1、单元形成性评价(一)(第9章)(120分钟 150分)一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)1已知向量 a(1，2)，b(2，4)，|c|5，若(ab)c52，则 a 与 c 的夹角 为()A30 B60 C120 D150【解析】选 C.设 c(x，y)，则由(ab)c52，得 x2y52.又 cos ac|a|c|x2y5 5 12，即 120.2已知两点 A(2，1)，B(3，1)，与AB 平行且方向相反的向量 a 可能是()A(1，2)B(9，3)C(1，2)D(4，8)【解析】选 D.AB(32，11)(1，2)，因为(4，8)4(1，2)，所以(4，8)满足条件3已知点 A(1
2、，3)，B(4，1)，则与向量AB 同方向的单位向量为()A35，45 B45，35C35，45 D45，35【解析】选 A.由已知得，AB(3，4)，所以|AB|5，因此与AB 同方向的单位向量是15 AB 35，45.4已知 O 是直线 AB 外一点，C，D 是线段 AB 的三等分点，且 ACCDDB.如果OA 3e1，OB 3e2，那么OD 等于()Ae12e2B2e1e2C23 e113 e2D13 e123 e2【解析】选 A.如图所示，OD OA AD OA 23 AB OA 23(OB OA)13 OA 23 OB e12e2.5(2021浙江高考)已知非零向量 a，b，c，则
3、acbc 是 ab 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】选 B.若 ca 且 cb，则 acbc0，但 a 不一定等于 b，故充分性不成立若 ab，则 acbc，故必要性成立故“acbc”是“ab”的必要不充分条件6O 为平面上的定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，若(OB OC)(OB OC2OA)0，则ABC 是()A以 AB 为底边的等腰三角形B以 BC 为底边的等腰三角形C以 AB 为斜边的直角三角形D以 BC 为斜边的直角三角形【解析】选 B.因为OB OC CB，OB OC 2OA OB OA OC OAAB AC，所以CB(AB
4、AC)0，所以ABC 为以 BC 为底边的等腰三角形7已知向量 asin 6，1，b(4，4cos 3)，若 ab，则 sin 43等于()A 34 B14 C 34 D14【解析】选 B.由 ab 得 ab0，即 4sin 64cos 3 0，所以 2 3 sin 6cos 3，sin 314，所以 sin 43sin 314.8如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点 E 为边 CD 上的动点，则AE BE 的最小值为()A.2116 B32 C2516 D3【解析】选 A.以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立如图的平面直角坐标系，
5、因为在平面四边形 ABCD 中，ABAD1，BAD120，所以 A(0，0)，B(1，0)，D12，32，设 C(1，m)，E(x，y)，所以DC 32，m 32，AD 12，32，因为 ADCD，所以32，m 3212，320，即32 12 32m 320，解得 m 3，即 C(1，3)，因为 E 在 CD 上，所以 32y 3，由 C，E，D 三点共线，得3y1x3 32112，即 x 3 y2，因为AE(x，y)，BE(x1，y)，所以AE BE(x，y)(x1，y)x2xy2(3 y2)2 3 y2y24y25 3 y6，令 f(y)4y25 3 y6，y32，3.因为函数 f(y)4
6、y25 3 y6 在32，5 38上单调递减，在5 38，3上单调递增，所以 f(y)min45 3825 3 5 3862116.所以AE BE 的最小值为2116.二、多选题(每小题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分)9下列说法错误的是()A数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小【解析】选 ABC.向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小10下列命题错误的是()A若 ab，则 a 与 b 的方向相同或相反B若 ab，bc，则 acC若两
7、个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D若 ab，bc，则 ac【解析】选 ABC.由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取 a0，则对于任意的向量 b，都有 ab，A 错误；取 b0，则对于任意的向量 a，c 都有 ab，bc，B 错误；两个单位向量互相平行，方向可能相反，C 错误；由两个向量相等的概念可知 D 正确11已知向量AB 与向量BC 共线，下列关于向量AC 的说法中，正确的为()A向量AC 与向量AB 一定同向B向量AC 与向量AB 一定共线C向量AC 与向量BC 一定相等D向量AC 与向量BC 一定共线【解析】选 BD.根据共线向量的定义，可知AB，BC，AC 这
8、三个向量一定为共线向量，B，D 正确12已知两个不相等的非零向量 a，b，两组向量 x1，x2，x3，x4，x5 和 y1，y2，y3，y4，y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成记 Sx1y1x2y2x3y3x4y4x5y5，Smin表示 S 所有可能取值中的最小值则下列说法正确的是()AS 有 5 个不同的值B若 ab，则 Smin 与|a|无关C若 ab，则 Smin 与|b|无关D若|b|4|a|，则 Smin0【解析】选 BD.由已知得，S 的取值依据含 a2 的个数，分三类：有 0 个 a2，有 1 个a2，有 2 个 a2.分别得 S 的取值为 S14|a|b|cos
9、b2，S22|a|b|cos a22b2，S32a23b2(记 为 a，b 的夹角).S 至多有 3 个不同的值，故 A 错误；若 ab，则 90，易知 SminS1b2|b|2，与|a|无关，故 B 正确；若 ab，则 S 的三个值均与|b|有关，所以 Smin 一定与|b|有关，故 C 错误；若|b|4|a|，则 S116a2|cos|16a216a2(1|cos|)0，S28a2|cos|a232a2a2(338|cos|)0，S30，所以Smin0，故 D 正确三、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13已知单位向量 a，b 的夹角为3，则|ab|_【解析】单位向量 a，b 的夹角为
