1、第1讲合情推理与演绎推理最新考纲1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异知 识 梳 理1合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理
2、简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()2数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()A28 B32 C33 D27解析523，1156，20
3、119，推出x2012，所以x32.答案B3顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品工艺师带一位徒弟完成这项任务每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为_个工作日解析先由徒弟粗加工原料B，6个工作日，再由师傅精加工21个工作日，在这期间徒弟再粗加工原料A，9工作日不计，再由师傅精加工15个工作日，共有6211542.答案424(2014福建卷)已知集合a，b，c0，1，2，且下列三个关系：a2；b2；c0有且只有一个正确，则100a
4、10bc等于_解析可分下列三种情形：(1)若只有正确，则a2，b2，c0，又a2且b2，c2与c0矛盾，此时不合题意；(2)若只有正确，则a2，b2与集合中元素的互异性矛盾，此时不合题意；(3)若只有正确，则a2，b2，c0，即有a2，b0，c1(符合题意)100a10bc10021001201.答案2015(人教A选修22P93A5改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则b1b2b3bn_答案b1b2b3b4b17n(n17，nN*)考点一归纳推理【例1】 (2014海口调研)如图是按一定规律排列
5、的三角形等式表，现将等式从左至右，从上到下依次编上序号，即第一个等式为20213，第二个等式为20225，第三个等式为21226，第四个等式为20239，第五个等式为212310，依此类推，则第99个等式为()20213202252122620239212310222312202417212418222420232424A272138 320 B2721416 512C2821416 640 D282138 448解析依题意，用(t，s)表示2t2s，题中的等式的规律为：第一行为3(0，1)；第二行为5(0，2)，6(1，2)；第三行为9(0，3)，10(1，3)，12(2，3)；第四行为17
6、(0，4)，18(1，4)，20(2，4)，24(3，4)；，又因为99(12313)8，因此第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置，即是2721416 512，故选B.答案B规律方法归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法【训练1】 (2015济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13 21 5 9 15 23 11 17 25 19 27 29 则第30行从左到右第3个数是_解析先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数观察每
7、一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是146810601929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是92960621 051.答案1 051考点二类比推理【例2】 (1)若数列an是等差数列，则数列bn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()Adn BdnCdn Ddn(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则
8、它们的体积比为_解析(1)法一从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn.法二若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn为等比数列，故选D.(2)由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以体积比为18.答案(1)D(2)18规律方法在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球
9、，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等【训练2】 把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r(其中a，b为直角三角形两直角边长)类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R_解析由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径答案考点三演绎推理【例3】 数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn
10、1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略【训练3】 “因为对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylogx是对数函数(小前
11、提)，所以ylogx是增函数(结论)”，以上推理的错误是()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提错误导致结论错误解析当a1时，函数ylogax是增函数；当0a1时，函数ylogax是减函数故大前提错误导致结论错误答案A思想方法1合情推理的过程概括为2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行易错防范1合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明2演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理
12、过程的严密性，书写格式的规范性3合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(x)g(x)答案D2观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76 C123 D199解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式
13、子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.答案C3平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()An1 B2nC. Dn2n1解析1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域，选C.答案C4(2014北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好
14、，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A2人 B3人 C4人 D5人解析用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格，而语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B的也最多只有1个，语文成绩得C的也最多只有1个，因此学生最多只有3个，显然(A，C)，(B，B)，(C，A)，满足条件故学生最多3个答案B5由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n
