1、湖南省娄底市娄星区2014-2015学年高二下学期学业水平数学模拟试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）若集合A=x|1x3，B=x|x2，则AB等于（）Ax|2x3Bx|x1Cx|2x3Dx|x22（4分）与角终边相同的角是（）ABCD3（4分）直线l与直线xy+1=0垂直，则直线l的斜率为（）ABCD4（4分）如图所示，算法流程图的输出结果为（）ABCD5（4分）已知平面向量=（1，2），=（3，x），若，则x等于（）A2B3C6D66（4分）已知实数a，b，满足ab0，且ab，则（）Aac2bc2Ba2b2C
2、a2b2D7（4分）求值：sin45cos15+cos45sin 15=（）ABCD8（4分）已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则a5+a7=（）A16B18C22D289（4分）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点那么=（）ABCD10（4分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）ABCD二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）11（4分）某校2014-2015学年高二年级8个班参加合唱比赛的得分如面茎叶图所示，则这组数
3、据的中位数和平均数为和12（4分）sin（）的值是13（4分）已知向量=（3，4），向量=（2，k），若，则实数k的值是14（4分）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，则角A的值是15（4分）设m1，在约束条件 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为三、解答题：（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（6分）已知sin=，0，求cos和sin（+）的值17（8分）如图，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F（1）求证：EF平面PBC；（
4、2）求证：BDPC18（8分）等差数列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通项公式； （）设bn=，求数列bn的前n项和Sn19（8分）已知抛物线y2=x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点（1）求证：OAOB；（2）当OAB的面积等于时，求k的值20（10分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界已知函数f（x）=1+a（）x+（）x，（1）当a=1时，求函数f（x）在（，0）上的值域，并判断函数f（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在0，+）上
5、是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围湖南省娄底市娄星区2014-2015学年高二下学期学业水平数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）若集合A=x|1x3，B=x|x2，则AB等于（）Ax|2x3Bx|x1Cx|2x3Dx|x2考点：交集及其运算 分析：结合数轴直接求解解答：解：如图，故选A点评：本题考查集合的交运算，属容易题，注意结合数轴，注意等号2（4分）与角终边相同的角是（）ABCD考点：终边相同的角 专题：三角函数的求值分析：直接写出终边相同角的集合得答案解答：解：与角终边相同
6、的角的集合为A=|=，取k=1，得与角终边相同的角是故选：C点评：本题考查了终边相同角的概念，是基础的计算题3（4分）直线l与直线xy+1=0垂直，则直线l的斜率为（）ABCD考点：直线的斜率 专题：直线与圆分析：求出已知直线的斜率，结合直线垂直与斜率的关系列式求得直线l的斜率解答：解：直线xy+1=0的斜率为，且直线l与直线xy+1=0垂直，设直线l的斜率为k，则，即k=故选：D点评：本题考查了直线的斜率，考查了两直线垂直与斜率间的关系，是基础题4（4分）如图所示，算法流程图的输出结果为（）ABCD考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环s，n的值
7、，当n=8时，不满足条件m8，退出循环，输出s的值为解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2满足条件m8，s=，n=4满足条件m8，s=+，n=6满足条件m8，s=+=，n=8不满足条件m8，退出循环，输出s的值为故选：C点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环s，n的值是解题的关键，属于基本知识的考查5（4分）已知平面向量=（1，2），=（3，x），若，则x等于（）A2B3C6D6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：由向量平行的充要条件可得：2（3）x=0，解之即可解答：解：平面向量=（1，2），=（3，x），若，2（3）x=0，解得x=6故
8、选：D点评：本题考查向量平行的充要条件，属基础题6（4分）已知实数a，b，满足ab0，且ab，则（）Aac2bc2Ba2b2Ca2b2D考点：不等式的基本性质 专题：不等式的解法及应用分析：利用不等式的基本性质即可判断出解答：解：ab0，且ab，即故选：D点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题7（4分）求值：sin45cos15+cos45sin 15=（）ABCD考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：坐几路两角和与差的三角函数化简求解即可解答：解：sin45cos15+cos45sin 15=sin60=故选：D点评：本题考查两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数值的求
9、法，考查计算能力8（4分）已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则a5+a7=（）A16B18C22D28考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由条件利用差数列的定义和性质求得a3=2，a4=5，公差d=3，从而求得a5+a7=2a6=2（a4+2d）的值解答：解：等差数列an满足a2+a4=2a3=4，a3+a5=2a4=10，a3=2，a4=5，公差d=3，则 a5+a7=2a6=2（a4+2d）=22，故选：C点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题9（4分）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点那么=（）ABCD考点：向量数乘
10、的运算及其几何意义 专题：计算题分析：利用向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，结合正方体进行求解解答：解：，=，=，=故选D点评：本题考查向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，是基础题解题时要认真审题，仔细解答10（4分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）ABCD考点：异面直线及其所成的角 专题：计算题分析：由正方体的结构特征，我们取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，可证得OEF即为异面直线OE与AD1所成角，解OEF即可得到答案解答：解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：E为
11、CC1的中点，EFBC1AD1，故OEF即为异面直线OE与AD1所成角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则在OEF中，EF=，OE=故cosOEF=故选D点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征，构造出异面直线OE与AD1所成角OEF是解答本题的关键二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）11（4分）某校2014-2015学年高二年级8个班参加合唱比赛的得分如面茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数为91.5和91.5考点：众数、中位数、平均数；茎叶图 专题：概率与统计分析：根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到