10、3，则|ab|a22abb2121112 11.答案：114(2020全国卷)设向量 a(1，1)，b(m1，2m4)，若 ab，则 m_【解题指南】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果【解析】由 ab 可得 ab0，又因为 a(1，1)，b(m1，2m4)，所以 ab1(m1)(1)(2m4)0，即 m5.答案：515已知 P 为ABC 所在平面内一点，且满足AP 15 AC 25 AB，则APB 的面积与APC 的面积之比为_【解析】由题意，得 5AP AC 2AB，得 2AP 2AB AC AP 2AP，得2(PA PB)PC，如图所示，以 PA，PB
11、 为邻边作PAEB，则 C，P，E 三点共线，连接 PE 交 AB 于点 O，则PC 2EP 4OP.所以SAPBSAPC2SAPOSAPC2|OP|PC|12.答案：12 【加固训练】如图所示，在ABC 中，AN 13 NC，P 是 BN 上的一点，若AP mAB 211 AC，则实数 m 的值为_【解析】设BP BN，则BP BA AP AB mAB 211 AC(m1)AB 211 AC，BN BA AN AB 14 AC.因为BP 与BN 共线，所以14(m1)211 0，所以 m 311.答案：31116已知点 P(3，0)，M(1，2)，A(0，b)，Q(a，0)(a0)满足PA
12、AQ 0，A，M，Q 三点共线，则 b_【解析】PA(3，b)，AQ(a，b)，由PA AQ 0 得 3ab2，MA(1，b2)，MQ(a1，2)，A，M，Q 三点共线，所以MA MQ，即(b2)(a1)2，由及 a0 得 b1 或 b3.答案：1 或 3四、解答题(共 70 分)17(10 分)已知|a|1，|b|2.(1)若 ab 且同向，求 ab；(2)若向量 a，b 的夹角为 135，求|ab|.【解析】(1)若 ab 且同向，则 a 与 b 的夹角为 0，此时 ab|a|b|2.(2)|ab|（ab）2 a2b22ab 122 2cos 135 1.18(12 分)已知非零向量 e1
13、，e2 不共线(1)如果AB e1e2，BC 3e1e2，CD 3e15e2，求证 A，B，D 三点共线；(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k 的值【解析】(1)因为AB e1e2，BD BC CD 3e1e23e15e26(e1e2)6AB.所以AB，BD 共线，且有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线(2)因为 ke1e2 与 e1ke2 共线，所以存在实数，使 ke1e2(e1ke2)，即(k)e1(k1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0，k10，所以 k1.19(12 分)已知在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，求证：EF
14、 12(AB DC).【证明】证法一：如图 1，首先建立平面直角坐标系设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则有AB(x2x1，y2y1)，DC(x3x4，y3y4).所以12(AB DC)x2x1x3x42，y2y1y3y42.又因为 E，F 分别是 AD，BC 的中点，所以 Ex1x42，y1y42，Fx2x32，y2y32，所以EF x2x3x1x42，y2y3y1y42，所以EF 12(AB DC).证法二：如图 2，EF ED DC CF，EF EA AB BF，与相加得，2EF DC AB，所以EF 12(DC AB).【加固训练】如图，在AB
15、C 中，CD 2DB.(1)若AD xAB yBC(x，y 为实数)，求 x，y 的值；(2)若 AB3，AC4，BAC60，求AD BC 的值【解析】(1)因为CD 2DB，所以AD AC 2(AB AD)，AD 23 AB 13 AC.又因为AD xAB yBC(xy)AB yAC，所以23 AB 13 AC(xy)AB yAC.因为AB 与AC 不共线，所以xy23，y13，所以 x1，y13.(2)AD BC 23AB 13AC(AC AB)13 AB AC 23 AB213 AC243.20(12 分)已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)，且|kab|3|akb|(k0)
16、.(1)用 k 表示数量积 ab；(2)求 ab 的最小值，并求出此时 a 与 b 的夹角【解析】(1)由|kab|3|akb|，得(kab)23(akb)2所以 k2a22kabb23a26kab3k2b2所以(k23)a28kab(13k2)b20.又 a(cos，sin)，b(cos，sin)，故|a|b|1，所以 k238kab13k20，所以 ab2k228kk214k.(2)由(1)得 abk214k14 k1k.由函数单调性得 f(k)14 k1k在(0，1上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当 k1 时，f(k)minf(1)14(11)12.设此时 a 与 b 的夹角为，则
17、 cos ab|a|b|12，又 0180，所以 60.21(12 分)已知向量 a(1，3)，b(2，0).(1)求 ab 的坐标以及 ab 与 a 之间的夹角；(2)当 t1，1时，求|atb|的取值范围【解析】(1)因为 ab(1，3)(2，0)(3，3)，所以 ab 的坐标为(3，3).设 ab 与 a 之间的夹角为，则 cos（ab）a|ab|a|31 3 39313 32，而 0，故 6.(2)因为 atb(1，3)t(2，0)(12t，3)，所以|atb|（12t）23 4t1223，在1，12上递减，在12，1上递增，所以 t12 时，|atb|的最小值为 3，t1 时，|at
18、b|的最大值为 2 3，故|atb|的取值范围为 3，2 3.22(12 分)已知向量 a12，12sin x 32 cos x和向量 b(1，f(x)，且 ab.(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值；(2)已知ABC 的三个内角分别为 A，B，C，若有 fA3 3，BC 7，sin B 217，求 AC 的长度【解析】由 ab 得12 f(x)12 sin x 32cos x所以 f(x)sin x 3 cos x2sin x3，(1)f(x)的最小正周期为 T21 2，当 sin x31 时，f(x)max2.(2)由 fA3 3得 2sin A 3，所以 sin A 32，由 BCsin A ACsin B，得 ACBCsin Bsin A7 217322.