1、第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考纲解读1.搞清四种命题的判断及其关系，掌握命题的否定与否命题的区别(重点)2熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定参数的取值范围(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的常考知识点预测2021年高考对命题及充要条件的判断为必考内容，考查知识面比较广泛，以数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念为命题方向试题难度以中、低档题型为主，且以选择、填空题的形式进行考查.对应学生用书P0041.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1
2、)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的充分不必要条件pq且qpA是B的真子集p是q的必要不充分条件pq且qpB是A的真子集续表p是q的充要条件pqABp是q的既不充分也不必要条件pq且qpA，B互不包含1概念辨析(1)“x30”是命题()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真()(
3、4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()A若xy，则x2y，则x2y2 D若xy，则x2y2答案B解析逆否命题的条件和结论是原命题结论的否定和条件的否定，所以“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”(2)对于任意两个集合A，B，“xAB”是“xA”的()A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析(AB)A，xABxA，“xAB”是“xA”的充分条件(3)设集合Mx|0x3，Nx|0x2，那么“aM ”是“aN”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条
4、件 D既不充分也不必要条件答案B解析因为NM，所以“aM ”是“aN”的必要而不充分条件(4)有下列几个命题：“若x38，则|x|2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若|x|4，则4x4”的逆否命题其中真命题的序号是_答案解析原命题的否命题是“若x38，则|x|2”，是假命题；原命题的逆命题是“若x，y互为相反数，则xy0”，是真命题；原命题是真命题，所以原命题的逆否命题是真命题对应学生用书P005题型 一命题及其关系角度1命题真假的判断1下面的命题中是真命题的是()Aysin2x的最小正周期为2B若方程ax2bxc0(a0)的两根同号，则0C如果MN，那么MNMD在AB
5、C中，若0，则B为锐角答案B解析ysin2x，T.所以A是假命题；若方程ax2bxc0(a0)的两根同号，则x1x20，所以B是真命题；当MN时，MNN，故C是假命题；当0时，向量与的夹角为锐角，而B为钝角，故D是假命题故选B.2(2018北京高考)能说明“若ab，则”为假命题的一组a，b的值依次为_答案1，1(答案不唯一)解析若ab0，则0b，则0，0，所以ab，则0b”的一组a，b，就能说明原命题是假命题例如，a1，b1；a2，b1等角度2四种命题的关系3命题“已知a1，若x0，则ax1”的否命题为()A已知0a0，则ax1B已知a1，若x0，则ax1C已知a1，若x0，则ax1D已知0a
6、1，若x0，则ax1”4(2019济南模拟)原命题：“a，b为两个实数，若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是()A原命题是真命题B逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则ab2，为假命题C否命题为：a，b为两个实数，若ab2，则a，b都大于等于1，为假命题D逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则ab1”是大前提(3)注意一些常见词语及其否定表示：词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于 如举例说明4中“a，b中至少有一个不小于1”的否定是“a，b都小于1”. 2.判断命题真假的两种方法 (1)直接判断：判断一个命题是真命
7、题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可如举例说明2.(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假如举例说明4.1(2019南昌模拟)转化与化归的数学思想很重要，比如要证明命题p：“若a，则aexx”，我们可以证明命题()A若aexx，则a B若aexx，则aC若aexx，则a D若a，则aexx答案A解析由题意可知，应证明命题p的逆否命题，即“若aexx，则a”2已知命题“若x1，则2x1，则2x3x，则它的逆命题：若2x1，为假命题；否命题：若x1，则2x3x，为假命题；逆否命题
8、：若2x3x，则x1，为真命题其中真命题的个数是1.故选B.3以下说法正确的有_(填序号)设a0且a1，则命题“若log2(a1)1，则函数f(x)logax在其定义域内是增函数”是真命题；命题“若a0，则a(b1)0”的否命题是“若a0，则a(b1)0”；命题“若x，y都是偶数，则(x1)(y1)是偶数”的逆命题为真命题答案解析正确，若log2(a1)1，则a12，a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数正确错误，原命题的逆命题为“若(x1)(y1)是偶数，则x，y都是偶数”，此命题是假命题例如x1，y3时，(x1)(y1)是偶数，但x，y不都是偶数题型 二充分、必要条件的判断
9、角度1定义法判断充分、必要条件1(2019湖南省长郡中学模拟)已知ai，biR且ai，bi都不为0(i1,2)，则“”是“关于x的不等式a1xb10与a2xb20同解”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析当a11，b11或a21，b21时，满足，但关于x的不等式a1xb10与a2xb20的解集显然不同；当关于x的不等式a1xb10与a2xb20的解集相同时，一定有，所以“”是“关于x的不等式a1xb10与a2xb20同解”的必要不充分条件角度2集合法判断充分、必要条件2(2019天津高考)设xR，则“x25x0”是“|x1|1”的()A充分而不必
10、要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由“x25x0”可得“0x5”；由“|x1|1”可得“0x2”由“0x5”不能推出“0x2”，但由“0x2”可以推出“0x5”，所以“x25x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件故选B.角度3等价转化法判断充分、必要条件3给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析根据题意可知，q綈p，但綈pq，那么其逆否命题为p綈q，但綈qp，即p是綈q的充分而不必要条件判断充分、必要条件的三种方法方法解读适合题型定义法第一步，分清条