15、|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析正确；错误答案B二、填空题6(2015东北三省三校联考)观察下列等式：1312，132332，13233362，13233343102，根据上述规律，第n个等式为_解析观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为1323n3.答案1323n37(2014南昌模拟)观察下列等式：2335，337911，4313151719，532123252729，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于_解析依题意，注意到从23到m3(m2，mN)的分拆中共含
16、有23m个正整数，且最大的正整数为21(m1)(m2)1，且109(101)(102)1，因此所求的正整数m10.答案108命题p：已知椭圆1(ab0)，F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过点F2作F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线1(a0，b0)，F1，F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过点F2作F1PF2的_的垂线，垂足为M，则OM的长为定值解析对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q.由对称性知，M为F2Q的中点，且PF2PQ，从而OMF1Q且OMF1Q.而F1QF1PPQF1PPF22a，
17、所以OMa.对于双曲线，过点F2作F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OMa.答案内角平分线三、解答题9给出下面的数表序列：表1表2表31 13135 4 4812其中表n(n1，2，3，)有n行，第1行的n个数是1，3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解表4为1357 4812 1220 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数
18、按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列10f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).能力提升题组(建议用时：25分钟)11给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则abcdac，bd”；若“a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，b
19、C，则ab0ab”其中类比结论正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析正确，错误因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小答案C12古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1 024 C1 225 D1 378解析观察三角形数：1，3，6，10，记该数列为an，则a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，观察正方形数：1，4，9，16，记
20、该数列为bn，则bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.答案C13(2015武汉调研)在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)相加，得1223n(n1)n(n1)(n2)类比上述方法，请你计算“123234n(n1)(n2)”，其结果是_(结果写成关于n的一次因式的积的形式)解析先改写第k项：k(k1)(k2)k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，由此得
21、123(12340123)，234(23451234)，n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)，相加得123234n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)答案n(n1)(n2)(n3)14在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由证明如图所示，由射影定理，得AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.猜想，在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平
22、面ACD，又AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.第2讲直接证明与间接证明最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解反证法的思考过程和特点知 识 梳 理1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明间接证明是不同于
23、直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时
24、否定，推出矛盾()2(2014山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3axb0没有实根”答案A3设alg 2lg 5，bex(xb BabCab Dab解析alg 2lg 51，bex，当x0时，0bb.答案A4若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()Aac2abb2C.解析a2aba(a
25、b)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.答案B5(人教A选修22P96例1改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_解析由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形答案等边三角形考点一综合法的应用【例1】 设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2a
26、bbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.当且仅当abc时，等号成立(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.当且仅当abc时，等号成立规律方法用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱【训练1】 在ABC中，设a，b，求证：SABC.证明SABC|a|b|sin C，
27、cos C，S|a|2|b|2sin2C|a|2|b|2(1cos2C)|a|2|b|2|a|2|b|2(ab)2SABC.考点二分析法的应用【例2】 已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证：2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.规律方法(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等
28、式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证只需证”或用“”注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写【训练2】 已知m0，a，bR，求证：.证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证考点三反证法的应用【例3】 设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列(1)解设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna
