1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。22.2事件的相互独立性导思1.两个事件相互独立是如何定义的？2相互独立的两个事件具有哪些性质？事件的独立性(1)定义：条件A，B为两个事件，如果 P (AB)_P(A)P(B)结论称事件A与事件B相互独立(2)性质：条件A与B是相互独立事件结论A与，B与，与也相互独立 (1)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)与P(B)有何关系？提示：相等，如果事件A与事件B相互独立，事件A是否发生对事件B的发生没有影响，则P(B|A)P(B).(2)事件互斥与事件相互独立有何区
2、别？提示：两事件互斥是指两个事件不能同时发生，而相互独立性是指相互之间没有影响的两事件两事件互斥是在同一次试验的两个不同结果，而相互独立性是重复试验的两次的结果，或两种不同的试验的结果1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立()提示：设不可能事件为A，则P(A)0，设任意事件为B，则AB为不可能事件，P(AB)0，P(A)P(B)0，所以P(AB)P(A)P(B)，即事件A，B相互独立 (2)必然事件与任何一个事件相互独立()提示：设必然事件为A，则P(A)1，设任意事件为B，则ABB，P(AB)P(B)，又P(A)P(B)P(B)，所以P(AB)P(A)P(
3、B)，即事件A，B相互独立 (3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)P(B).( )提示：因为事件A与事件B相互独立，即事件A，B不可能同时发生，则P(B|A)P(B). (4)“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件()提示：由事件独立性的条件知正确2已知A，B独立，且P(A)0.8，则P(A|B)()A0.2 B0.8 C0.16 D0.25【解析】选B.因为A，B独立，所以P(AB)P(A)P(B)，所以P(A|B)P(A)0.8.3(教材练习改编)在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条
4、道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为_【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P.答案：类型一事件独立性的判断(数学抽象、逻辑推理) 1下列事件A，B是独立事件的是()A事件A，B的概率满足P(B)0且P(A|B)P(A)B袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A“第一次摸到白球”，B“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，B“出现点数为偶数”DA“人能活到20岁”，B“人能活到50岁”【解析】选A.对于A选项，A，B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件对
5、于C选项，由于投的是一个骰子，A，B是对立事件，所以不是相互独立事件对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故A，B不是相互独立事件2甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A相互独立但不互斥 B互斥但不相互独立C相互独立且互斥 D既不相互独立也不互斥【解析】选A.对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件3判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，
6、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”【解析】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率
7、为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A2，4，6，B3，6，AB6，所以P(A)，P(B)，P(AB)，所以P(AB)P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立 两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件(3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断.类型二相互独立事件同时发生的概率(数学运算、逻辑推理)【典例】甲、乙两人在罚球线投球命
8、中的概率分别为与.(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率四步内容理解题意条件：两人在罚球线投球命中的概率分别为与.结论：各投球一次和两次，求不同的概率思路探求(1)记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则PP(A)P(B)(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P1，则P1P()书写表达(1)记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)，P(B)，P()，P().所以恰好命中一次的概率为PP(A)P(B)P(A)P()P()P(B).(2)设事件“甲、
9、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P1，则P1P()P()P()P()P().所以甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少一次命中的概率为P1P1.注意书写的规范性：在解题前要把所要表达的事件说明清楚P1P()P()P()P()P()题后反思使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生 求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)先确定各个事件是相互独立的(2)再确定各个事件会同时发生(3)先求每个事件发生的概率，再利用公式求它们同时发生的概率1已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的
10、概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙两球都落入盒子的概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.答案：2小王某天乘飞机从济南到石家庄去办事，若当天从济南到石家庄的三班飞机正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三班飞机之间是否正点到达互不影响(1)求这三班飞机恰好有两班正点到达的概率(2)求这三班飞机至少有一班正点到达的概率(3)求恰有一班飞机正点到达的概率(4)若一班飞机正点到达计10分，用表示三班飞机的总得分，求P(20).【思路导引】(1)三班飞机恰好
11、有两班正点到达，说明有一个晚点，其余两班正点，且每个事件都是相互独立的(2)三班飞机至少有一班正点到达的对立事件是三班飞机都晚点(3)分析恰有一班飞机正点到达的事件(4)事件20的对立事件为“三班飞机都正点到达”【解析】用A，B，C分别表示这三班飞机正点到达的事件，则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，所以P()0.2，P()0.3，P()0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两班飞机正点到达的概率为P1P(BC)P(AC)P(AB)P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.