12、小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果解答：解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为=91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故答案为：91，5； 91.5点评：本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求12（4分）sin（）的值是考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：直接利用诱导公式化简求值即可解答：解
13、：sin（）=sin=sin=；故答案为：点评：本题考查诱导公式的应用，考查计算能力13（4分）已知向量=（3，4），向量=（2，k），若，则实数k的值是考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：由向量垂直可得=32+4k=0，解关于k的方程可得解答：解：=（3，4），=（2，k），且，=32+4k=0，解得k=，故答案为：点评：本题考查数量积与向量垂直的关系，属基础题14（4分）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，则角A的值是考点：余弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理即可得出解答：解：a2=b2+c2+bc，cosA
14、=A（0，）A=故答案为：点评：本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（4分）设m1，在约束条件 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为3考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；压轴题；数形结合分析：根据m1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围解答：解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：目标函数z=x+5y可看做斜率为的动直线，其纵截距越大z越大，由可得A点（，）当x
15、=，y=时，目标函数z=x+5y取最大值为4，即；解得m=3故答案为：3点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数z=x+my在点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键三、解答题：（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（6分）已知sin=，0，求cos和sin（+）的值考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos，再利用两角和的正弦公式求得sin（+）的值解答：解：，点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题17（8分）如图，已知四棱锥PAB
16、CD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F（1）求证：EF平面PBC；（2）求证：BDPC考点：直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）根据E，F为PD，DB的中点判断出EF为PBD的中位线可知EFPB，进而根据EF平面PBC，推断出EF平行于PB所在的平面PBC（2）先判断出BD平面PAC，进而根据线面垂直的性质判断出BDPC解答：（1）证明：菱形对角线AC与BD相交于点E，AC与BD互相平分，即AE=CE，BE=DE又线段PD的中点为F，EF为PBD的中位线，EFPB又EF平面PBC，PB平面PBC，EF平面PBC（2）
17、证明：平面PAC底面ABCD，平面PAC底面ABCD=AC，菱形ABCD中，ACBD，BD平面ABCD，BD平面PAC，BDPC点评：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质等知识对线面平行的性质和判定定理即线面垂直性质和判定定理熟记于心，并能灵活运用18（8分）等差数列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通项公式； （）设bn=，求数列bn的前n项和Sn考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an（II）由=，利用裂项求和即可求解解答：解：（I）设等差数列an的公差
18、为da7=4，a19=2a9，解得，a1=1，d=（II）=sn=点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易19（8分）已知抛物线y2=x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点（1）求证：OAOB；（2）当OAB的面积等于时，求k的值考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的应用 专题：计算题分析：（1）证明OAOB可有两种思路：证kOAkOB=1；取AB中点M，证|OM|=|AB|（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求AOB的面积也有两种思路：利用SOAB=|AB|h（h为O到AB的距离）；设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用SO
19、AB=|ON|y1y2|解答：解：（1）由方程y2=x，y=k（x+1）消去x后，整理得ky2+yk=0设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1y2=1A、B在抛物线y2=x上，y12=x1，y22=x2，y12y22=x1x2kOAkOB=1，OAOB（2）设直线与x轴交于N，又显然k0，令y=0，则x=1，即N（1，0）SOAB=SOAN+SOBN=|ON|y1|+|ON|y2|=|ON|y1y2|，SOAB=1=SOAB=，=解得k=点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的应用，其中联立方程、设而不求、韦达定理三者综合应用是解答此类问题最常用的方法，但在解方程组
20、时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定当然，这里消去x是最简捷的20（10分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界已知函数f（x）=1+a（）x+（）x，（1）当a=1时，求函数f（x）在（，0）上的值域，并判断函数f（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在0，+）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围考点：二次函数在闭区间上的最值；函数的值域 专题：新定义；函数的性质及应用分析：（1）当a=1时，则再根据g（t）的值域为（3， +），故不存在
21、常数M0，使|f（x）|M成立，从而得出结论 （2）由题意知，|f（x）|3在1，+）上恒成立，即42xa22x在0，+）上恒成立再利用单调性求出42x 的最大值和22x的最小值，从而得到a的范围解答：解：（1）当a=1时，f（x）=1+，则f（x）=g（t）=t2+t+1=+g（t）在（1，+）上单调递增，g（t）g（1），即f（x）在（，0）上的值域为（3，+），故不存在常数M0，使|f（x）|M成立，所以函数f（x）在（，1）上不是有界函数 （2）由题意知，|f（x）|3在1，+）上恒成立3f（x）3，4a2，42xa22x在0，+）上恒成立，42x 的最大值小于或等于a，且a小于或等于22x的最小值设 2x=t，h（t）=4t，p（t）=2t，由x0，+） 得 t1设1t1t2，h（t1）h（t2）=0，p（t1）p（t2）=0，所以，h（t）在1，+）上递减，p（t）在1，+）上递增，h（t）在1，+）上的最大值为h（1）=5，p（t）在1，+）上的最小值为p（1）=1，5a1，所以，实数a的取值范围为5，1点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题
