1、模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设复数z1(其中i为虚数单位)，则z23的虚部为()A2iB0C10D2解析：由z112i，得z2(12i)234i，12i.所以z2334i3(12i)2i，虚部为2.答案：D2观察下列数：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，它的第100项是()A10B13C14D100解析：91，从92项开始为14，有14项第100项为14.答案：C3已知i是虚数单位，且z2 0142i的共轭复数为，则z()A5B1C.D9解析：z2 0142i(i)2
2、 0142i12i，于是z (12i)(12i)5.答案：A4数列an，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n2Bn2C3n1D4n3解析：计算出a24，a39，a416，猜想ann2.答案：B5为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接受方由密文明文(解密)已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a2b,2bc，2c3d，4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()A4,6,1,7B7,6,1,4C6,4,1,7D1,6,4,7解析：由题意
3、，得解得.答案：C6(2017北京卷)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1)B(，1)C(1，)D(1，)解析：(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，又复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，解得a1.答案：B7由直线x，x，y0与曲线ysin x 所围成的封闭图形的面积为()A2B4C2D4解析：由图可得，封闭图形的面积为Ssin xdxsin xdxsin xdx20sin xdxsin xdx2)(cos cos 0)2(11)4.答案：B8已知，是三次函数f(x)x3ax22bx(a，bR)的两个极值点，且(0,1)，(1
4、,2)，则的取值范围是()A.BC(1，)D(1，)解析：函数有两个极值，f(x)0有两个不同的根，即 0.又f(x)x2ax2b，(0,1)，(1，2)，即的几何意义是指动点P(a，b)到定点A(2,3)两点连线斜率的取值范围，作出可行域如图由图象可知当直线经过AB时，斜率最小，此时斜率为k；当直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为k1.1.答案：B9定义在R上的函数yf(x)满足f(4x)f(x)，(x2)f(x)0，若x14，则()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)的大小不确定解析：f(4x)f(x)，函数f(x)的图象关于直线x2对称由(x2)f(x)x
5、12时，f(x1)f(x2)；当x22x1时x1x24，x24x12.f(4x1)f(x1)f(x2)综上，f(x1)f(x2)答案：B10若直线xym0(mR)不可能是曲线f(x)ax2ln x的切线，则实数a的取值范围是()A(，0BC.D0，)解析：由题意，得f(x)2ax(x0)，且直线xym0(mR)的斜率为1.对任意实数m直线xym0都不是曲线yf(x)的切线，曲线yf(x)的切线的斜率不可能为1.故2ax1无正实数根分离a，得a，也就是当x0时，不能成立令y2，设t，由x0，得t0.则y20，且a1)在区间0，)上是增函数，那么实数a的取值范围是()A.BC(1，D解析：由已知，
6、得f(x)2a2xln a(3a21)axln aaxln a(2ax3a21)0.当a1时，ln a0，ax0，2ax3a210恒成立当x0，)时，ax1，故只需23a210，即3a21.a2，与a1矛盾当0a1时，ln a0，2ax3a210恒成立当x0，)时，ax1，故只需23a210，即3a21.a0，且f(x)的值域为0，)，则的最小值为_.解析：f(x)2axb，f(0)b0.又函数f(x)的值域为0，)，a0，且b24ac0，即4acb2，c0.f(1)abc，111112，当且仅当ac时等号成立的最小值为2.答案：216定义两个实数间的一种新运算“*”：x*ylg(10x10y
7、)，x，yR.对任意实数a，b，c，给出如下结论：(a*b)*ca*(b*c)；a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)其中正确的是_(填序号即可)解析：式正确a*blg(10a10b)， (a*b)*clg(10lg(10a10b)10c)lg(10a10b10c)同理a*(b*c)lg(10a10b10c)a*(b*c)(a*b)*c.同理可验证式正确式正确(ac)*(bc)lg(10ac10bc)lg10c(10a10b)lg(10a10b)c，(a*b)clg(10a10b)c，(a*b)c(ac)*(bc)答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)求证：acbd.
8、证明：若acbd0，则不等式显然成立若acbd0，要证原不等式成立只要证(acbd)2(a2b2)(c2d2)，即证a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2, 只要证(adbc)20.此式显然成立，所以原不等式成立18(12分)设复数z满足4z23i，sin icos (R)求z的值和|z|的取值范围解：设zabi(a，bR)，则abi.代入4z23i，得4(abi)2(abi)3i.6a2bi3i.解得zi.|z|.1sin1，022sin4.0|z|2.19(12分)已知复数z(2xa)(2xa)i，x，aR，当x在(，)内变化时，试求|z|的最小值g(a)解：|z|2(
9、2xa)2(2xa)222x22x2a(2x2x)2a2.令t2x2x，则t2,22x22xt22.从而|z|2t22at2a22(ta)2a22.当a2，即a2时，g(a)；当a2时，g(a)|a1|.20(12分)用数学归纳法证明不等式.证明：当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk(k 1，kN)时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证.由基本不等式，得成立故成立所以，当nk1时，结论成立由可知，当nN时，不等式 成立21(12分)已知函数f(x)x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10.(1)求函数f(x)的解析式(2)设函数g
10、(x)f(x)mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值解：(1)由已知，得切点为(2,0)故f(2)0，即4bc30.又f(x)3x24bxc，由已知，得f(2)128bc5，即8bc70.联立，解得b1，c1.函数f(x)的解析式为f(x)x32x2x2.(2)由g(x)x32x2x2mx，令g(x)3x24x1m0.当函数有极值时，方程3x24x1m0有实数解，即0，由4(1m)0，得m1.当m1时，g(x)0有实数根x，在x左右两侧均有g(x)0，函数g(x)无极值；当m0)若f(x)在1,1上的最小值记为g(a). (1)求g(a)(2
11、)求证：当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.(1)解：由已知，得a0，1x1.当0a1时，若x1，a，则f(x)x33x3a，f(x)3x230.故f(x)在(a,1)上是增函数g(a)f(a)a3.当a1时，有xa，则f(x)x33x3a，f(x)3x230.故f(x)在(1,1)上是减函数g(a)f(1)23a.综上，g(a)(2)证明：令h(x)f(x)g(a)，当0a1时，g(a)a3.若xa,1，则由h(x)x33x3aa3，得h(x)3x23.故h(x)在(a,1)上是增函数h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3，且0a0.知t(a)在(0,1)上是增函数t(a)t(1)4，即h(1)4.故f(x)g(a)4.当a1时，g(a)23a，故h(x)x33x2，h(x)3x23.此时h(x)在(1,1)上是减函数因此h(x)在1,1上的最大值是h(1)4.故f(x)g(a)4.综上，当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.