到大排列5，5，9，12，14，B是正确的，再算平均数，所以A也正确，故选择D.5现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是()A1 B2C3 D4解析：选A.由s2(xxx)2，得s2100321，即标准差s1.6某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同若知道某位选手的决赛的得分，要
16、判断他是否获奖，只需知道这11名学生决赛得分的()A中位数 B平均数C众数 D方差解析：选A.由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知11人成绩的中位数是第6名的得分根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的得分以及全部得分的中位数，比较即可7某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班其中甲班有40人，乙班有50人现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是_分解析：由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是85(分)答案：858某住宅小区6月份随机抽查了该小区6天的用水量(单位：吨)，结果分别是30
17、、34、32、37、28、31，那么，请你估计该小区6月份(30天)的总用水量约是_吨解析：(303431)632，所以估计该小区6月份(30天)的总用水量约是3230960(吨)答案：9609某学校抽查了某班级某月5天的用电量，数据如下表(单位：度)：度数91011天数311(1)求这5天用电量的平均数；(2)求这5天用电量的众数、中位数；(3)学校共有36个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量解：(1)因为(93101111)59.6，所以这个班级5天用电量的平均数为9.6度(2)众数是9度，中位数是9度(3)因为9.636227603.2，所以估计该校该月的总用电量为7603
18、.2度10甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)甲108999乙1010799如果甲、乙两人只有1人入选，你认为应如何选择？解：甲的平均数为：甲(108999)9.乙的平均数为：乙(1010799)9.甲的方差为s(109)2(89)2.乙的方差为s(109)2(109)2(79)2.甲、乙两人平均数相同，但ss，说明乙的波动性大，故应让甲入选B能力提升11(2019湖南省张家界市期末联考)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9，(x，yN)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|xy|的值为()A4 B3C2
19、 D1解析：选A.由这组数据的平均数为10，方差为2可得xy20，(x10)2(y10)28，因为不要直接求出x、y，只要求出|xy|，设x10t，y10t，由(x10)2(y10)28得t24；所以|xy|2|t|4.故选A.12在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 ()A甲地：总体均值为3，中位数为4B乙地：总体均值为1，总体方差大于0C丙地：中位数为2，众数为3D丁地：总体均值为2，总体方差为3解析：选D.根据信息可知，连续10天内
20、，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故选D.13一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，中位数为22，则x_解析：由题意知22，则x21.答案：2114对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，试判断他们谁
21、更优秀解：甲(273830373531)33，s(2733)2(3833)2(3133)29415.7；乙(332938342836)33，s(3333)2(2933)2(3633)27612.7.所以甲乙，ss.说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀C拓展探究15一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由解：(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较
22、看，甲组成绩好些(2)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2(2900540010100130141006400)172.s(4900440016100201210012400)256.因为ss，所以甲组成绩较乙组成绩稳定(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为20人，乙组成绩大于或等于90分的人数为24人，所以乙组成绩在高分阶段的人数多，同时，乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度看，乙组成绩较好