29、1a1qa1q2a1qn1.qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列规律方法用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设
30、矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的【训练3】 已知a0，证明关于x的方程axb有且只有一个根证明由于a0，因此方程至少有一个根x.假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1b，ax2b，由得a(x1x2)0，因为x1x2，所以x1x20，所以a0，这与已知矛盾，故假设错误所以当a0时，方程axb有且只有一个根.思想方法1综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步寻找结论成立的充分条件2分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是
31、思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来3利用反证法证明数学问题时，要假设结论不成立，并用假设的命题进行推理，不用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的易错防范注意推理的严谨性，在证明过程中每一步推理都要有充分的依据，这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论，不可盲目使用正确性未知的自造结论在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1若a，bR，则下面四个式子中恒成立的是(
32、)Alg(1a2)0 Ba2b22(ab1)Ca23ab2b2 D.1，a，b，则以下结论正确的是()Aab Ba0(m1)，即ab.答案B3“a”是“对任意正数x，均有x1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析当a时，x21，当且仅当x，即x时取等号；反之，显然不成立答案A4分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(
33、ab)0.答案C5已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|40，2.答案27下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0且0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立答案8设a，b是两个实数，给出下列条件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是_(填上序号)答案三、解答题9若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10设数列an是
34、公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，数列Sn不是等差数列能力提升题组(建议用时：25分钟)11设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c()A都大于2 B
35、都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc1时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D12已知函数f(x)，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCBCA DCBA解析，又f(x)在R上是减函数，ff()f.答案A13已知a，b，(0，)，且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a，b(0，)，且1，ab(ab)1010216(当且仅当a4，b12时等号成立)，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，00，且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn
36、2(log2an1)(nN*)证明：对任意的nN*，不等式成立(1)解由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0，且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)证明由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由均值不等式可得成立，故成立，所以，当nk1时，结论成立由可知，nN*时，不等式成立规律方法用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也
37、成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【训练2】 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式均成立证明(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立(2)假设nk(k2，且kN*)时不等式成立，即.则当nk1时，1.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立考点三归纳猜想证明【例3】 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性(1)解当n1时，由已知得a11，a2a1
38、20.a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明由(1)知，当n1，2，3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立由可知对所有nN*，an都成立规律方法“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性【训练3】 设数列an的前n项和为Sn，且方程x2a
39、nxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明解(1)当n1时，方程x2a1xa10有一根为S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，a2a20，解得a2.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当n2时，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用数学归纳法证明这个结论当n1时，结论成立假设nk(kN*，k1)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.即当nk1时结论成立由知Sn对任意的正
40、整数n都成立思想方法1数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础2归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设3利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用易错防范1数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2推证nk1时一定要用上nk时的