11、件和结论：分清谁是条件，谁是结论；第二步，找推式：判断“pq”及“qp”的真假；第三步，下结论：根据推式及定义下结论定义法是判断充分、必要条件最根本、最适用的方法如举例说明1续表方法解读适合题型集合法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况如举例说明2等价法利用pq与綈q綈p；qp与綈p綈q；pq与綈q綈p的等价关系适用于“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断
12、常用的是逆否等价法如举例说明31(2020四川蓉城名校高三摸底)已知实数a0，则“2”是“a”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析a1时2但a；若a则a0.所以a即2.所以“a”“2”，“2”“a”，所以“2”是“a”的必要不充分条件2王昌龄从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析诗句“不破楼兰终不还”的意思是指将士们不攻破楼兰就不返回家乡，所以若“返回家乡”，则可推断将士们一定是“攻破楼兰”了，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”
13、的必要条件3(2018天津高考)设xR，则“”是“x31”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析解得x，即0x1；解x31得x1，因为(0,1)(，1)，所以“”是“x31 Ca4 Da4答案D解析命题可化为x1,2)，ax2恒成立，x1,2)，x21,4)，命题为真命题的充要条件为a4.命题为真命题的一个充分不必要条件为a4，故选D.2已知条件p：1，条件q：x2xa2a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是_答案解析綈p是綈q的充分不必要条件，p是q的必要不充分条件由p：1得10，0，解得3x1，记Ax|3x1由q：x2xa2a得
14、(xa)x(1a)，a(1a)，故解得axa1，记Bx|axa1由p是q的必要不充分条件可得BA，解得b成立的充分而不必要条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3答案A解析ab1ab，当a2，b1时满足ab，但ab1，即ab推不出ab1，故“ab1”是“ab”成立的充分而不必要条件，故选A.4向量a(m,1)，b(1，m)，则“m1”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若ab，则m210，所以m1，所以“m1”是“ab”的充分不必要条件5(2018浙江高考)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的()A充分不必要条
15、件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由线面平行的判定定理可知mnm，但m mn.6原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真、假、真 B假、假、真C真、真、假 D假、假、假答案B解析由共轭复数的性质知，|z1|z2|，原命题为真，因此其逆否命题为真；取z11，z2i，满足|z1|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假7设aR，则“a4”是“直线l1：ax8y80与直线l2：2xaya0平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分
16、也不必要条件答案D解析当a0时，直线l1与直线l2重合，无论a取何值，直线l1与直线l2均不可能平行，当a4时，l1与l2重合故选D.8命题“已知在ABC中，若角C90，则角A，B都是锐角”的否命题为_答案已知在ABC中，若角C90，则角A，B不都是锐角解析否命题同时否定条件和结论9命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为_答案2解析原命题是真命题，所以原命题的逆否命题也是真命题；原命题的逆命题是“若a6，则a3”，此命题是假命题，所以原命题的否命题也是假命题综上可知，假命题有2个10已知：p：xk，q：(x1)(2x)0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取
17、值范围是_答案(2，)解析由q：(x1)(2x)0，得x1或x2，又p是q的充分不必要条件，所以x|xkx|x1或x2，得k2，所以实数k的取值范围是(2，)组能力关1(2019江西抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分答案C解析根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的
18、逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分故选C.2下列命题：“若a2b2，则a1，则ax22axa30的解集为R”的逆否命题；“若x(x0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题其中正确的命题是()A B C D答案A解析否命题是“若a2b2，则ab”，是假命题；逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；若ax22axa30的解集为R，则a0或解得a0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题3设等比数列an的前n项和为Sn，则“a10”是“S3S2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C
19、解析设等比数列an的公比为q，则q0，S3S2S2a3S2a1q20a10，所以“a10”是“S3S2”的充要条件4已知函数f(x)x22axb，则“1a2”是“f(1)f(3)”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析解法一：因为f(x)x22axb，所以f(1)12ab，f(3)96ab.f(1)f(3)4a84(a2)，若1a2，则f(1)f(3)0，f(1)f(3)；若f(1)f(3)，则a2，推不出1a2.所以“1a2”是“f(1)f(3)”的充分不必要条件解法二：函数f(x)x22axb的图象的对称轴是直线xa.若1a2，则0a11,13a2，即3到对称轴的距离大于1到对称轴的距离，则f(1)f(3)成立，若a0，则f(x)在0，)上单调递增，满足f(1)f(3)，但1a2不成立所以“1a2”是“f(1)f(3)”的充分不必要条件5已知p：(xm)23(xm)是q：x23x40的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_答案(，71，)解析p对应的集合Ax|xm3，q对应的集合Bx|4x1，由p是q的必要不充分条件可知BA，m1或m34，即m1或m7.6记p：xA，且Ax|a1x0x|x2，所以a11或a12，所以a0或a3.