1、第四节 随机事件的概率 【知识梳理】1.事件的相关概念 会发生 不发生 发生 不发生 2.频率和概率(1)频数、频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某 一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的_为 事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=_为 事件A出现的频率.次数nA Ann(2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的 增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这 个常数记作_,称为事件A的概率.P(A)3.事件的关系与运算 名称条件结论符号表示包含 关系A发生B发生事件B_事件A(事件A _事件B)BA(或AB)相等 关系若_ 事件A与事件B相等A=B并(和
2、)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)_ _包含 包含于 BA且AB AB(或A+B)名称条件结论符号表示交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)_ _互斥 事件AB为_ 事件事件A与事件B互斥AB=对立 事件AB为_事件,AB为必然事件事件A与事件B互为对立事件AB=,P(AB)=1AB(或AB)不可能 不可能 4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:_.(2)必然事件的概率为_.(3)不可能事件的概率为_.0P(A)1 1 0(4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=_.(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则 AB为
3、必然事件,P(AB)=_,P(A)=_.P(A)+P(B)1 1-P(B)【特别提醒】1.概率与频率的关系:概率可看成频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.2.事件互斥是指:由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集.3.事件A的对立事件 是指:全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.A【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修3P123习题3.1A组T3改编)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:成绩人数90分以上428089分1727079分2406069分
4、865059分5250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计他得以下分数的概率:(1)90分以上的概率:.(2)不及格的概率:.【解析】(1)(2)答案:(1)0.07(2)0.1 420.07.600 5280.1.6002.(必修3P124习题3.1A组T6改编)袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则恰有1个红球和全是白球;至少有1个红球和全是白球;至少有1个红球和至少有2个白球;至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中,是对立事件的为 .【解析】至少有1个红球和全是白球不同时发生,且一定有一个发生.所以中两事件是对立事件.答案:感悟
5、考题 试一试 3.(2016济宁模拟)有一个容量为66的样本,数据的分 组及各组的频数如下:11.5,15.5)2 15.5,19.5)4 19.5,23.5)9 23.5,27.5)18 27.5,31.5)11 31.5,35.5)12 35.5,39.5)7 39.5,43.5)3 根据样本的频率分布估计,数据落在27.5,43.5)的概率约是()1112A.B.C.D.6323【解析】选C.由条件可知,落在27.5,43.5)的数据有 11+12+7+3=33(个),故所求概率约为 331.6624.(2016淄博模拟)下列各组事件中,不是互斥事件的是()A.一个射手进行一次射击,命中
6、环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分 C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒 D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%【解析】选B.由互斥事件的意义A,C,D都是互斥事件,而平均分不低于90分与平均分不高于90分都含有90分,故B不是互斥事件.5.(2016青岛模拟)某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未打靶.假设此人射击1次,则其中靶的概率约为 ;中10环的概率约为 .【解析】中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频 率为 =0.9,所以此人射击1次,中靶的概率约为
7、0.9.同理得中10环的概率约为0.2.答案:0.9 0.2 9106.(2016枣庄模拟)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取7 个不同的数,则这7个数的中位数是6的概率为 .【解析】6之前6个数中取3个,6之后3个数中取3个,所求概率为 答案：3363710C C1.C616考向一 随机事件的频率与概率【典例1】(1)在投掷一枚硬币的试验中,共投掷了100次,“正面朝上”的频数为51,则“正面朝上”的频率为()A.49 B.0.5 C.0.51 D.0.49(2)(2015北京高考)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种食品的情况,整理成如下统计表,其中“
8、”表示购买,“”表示未购买.商品 顾客人数 甲乙丙丁1002172003008598估计顾客同时购买乙和丙的概率.估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品可能性最大?(真题溯源:本题源自A版必修3P145复习参考题A组T4)【解题导引】(1)根据事件发生的频率的定义可求.(2)由图表计算出同时购买乙和丙的人数,由概率定义计算.由图表分别计算出同时购买甲、丙、丁,及同时购买甲、乙、丙的人数,由概率定义计算.分别计算出购买了甲,同时购买乙、丙、丁中一种的概率,比较得出结论.【规范解答】(1)选C.由题意,根据事件发生的频率的 定义可知
9、,“正面朝上”的频率为 =0.51.(2)1000位顾客中有200位同时购买乙和丙,所以估计 顾客同时购买乙和丙的概率为 511002001.1 00051000位顾客中有100位同时购买甲、丙、丁,200位同 时购买甲、乙、丙,所以估计1000人中同时购买3种商 品的概率为 1002003.1 00010购买了甲的顾客有100+200+300+85=685位.则顾客同时购买乙概率为 ,同时购买丙的概率为 同时购买丁的概率为 因此,顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最 大.200685100200300600685685，100.685【母题变式】1.本例(1)条件不变,试求“正面朝上”
10、的概率.【解析】通过大量试验可知,频率稳定在0.5左右,故“正面朝上”的概率约是0.5.2.本例(1)条件变为从自动打包机包装的食盐中随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492,496,494,495,498,497,501,502,504,496,497,503,506,508,507,492,496,500,501,499,根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5501.5g的概率是多少?【解析】袋装食盐在497.5501.5g的数量为5,所以概 率约为 =0.25.520【规律方法】1.计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算出所求随
11、机事件出现的频数及总事件的频数.(2)由频率与概率的关系得所求.2.求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点 求解该类问题的关键,由所给频率分布表,频率分布直方图或茎叶图等图表,计算出所求随机事件出现的频数,进而利用频率与概率的关系得所求.【变式训练】(2015全国卷)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图 B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度 评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90
12、,100频数2814106(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意【解析】(1)B地区用户满意度评分的频率分布直方图 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区用户的满意度
13、等级为不满意的概率大.理由如下:记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)10=0.6,P(CB)的估计值为(0.005+0.02)10=0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.【加固训练】1.某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表,则其发芽的概率约为 (结果保留1位小数).种子 粒数2510 70 130 310 700 1 500 2 000 3 000发芽 粒数24960 116 282 639 1 339 1 806 2 715【解析】=(2+4+9