41、假设，否则不是数学归纳法3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础否则将会做大量无用功基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案D2用数学归纳法证明不等式(n2)的过程中，由nk到nk1时，不等式的左边()A增加了一项：B增加了两项：，C增加了两项：，又减少了一项：D增加了一项：，又减少了一项：解析当nk时，左边，nk1时，左边.故选C.答案C3数列an中，已知a
42、11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n2 Bn2 C3n1 D4n3解析计算出a11，a24，a39，a416.可猜ann2，故应选B.答案B4某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时该命题成立，那么可以推出nk1时该命题也成立现已知n5时该命题成立，那么()An4时该命题成立Bn4时该命题不成立Cn5，nN*时该命题都成立D可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错答案C5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，利用归纳法假设证明nk1时，只需展开()A(k3)3
43、B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k3)3展开，让其出现k3即可故应选A.答案A二、填空题6在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为_解析当n2时，a2(23)a2，a2.当n3时，a3(35)a3，a3.故猜想an.答案an7用数学归纳法证明：“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推理nk1时，左边应增加的项数是_解析当nk时，要证的式子为1k；当nk1时，要证的式子为12，f(8)，f(16)3，f(
44、32)，则其一般结论为_解析因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).故填f(2n)(n2，nN*)答案f(2n)(n2，nN*)三、解答题9(2014陕西卷改编)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式解由题设得，g(x)(x0)由已知得，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可得gn(x).下面用数学归纳法证明当n1时，g1(x)，结论成立假设nk(k2且kN*)时结论成立，即gk(x).那么，当nk1时，gk1(x)g
45、(gk(x)，即结论成立由可知，结论对nN*成立10已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1，2，3时，不等式显然成立，假设当nk(k3)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)2n1，n的第一个取值应是()A1 B2 C3 D
46、4解析n1时，212，2113，2n2n1不成立；n2时，224，2215，2n2n1不成立；n3时，238，2317，2n2n1成立n的第一个取值应是3.答案C12设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4时，f(n)_(用n表示)解析f(3)2，f(4)f(3)323，f(5)f(4)4234，f(6)f(5)52345，猜想f(n)234(n1)(n4)答案5(n1)(n2)14(2014重庆卷)设a11，an1b(nN*)(1)若b1，
47、求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论解(1)法一a22，a31.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nN*)法二a22，a31，可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1，则ak1111.这就是说，当nk1时结论成立综上可知，an1(nN*)(2)设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳法证明加强命题a2nca2n11
48、.当n1时，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2a31，结论成立假设nk时结论成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31.故ca2k31，因此a2(k1)ca2(k1)11.这就是说，当nk1时结论成立综上，符合条件的c存在，其中一个值为c.第4讲算法与程序框图最新考纲1.了解算法的含义，了解算法的思想；2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环；3.了解程序框图，了解工序流程图(即统筹图)；4.能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用；5.了解结构图，会运用
49、结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息知 识 梳 理1算法的定义算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤2程序框图(1)程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形(2)基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框3三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个按先后顺序执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程序框图4.基本算法语句(1)输入、输出、赋值语句的格式与功能
50、语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量表达式将表达式的值赋给变量(2)条件语句的格式及框图IFTHEN格式IFTHENELSE格式(3)循环语句的格式及框图UNTIL语句WHILE语句诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用()(2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定()(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框()(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的()2(2014福建卷)阅读右图所示的程序框图，运行
51、相应的程序，输出的S的值等于()A18 B20C21 D40解析第1次循环：S0211，此时S315；第2次循环：S3222，此时S915；终止循环，故选B.答案B3.(2014新课标全国卷) 执行右面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M()A. B.C. D.解析第一次循环：M，a2，b，n2；第二次循环：M，a，b，n3；第三次循环：M，a，b，n4，则输出M，选D.答案D4如图，是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框中可填_解析由于|x|或|x|故根据所给的程序框图，易知可填“x0？”或“x0？”答案x0？(或x0？)5(人教A必修3P33A1改编)程序：INP
