1、5.2 同角三角函数关系式与诱导公式课标要求考情分析核心素养1.能利用三角函数的定义推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式： sin2x+cos2x=1,sinxcosx=tanx新高考3年考题题 号考 点数学抽象数学运算直观想象2021()卷6同角三角函数的基本关系，二倍角公式1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2+cos2=1R；(2)商数关系： tan=sincos2+k,kZ.(3)和、差、积的互化：sin+cos2=1+2sincossin-cos2=1-2sincossin+cos2+sin-cos2=22.诱导公式诱导公式可概括为：
2、k2(kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化公 式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角+k2(kZ)+-2-2+正 弦sin-sin-sinsincoscos余 弦cos-coscos-cossin-sin正 切tantan-tan-tan1tan-1tan1.常见的互余和互补的2组角互余的角3-与6+; 3+与6-; 4-与4+;12-与512+等互补的角3+与23-; 4+与34-; 512-与712+;6-与56+等2.三角形中的三角函数关系式sinA+B=sin-C=sinCcosA+B=cos-C
3、=-cosCtanA+B=tan-C=-tanC; sinA+B2=sin-C2=cosCcosA+B2=cos-C2=sinC3.同角三角函数关系式的常用变形(1) sin2=1-cos2; cos2=1-sin2;(2)sin2=sin2sin2+cos2=tan2tan2+1;cos2=cos2sin2+cos2=1tan2+1.1.【P186 T15】已知角的终边过点P(1,2)，则2sin+cos3sin-cos=()A. 2B. 1C. -1D. -22.【P194 T3】已知角终边上一点P(-4,3)，则cos2+sin-cos112-sin92+的值为考点一同角三角函数的基本关
4、系式【方法储备】1.同角三角函数关系式的常规应用方法2.关于sin, cos的齐次式问题求解策略: 【特别提醒】在使用开平方关系sin=1-cos2, cos=1-sin2时,结合象限进行取舍. 角度1 公式的直接运用【典例精讲】例1.(2022北京市期末)已知角的终边在第三象限，且tan=2，则sin-cos=（ ）A. -1B. 1C. -55D. 55【名师点睛】已知三角函数值求另外两个值利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号.【靶向训练】 练1-1(2022云南省模拟)已知sin=35，2，则tan=练1-2(2022全国高考押题卷)已知232，sin
5、-2cos=1，则tan=（ ）A. 74B. 34C. -74D. -34角度2 关于sin, cos的齐次式问题【典例精讲】例2.(2022山东省模拟)已知tan(-)=-2，则1sin2-2cos2=【名师点睛】对于齐次式的化简求值问题,将原式分子换成sin2+cos2,分子、分母同时除以cos2,转化为关于tan进行求解【靶向训练】 练1-3(2022四川省模拟)已知tan=2，则sin-4cos5sin+2cos=（ ）A. -16 B. 16 C. 79 D. -79练1-4(2022辽宁省期中)已知tan=2，则sin+cossin+sin2的值为（ ）A. 195 B. 165
6、 C. 2310 D. 1710角度3 “sincos,sincos”之间的关系【典例精讲】例3.(2022山东省期末)已知(-2,2)，且sin+cos=55，则tan的值为【名师点睛】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本公式可得2sincos=-450，结合范围(-2,2)，利用同角三角函数基本关系式求解【靶向训练】 练1-5(2022湖北省期末)设sincos=18且42,则cos-sin=（ ）A. 32 B. -32 C. 34 D. -34练1-6(2022山东省模拟.多选)已知0,sin+cos=-15,则下列结论正确的是（ ）A.2, B.cos=-35 C.tan=-34
7、 D.sin-cos=75考点二利用诱导公式化解求值【方法储备】1.利用诱导公式化简求值的步骤(1)负化正；(2)大化小；(3)小化锐；(4)锐求值.2.利用诱导公式化简三角函数的基本思路出现k2,kZ的结构，选择恰当公式；化成单角三角函数；整理得最简形式.3.“奇变偶不变，符号看象限”“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”，“符号看象限”是指在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号.4.诱导公式的两个应用用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.【典例精讲】例4.(2022安徽省期末)已知sin(23+
8、x)=35，则cos(x+76)等于（ ）A. 35 B. 45 C. -35 D. -45【名师点睛】对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.【靶向训练】练2-1(2022广东省台州市模拟)已知cos6-=a，则cos56+sin23-的值为练2-2(2022安徽省模拟)已知cos(-6)=33，则sin(43+)=（ ）A. 33 B. -33 C. 63 D. -63考点三同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用【方法储备】1.三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关
9、系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题.(2)技巧：异名化同名；异角化同角；切化弦.【特别提醒】注意角的范围对三角函数符号的影响【典例精讲】例5.(2022.河北省模拟)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x-y=0上，则sin(32+)+2cos(-)sin(2-)-sin(-)等于（ ）A. -32 B. 32 C. 0 D. 23【名师点睛】首先由三角函数的定义,求出tan,然后利用诱导公式化简,结合一次奇次式的化简规律求解【靶向训练】 练3-1(2022浙江省模拟)已知sin(-)2sin+3cos(-)=25，则tan=（ ）A. -6 B. -23 C.