12、(2)三班飞机至少有一班正点到达的概率为P21P( )1P()P()P()10.20.30.10.994.(3)恰有一班飞机正点到达的概率为P3P(A )P(B)P( C)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C)0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.(4)事件“20”表示“至多两班飞机正点到达”，其对立事件为“三班飞机都正点到达”，所以P(20)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)10.80.70.90.496.【拓展延伸】 公式P(AB)P(A)P(B)的推广：公式P(AB)P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，An相互独
13、立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).【拓展训练】某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)，P(B)，P(C).设恰有k人合格的概率为Pk(k0，1，2，3).(1)三人都合格的概率：P3P(ABC)P(
14、A)P(B)P(C).(2)三人都不合格的概率：P0P()P()P()P().(3)恰有两人合格的概率：P2P(AB)P(AC)P(BC).恰有一人合格的概率：P11P0P2P31.综合(1)(2)可知P1最大所以出现恰有一人合格的概率最大类型三相互独立事件和互斥事件的概率(数学抽象、数学运算)【典例】计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格相互之间没有影响(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实
15、际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率(3)用X表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获得合格证书的人数，求X的分布列【思路导引】依据题设条件先判断基本事件的构成，再确定各事件间的关系，最后选择合适的公式计算【解析】(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P(A)，P(B)，P(C).因为P(C)P(B)P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)P(AB)P(AC)P(BC).(3)随机变量X的所有可能取值为0，
16、1，2，3.P(X0)，P(X2)P(D)，P(X3)，P(X1)1P(X0)P(X2)P(X3)1.所以X的分布列为X0123P 1求相互独立事件和互斥事件概率的步骤(1)列出题设中所涉及的各个事件，并且用适当的符号表示(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立或者是相互独立).(3)依据事件之间的关系准确选择概率公式进行计算(4)当直接计算符合条件事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件事件的概率2概率问题中的数学思想(1)正难则反灵活应用对立事件的概率关系(P(A)P()1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法(2)化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概
17、率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件).(3)方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解已知甲袋中装有3个白球和2个红球，乙袋中装有1个白球和4个红球，现从甲、乙两袋中各摸1个球，试求：(1)两球都是红球的概率(2)恰有1个是红球的概率(3)至少有1个是红球的概率【解析】记事件A表示“从甲袋中摸出1个红球”，事件B表示“从乙袋中摸出1个红球”，事件C表示“从甲、乙两袋中各摸1个球，恰好摸出1个红球”，事件D表示“从甲、乙两袋中各摸1个球，至少摸出1个
18、红球”(1)由题意，A，B相互独立，且P(A)，P(B)，所以两球都是红球的概率为P(AB)P(A)P(B)0.32.(2)由已知CAB，且A与B为互斥事件，而P()，P()，则P(C)P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.56.(3)由已知DCAB，且C与AB为互斥事件，则P(D)P(CAB)P(C)P(AB)0.560.320.88.1设A与B是相互独立事件，则下列命题正确的是()AA与B是对立事件 BA与B是互斥事件C与不相互独立 DA与是相互独立事件【解析】选D.若A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件2投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”
19、为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是()A B C D【解析】选A.因为P(A)，P(B)，所以P()，P().又A，B为相互独立事件，所以P()P()P().所以A，B中至少有一个发生的概率为1P( )1.3(2021兰州高二检测)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为_【解析】由题意，甲获得冠军的概率为，其中比赛进行了3局的概率为，所以所求概率为.答案：4已知A，B是相互独立事件，且P(A)，P(B)，则P(A)_；P()_【解析】因为P(A)，P(B)，所以P()，P().所以P(A)P(A)P()，P()P()P().答案：关闭Word文档返回原板块