52、UTxIFx0THEN yx1ELSEIFx0THEN y0ELSE yx1ENDIFENDIFPRINTyEND上面程序表示的函数是_答案y考点一程序框图的执行问题【例1】 (1)(2014北京卷)当m7，n3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A7 B42 C210 D840(2)(2014浙江卷)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是_解析(1)程序框图的执行过程如下：m7，n3，km7，S1，mn15；k75，S177，k716；k65，S7642，k615；k5，S425210，k514；k45，跳出循环，输出S210.故选C.(2)输入n50，由于S
53、0，i1，则：第一次运行S2011，i112；第二次运行S2124，i213；第三次运行S24311，i314；第四次运行S211426，i415；第五次运行S22655750，i516，终止循环，故输出i6.答案(1)C(2)6规律方法执行循环结构首先要分清是先执行循环体，再判断条件，还是先判断条件，再执行循环体其次注意控制循环的变量是什么，何时退出循环最后要清楚循环体内的程序是什么，是如何变化的【训练1】 (1)(2014杭州质量检测)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为()A3 B4 C5 D6(2)阅读如图所示的程序框图，若输入的k10，则该
54、算法的功能是()A计算数列2n1的前10项和B计算数列2n1的前9项和C计算数列2n1的前10项和D计算数列2n1的前9项和解析(1)经过第一次循环得到S2，n1；经过第二次循环得到S5，n2；经过第三次循环得到S10，n3；经过第四次循环得到S19，n4；经过第五次循环得到S36，n5；经过第六次循环得到S69，n6，输出的结果不大于37，i的最大值为5，故选C.(2)由程序框图可知：S0，i1；S120120，i2；S121122021，i3；S123202122，i4；，观察得到对应数列的通项公式为an2n1.k10时，i10时输出，说明是求前10项的和答案(1)C(2)A考点二程序框图
55、的补全问题【例2】 (2014重庆卷)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是()AsBsCsDs解析程序框图的执行过程如下：s1，k9；s，k8；s，k7；s，k6，循环结束故可填入的条件为s.故选C.答案C规律方法解答这类题目时，一定要理解悟透各种框图的作用，才能得到正确的结果，特别要注意对问题的转化，问题与框图的表示的相互转化【训练2】 (2015湖北七市(州)联考)某程序框图如图所示，判断框内为“kn？”，n为正整数，若输出的S26，则判断框内的n_解析依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k112，S2124；进行第二次循环时，k213，S24311
56、；进行第三次循环时，k314，S211426，因此当输出的S26时，判断框内的n4.答案4考点三基本算法语句【例3】 根据下图算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()INPUTxIFx50THEN y0.5*xELSE y250.6*(x50)END IFPRINTyA25 B30 C31 D61解析通过阅读理解知，算法语句是一个分段函数yf(x)yf(60)250.6(6050)31.答案C规律方法解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题【训练3】 根据程序写出相应的算法功能为_S0i1WHILE i999S
57、Si 2ii2WENDPRINTSEND答案求和：1232529992思想方法1在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性2在画程序框图时首先要进行结构的选择若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构易错防范1注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同2注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环
58、体3循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决遇到需要反复执行的任务时，用循环语句来编写程序4关于赋值语句，有以下几点需要注意：(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3m是错误的；(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Yx，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为xY.因为后者表示用Y的值替代变量x的值(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“”.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A10 B17 C19 D36解析执行程序：k2，S0；S2，
59、k3；S5，k5；S10，k9；S19，k17，此时不满足条件k10，终止循环，输出结果为S19.选C.答案C2为了在运行如图所示的程序之后得到结果y16，则键盘输入的x应该是()INPUTxIFx0THENy(x1)*(x1)ELSEy(x1)*(x1)ENDIFPRINTyENDA5 B5C5 D0解析f(x)当x0时，令(x1)216，x5；当x0时，令(x1)216，x5，x5.答案A3(2014陕西卷)根据下边框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()Aan2n Ban2(n1)Can2n Dan2n1解析第一次运行：i1，a1212，Sa12；第二次运行：i2，a22222
60、，Sa222；第三次运行：i3，a322223，Sa323；第四次运行：i4，a422324，Sa424；an2n，故选C.答案C4(2014新课标全国卷)执行下面的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S()A4 B5 C6 D7解析k12，执行第一次循环，M22，S235，k112；k22，执行第二次循环，M22，S257，k213；k32，终止循环，输出S7，故选D.答案D5(2015青岛质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A5 B7 C9 D11解析据框图依次可得S1，k1；S3，k3；S9，k5；S19，k7，S33，k9，此时结束循环，即输出结果是9，故选C.答
61、案C6(2015福州质量检测)执行如图所示的程序框图，输出的M值是()A2 B1C. D2解析M2，i1；M1，i2；M，i3；M2，i4；M1，i5，终止循环，输出M1.答案B7. (2014东北三省四市联考)如图所示的程序框图，该算法的功能是()A计算(120)(221)(322)(n12n)的值B计算(121)(222)(323)(n2n)的值C计算(123n)(2021222n1)的值D计算123(n1)(2021222n)的值解析初始值k1，S0，第1次进入循环体时，S120，k2；当第2次进入循环体时，S120221，k3，；给定正整数n，当kn时，最后一次进入循环体，则有S120
62、221n2n1，kn1，终止循环体，输出S(123n)(2021222n1)，故选C.答案C8. (2015天津十二区县重点中学联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是4，则判断框内m的取值范围是()A(2，6 B(6，12C(12，20 D(2，20)解析要输出的结果是4，则该程序框图需要运行3次，即第2次的运行结果S6满足判断框内的条件，所以6m，第3次的运行结果S12不满足判断框内的条件，即12m，所以判断框内m的取值范围是(6，12，故选B.答案B二、填空题9运行如下所示的程序，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_INPUTa，bIFabTHENmaELSEmbENDI