10、 23 D. 6练3-2(2022安徽省模拟)已知角的终边经过点P(m,22)，sin=223且为第一象限角(1)求m的值；(2)若tan=2，求sincos+3sin(2+)sincos(+)cos(-)-3sincos(32+)的值 易错点1对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致错例6.(2022天津市模拟)化简求值：-sin(180+)+sin(-)-tan(360+)tan(+180)+cos(-)+cos(180-)=易错点2忽略对k的讨论致错例7.(2022山东省滨州市模拟.多选)已知角满足sincos0，则表达式sin+ksin+cos+kcoskZ的取值可能为 ()
11、A. -2B. -1或1C. 2D. -2或2或0易错点3忽略角的范围致错例8.(2022湖北省武汉市模拟)若(0,2)，2tan=1cos2，则tan=（ ）A. 12B. 1C. 2-3D. 3答案解析【教材改编】1.【解析】角的终边过点P(1,2)，tan=2，则2sin+cos3sin-cos=2tan+13tan-1=4+16-1=1故答案选：B2.【解析】角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(-4,3)，所以tan=-34，cos(2+)sin(-)cos(112-)sin(92+)=-sinsin-sincos=tan=-34，故答案为-34【考点探究】例1.
12、【解析】因为角的终边在第三象限，且tan=2，所以cos=-11+tan2=-11+22=-55，可得sin=-1-cos2=-255，所以sin-cos=-255-(-55)=-55故选：C练1-1.【解析】sin=35,且2，cos=-1-sin2=-45，tan=sincos=-34故答案为-34.练1-2.【解析】因为sin-2cos=1，所以sin=2cos+1，因为sin2+cos2=1，所以(2cos+1)+cos=1，整理得5cos+4cos=0，解得cos=0或cos=-45，又因为232，所以cos0，故cos=-45，所以sin=2cos+1=-35，所以tan=sinc
13、os=34故选B例2.【解析】tan(-)=-tan=-2tan=2，则1sin2-2cos2=sin2+cos2sin2-2cos2=tan2+1tan2-2=22+122-2=52故答案为52练1-3.【解析】sin-4cos5sin+2cos=tan-45tan+2=2-452+2=-16故选A练1-4.【解析】tan=2，sin+cossin+sin2=sin+cossin+sin2sin2+cos2=1+1tan+tan2tan2+1=32+44+1=2310，故选：C 例3.【解析】因为sin+cos=55，所以两边平方，可得1+2sincos=15，可得2sincos=-450，
14、又因为(-2,2)，所以sin0，所以cos-sin=(cos-sin)2=1-(-45)=355，解得sin=-55，cos=255，则tan=-12故答案为：-12练1-5.【解析】因为42，cos-sin0，又sin+cos=-150,所以cos0,所以可得2,故A正确；sin+cos2=1+2sincos=125，可得sincos-1225，则可得sin-cos2=1-2sincos=4925，所以sin-cos=75，故D正确；由sin+cos=-15，sin-cos=75，联立解得，sin=35,cos=-45，tan=-34,故B错误，C正确；故选ACD例4.【解析】cos(x+
15、76)=cos(x+23+2)=-sin(x+23)=-35故选：C练2-1.【解析】cos56+=cos-6-=-cos6-=-a，sin23-=sin2+6-=cos6-=a,cos56+sin23-=-a+a=0故答案为0练2-2.【解析】cos(-6)=cos(6-)=33，sin(3+)=sin2-(6-)=cos(6-)=33，sin(43+)=sin+(3+)=-sin(3+)=-33故选B例5.【解析】依题意，的终边在3x-y=0上，tan=3，sin(32+)+2cos(-)sin(2-)-sin(-)=-cos-2coscos-sin=-3coscos-sin=-31-ta
16、n=32故选B练3-1.【解析】由sin(-)2sin+3cos(-)=25，得sin2sin+3cos=25，即tan2tan+3=25，解得tan=6故选D 练3-2. 【解析】 (1)由三角函数定义可知sin=223=22m2+8，解得m=1，为第一象限角，则m=1；(2)由(1)知tan=22，sincos+3sin(2+)sincos(+)cos(-)-3sincos(32+)=-sincos+3cossincoscos+3sinsin=-tan+3tan1+3tantan=-22+321+3222=-5213【易错点归纳】例6.【解析】-sin180+sin-tan360+tan+180+cos-+cos180-=sin-sin-tantan+cos-cos，=-1故答案为-1例7.【解析】k为偶数时，原式=sinsin+coscos=1+1=2;k为奇数时,原式=-sinsin+-coscos=-1+(-1)=-2;故选AC例8.【解析】因为(0,2)，2tan=1cos2=sin2+cos2cos2=tan2+1，所以tan2-2tan+1=0，解得tan=1故答案选：B