14、+60+116+282+639+1339+1806+2715)(2+5+10+70+130+310+700+1500+2000+3000)0.9,当种子粒数足够多时,发芽的频率稳定于0.9,故用频率 估计概率,发芽的概率约为0.9.答案:0.9 x2.(2015陕西高考)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率.(2)西安市某学校拟从4月份的
15、一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.【解析】(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率 是 .1315(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2 日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期 对有16对,其中后一天不下雨的有14对,所以晴天的次 日不下雨的频率为 ,以频率估计概率,运动会期间不 下雨的概率为 .7878考向二 确定事件间的关系【典例2】(1)(2016临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇
16、数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则()A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件(2)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,判断下列各对事件是否是互斥事件,并说明理由.恰有1名男生和恰有两名男生;至少有1名男生和至少有1名女生;至少有1名男生和全是男生;至少有1名男生和全是女生.【解题导引】(1)根据互斥事件、对立事件的定义逐个选项验证得出答案.(2)判断两个事件是否为互斥事件,就是考虑它们能否同时发生,如果不能同时发生,就是互斥事件,否则就不是互斥事件.【规
17、范解答】(1)选D.由于事件A与B可能同时发生,故不互斥,则选项A错,B也错,而B与C事件不能同时发生,且BC为必然事件,故事件B与事件C对立.(2)是互斥事件.理由是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果,当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生了.不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生
18、”,这与“全是男生”可同时发生.是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,它和“全是女生”不可能同时发生.【规律方法】1.准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生.(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.2.判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.【变式训练】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了三组事
19、件:至少有1个白球与至少有1个黄球;至少有1个黄球与都是黄球;恰有1个白球与恰有1个黄球.其中互斥而不对立的事件共有()A.0组 B.1组 C.2组 D.3组【解析】选A.对于,“至少有1个白球”发生时,“至少有1个黄球”也会发生,比如恰好一个白球和一个黄球,故中的两个事件不互斥.对于,“至少有1个黄球”说明有黄球,黄球的个数可能是1或2,而“都是黄球”说明黄球的个数是2,故这两个事件不是互斥事件.“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都表示取出的两个球中,一个是白球,另一个是黄球.故不是互斥事件.【加固训练】某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸
20、”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)A与C.(2)B与D.(3)B与C.(4)C与D.【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报纸”与事件D“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与D是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件D一定发生,且事件D不发生会导致事件B一定发生,故B与D还是对立事件.(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,事件C“
21、至多订一种报纸”中有这些可能:“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(4)由(3)的分析知事件D“一种报纸也不订”是事件C的一种可能,即事件C与事件D有可能同时发生,故C与D不是互斥事件.考向三 互斥事件、对立事件概率公式的应用【典例3】(1)已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙胜的概率为 ,则甲胜的概率和甲不输的概率分别 为 .1213(2)某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求
22、:1张奖券的中奖概率;1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.【解题导引】(1)“甲胜”的对立事件是“和棋或乙胜”;“甲不输”可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件.(2)“1张奖券中奖”可以看作中“特等奖”“一等奖”“二等奖”三个互斥事件的和事件.所求事件可以看作“1张奖券中特等奖或中一等奖”的对立事件.【规范解答】(1)“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事 件,所以“甲胜”的概率为 设“甲不输”为事件A,则A可看作是“甲胜”与“和 棋”这两个互斥事件的和事件,所以P(A)=答案:1111.236112.6231 2,6 3(2)设“1张奖券中奖”为事件M,则M=ABC,依题意,因为A,
23、B,C两两互斥,所以P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)故1张奖券的中奖概率为 .611 000 11011P AP BP C1 0001 00010020，1 105061,1 0001 000设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则 事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 .11989P N1P(AB)1().1 0001001 000 9891 000【易错警示】解答本例(1)有两点容易出错:“甲胜”的对立事件为“乙胜”,从而造成错解.“甲不输”的对立事件为“乙不输”,从而造成错误.【规律方法】求复杂的互斥
24、事件的概率的两种方法(1)直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率求和公式计算.(2)间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P(),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就显得较简便.A【变式训练】(2016枣庄模拟)有编号为1,2,3的三个白球,编号4,5,6的三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两个球.(1)求取得的两个球颜色相同的概率.(2)求取得的两个球颜色不相同的概率.【解析】从六个球中取出两个球的基本事件是:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
25、(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共计15个.(1)记事件A为“取出的两个球是白球”,则这个事件包 含的基本事件是(1,2),(1,3),(2,3),共计3个,故P(A)=记“取出的两个球是黑球”为事件B,同理可得P(B)=.31155；15记事件C为“取出的两个球的颜色相同”,A,B互斥,根据互斥事件的概率加法公式,得P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=.25(2)记事件D为“取出的两个球的颜色不相同”,则事 件C,D对立,根据对立事件概率之间的关系,得P(D)=1-P(C)=1-=.2535【加固训
26、练】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据,如表所示.一次购物量1至 4件5至 8件9至 12件13至 16件17件 以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)求x,y的值.(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.【解析】(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.(2)记A:一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟.A1:该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟.A2:该顾客一次购物的结算时间为3分钟.将频率视为概率可得P(A)=P(A1)+P(A2)=0.3.所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率 为0.3.2010100100