63、FPRINTmEND解析a2，b3，a20的最小整数解由2n20的整数解为n5，故输出n5.答案511(2014南京、盐城模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为_解析逐次写出运行结果该流程图运行4次，各次S的取值分别是1，2，6，15，所以输出的k4.答案412(2014湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为_解析由题意知，S1212223239291 067.答案1 06713. 执行如图所示的程序框图，如果输出S3，那么判断框内应填入的条件是_解析首次进入循环体，S1log23，k3；第二次进入循环体，S2，k4；依次循环，第六次进入循环体
64、，S3，k8，此时终止循环，则判断框内填“k7？”答案k7?能力提升题组(建议用时：15分钟)14(2014深圳调研)执行如图所示的程序框图，则输出0的概率为()A. B.C. D.解析因为的长度为1，1，3的长度为312，所以输出0的概率为，故选A.答案A15(2015郑州质量预测)利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2y210内的个数为()A2 B3C4 D5解析执行题中的程序框图，打印的点的坐标依次为(3，6)，(2，5)，(1，4)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，其中点(0，3)，(1，2)，(2，1)位于圆x2y210内，因此打印的点位于圆x2y21
65、0内的共有3个，故选B.答案B16(2014南昌模拟)如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值为_解析在数列an中，ancos ，a1，a2，a31，a4，a5，a61，该数列是以6为周期的数列，且其前6项和等于0.注意到2 01463354，因此其前2 014项和等于33501，结合题中的程序框图得知，最后输出的值等于数列an的前2 014项和，即等于.答案17(2015成都诊断)图1是某地区参加2014年高考的学生身高的条形统计图，从左至右的各条形图表示的学生人数依次记为A1，A2，A3，A10(如A2表示身高(单位：cm)在150，155)内的学生人数，图2是图1中统计身高在一定范围内学
66、生人数的一个算法程序框图现要统计身高在160，180)内的学生人数，那么流程图中判断框内整数k的值为_解析依题意，注意到身高在160，180)内的学生属于第4组至第7组，因此结合题中的程序框图得知，流程图中判断框内整数k的值是7.答案7第5讲复数最新考纲1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义知 识 梳 理1复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数复数相等abic
67、diac且bd共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为zabi，则向量的长度叫做复数zabi的模|z|abi|2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2c
68、di(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)(3)复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义：复数z1z2是所对应的复数诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展
69、示(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(3)原点是实轴与虚轴的交点()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()2设zi，则|z|()A. B. C. D2解析ziiii，|z|，故选B.答案B3(2014湖北卷)i为虚数单位，()A1 B1Ci Di解析因为1.故选B.答案B4已知a，bR，i是虚数单位若ai2bi，则(abi)2()A34i B34i C43i D43i解析ai2bi，a2，b1，(abi)2(2i)234i，故选A.答案A5(人教A选修22P129B1改编)已知
70、(12i)43i，则z_解析2i，z2i.答案2i考点一复数的概念【例1】 (1)设i是虚数单位若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1 C1 D3(2)若abi(a，bR)，则ab_解析(1)复数aa(a3)i为纯虚数，a30，a3.(2)由已知得3bi(1i)(abi)abiaibi2(ab)(ba)i，根据复数相等得解得ab3.答案(1)D(2)3规律方法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理【训练1】 (1)复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2i B2i C5i D5i(2)(201
71、4青岛质量检测)复数z(其中i为虚数单位)的虚部为_解析(1)由(z3)(2i)5，得z3335i，5i.故选D.(2)zi.故复数z的虚部为.答案(1)D(2)考点二复数的运算【例2】 (1)(2014安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1i，则i()A2 B2i C2 D2i(2)_解析(1)z1i，所以i(i1)i(1i)2.(2)原式iii1 007ii42513ii30.答案(1)C(2)0规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22i；i；i
72、；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)【训练2】 (1)(2014天津卷)i是虚数单位，复数()A1i B1iC.i Di(2)_解析(1)1i，故选A.(2)原式i61i.答案(1)A(2)1i考点三复数的几何意义【例3】 (1)(2014重庆卷)复平面内表示复数i(12i)的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限(2)复数z(i为虚数单位)，则|z|()A25 B. C5 D.解析(1)i(12i)i2i22i，对应点(2，1)(2)z43i，|z| 5.答案(1)A(2)C规律方法要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的
73、一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征【训练3】 (1)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BBCC DD(2)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_解析(1)设zabi(a，bR)，则z的共轭复数abi，它的对应点为(a，b)，是第三象限的点，故选B.(2)在复平面内，复数zabi与点(a，b)一一对应点(a，b)关于原点对称的点为(a，b)，则复数z223i.答案(1)B(2)23i思想方法1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2复数zabi(a，bR
74、)是由它的实部和虚部惟一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识3在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合易错防范1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2两个虚数不能比较大小3注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1若复数z满足z(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|()A1 B2 C.
75、 D.解析z(1i)2i，z1i，|z|.答案C2(2014新课标全国卷)()A1i B1i C1i D1i解析1i，故选D.答案D3(2014广东卷)已知复数z满足(34i)z25，则z()A34i B34iC34i D34i解析z34i.故选D.答案D4(2014大纲全国卷)设z，则z的共轭复数为()A13i B13iC13i D13i解析zi(3i)i23i13i.13i.答案D5(2015合肥质量检测)已知复数z2i，则的虚部为()A.i B.C.i D.解析复数的虚部是，故选B.答案B6(2014江西卷)是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z()A1i B1iC1i
76、 D1i解析设zabi(a，bR)，z2，a1，(z)i2，2b2，b1，z1i，故选D.答案D7设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数 B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20 D若z是纯虚数，则z20解析举反例说明，若zi，则z210，故选C.答案C8(2014成都诊断)设复数z3i(i为虚数单位)在复平面中对应点A，将OA绕原点O逆时针旋转90得到OB，则点B在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析因为复数z对应点的坐标为(3，1)，所以点A位于第一象限，所以逆时针旋转后对应的点B在第二象限，故选B.答案B二、填空题9复数(i为虚数单位)的实部等于
77、_解析3i，的实部为3.答案310(2014江苏卷)已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_解析因为z(52i)22520i(2i)22520i42120i.所以z的实部为21.答案2111(2015武汉调研)若复数(m25m6)(m23m)i(m为实数，i为虚数单位)是纯虚数，则m_解析复数(m25m6)(m23m)i是纯虚数，所以解得m2.答案212(2014南京、盐城模拟)已知复数 z12i，z2a2i(i为虚数单位，aR)若z1z2为实数，则a的值为_解析由z1z2(2i)(a2i)2a2(a4)i是实数得虚部a40，解得a4.答案413复数(3i)m(2i)对应的点在第
78、三象限内，则实数m的取值范围是_解析z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)，在第三象限内，故3m20且m10，m.答案能力提升题组(建议用时：10分钟)14下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2; p2：z22i；p3：z的共轭复数为1i; p4：z的虚部为1.其中的真命题为()Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p4解析利用复数的有关概念以及复数的运算求解z1i，|z|，p1是假命题；z2(1i)22i，p2是真命题；1i，p3是假命题；z的虚部为1，p4是真命题其中的真命题共有2个：p2，p4.答案C15设f(n)(nN*)，则集合f(n)中元素的个数为()A1
79、 B2 C3 D无数个解析f(n)in(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3个元素答案C16(2015岳阳一中检测)已知复数z，则复数z在复平面内对应的点为_解析i4n1i4n2i4n3i4n4ii2i3i40，而2 01345031，2 01445032，zi，对应的点为(0，1)答案(0，1)17定义运算|abcd|adbc.若复数x，y|4ixi2xi|，则y_解析因为xi.所以y|4ixi2xi|4i120|2.答案2阶段回扣练13推理与证明、算法初步、复数(建议用时：60分钟)一、选择题1(2014辽宁卷)设复数z满足(z2i)(2i)5，
80、则z()A23i B23iC32i D32i解析(z2i)(2i)5，z2i2i2i2i2i23i.答案A2(2014福建卷)复数z(32i)i的共轭复数等于()A23i B23i C23i D23i解析z23i，23i，故选C.答案C3(2015北京西城区模拟)在复平面内，复数z(12i)(1i)对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析z(12i)(1i)3i，所以复数z3i对应点为(3，1)在第一象限，选A.答案A4(2015华师附中模拟)用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设()A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有
81、一个大于60D三个内角至多有两个大于60解析“三角形三个内角至少有一个不大于60”的反面是“三个内角都大于60”答案B5(2014江西卷)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()A7 B9 C10 D11解析i1，S0，第1次运行，S0lg lg 31；第2次运行，i3，Slg lg lg lg 51；第3次运行，i5，Slg lg lg lg 71；第4次运行；i7，Slg lg lg lg 91；第5次运行，i9，Slg lg lg lg 111，终止循环，输出i9.答案B6(2015青岛检测)对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时
82、，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明c.证明(1)f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2，是f(x)0的一个根即是函数f(x)的一个零点(2)由(1)知c，所以假设0，由0x0，知f0与f0矛盾，c.18已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)，试比较与1的大小，并说明理由解f(x)x21，且an1f(an1)，an1(a
83、n1)21，函数g(x)(x1)21在1，)上单调递增于是由a11得a2(a11)21221，进而a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1.当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由知，对任意nN*，都有an2n1，即1an2n，1()n1.19对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)x3x23x的对称中心；(2)计算fffff.解(1)f(x)x2x3，f(x)2x1，由f(x)0，即2x10，解得x.f31.由题中给出的结论，可知函数f(x)x3x23x的对称中心为.(2)由(1)，知函数f(x)x3x23x的对称中心为，所以ff2，即f(x)f(1x)2.故ff2，ff2，ff2，ff2.所以fffff22 0122 012.