1、2.2 一元二次不等式课标要求考情分析核心素养1.会从实际问题的情境汇总抽象出一元二次不等式模型;2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式会求参数.该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查数学抽象数学运算逻辑推理1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式. 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.2.一元二次不等式的解法（1）可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式
2、的解集。（2）对含参的不等式，应对参数进行分类讨论:根据二次项系数为正、负、零进行分类；根据判别式与0的关系判断根的个数；当有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论。3.分式不等式的解法:（1）fxgx0fxgx0gx0;（2）fxgx0fxgx0anR,a00,nN*,n3可以转化为fx=a0x-x1x-x2x-xn0（其中x1x20的解集.1.(1)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且b2-4ac0”.(2)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且b2-4ac0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.(2)注意区分0(a0)的解集为R还是.1.【P54 T
3、5】已知某炮弹飞行高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为h=130t-5t2，则炮弹飞行高度高于240m的时间长为（ ）A.22sB.23sC.24sD.25s2.【P58 T6】对任意xR，一元二次不等式(k-1)x2+(k-1)x-380都成立，则实数k的取值范围为考点一一元二次不等式的解法【方法储备】1.解一元二次不等式的一般步骤：【特别提醒】对于含参不等式要注意分类讨论角度1 解不含参的一元二次不等式【典例精讲】例1.(2022天津市二模)已知命题p：0x1，命题q：x2-x-62，B=x|2x2-3x-50，则(RA)B=( )A.(-1,2B.(-1,2)C.-1
4、,52D.2,52角度2 解含参一元二次不等式【典例精讲】例2.(2022湖南省娄底市期末)若关于x的不等式x2-(a+1)x+a0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是（ ）A.a|-3a-2或4a5B.a|-3a-2或4a5C.a|4a5D.a|-3a-2或40，其中a0，则该不等式的解集可能是（ ）A. B.2,-1a C.-,-1a2,+ D.-1a,2【名师点睛】解含参一元二次不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，主要依据有四个因素：比较根的大小；判别式的符号；二次项系数的符号；考口方向。【靶向训练】 练1-3(2022山西省太原市模拟.多选)已知aZ，关于x的一元
5、二次不等式x2-8x+a0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是()A.13B.14C.15D.17练1-4(2022河北省石家庄市模拟)解关于x的不等式ax2-22x-ax(aR)考点二其他常见不等式的解法【方法储备】1.分式不等式与一元二次不等式的关系：x-ax-b0x-ax-b0x-b0, x-ax-b0x-ax-b0x-b0,2.高次不等式的解法(穿针引线)：3.绝对值不等式常见解题思路：角度1 分式不等式【典例精讲】例4.( 2022广东省阳江市模拟)不等式5-xx+41的解集为【名师点睛】解分式不等式的关键是先将给定的不等式移项、通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再等价转
6、化为整式不等式(组)的形式进行求解.【靶向训练】练2-1(2022甘肃省金昌市期末)不等式1+x2-x0的解集为()A.-1,2 B.-1,2) C.(-,-12,+) D.(-,-1(2，+)练2-2(2022重庆市模拟)解不等式组2x+3x+1|2x-3|2角度2高次不等式【典例精讲】例5.( 2022北京市模拟)关于x的不等式x2+px+q0的解集为x|2x0的解集是()A.(2,3) B.-,-24,+ C.(-2,2)(3,4) D.(-,-2)(2,3)(4,+)【名师点睛】解高次不等式首先因式分解，再使用穿根法，注意因式分解后每个因式中的未知数的系数为正。【靶向训练】练2-3(2
7、022桂林市模拟)已知ax-b0的解集为(-,2)，关于x的不等式ax+bx2-5x-60的解集为()A.(-,-2(-1,6) B.(-,-2(6，+) C.-2,-1)(-1,6) D.-2,-1)(6,+)练2-4(2022江苏省期末)已知函数f(x)=x2-4x+5x-1(1)求不等式f(x)1的解集;(2)当x(1,+)时，求f(x)的最小值及相应x的值核心素养系列 数学运算、逻辑推理一元二次不等式的恒成立或有解问题【方法储备】对于二次不等式恒成立问题常见有两种类型：1.在全集R上恒成立;2.在某给定区间上恒成立.恒大于零就是相应的二次函数图像在给定区间上全部在x轴上方，恒小于零就是
8、相应的二次函数图像在给定区间上全部在x轴下方.恒成立问题常见解题思路：有解问题类似处理。【特别提醒】（1）恒成立问题和有解问题一定要搞清谁是主元；（2）弄明白恒成立问题和有解问题的区别和联系.【典例精讲】例6.( 2022江苏省南京市二模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2，当x0,1时，f(x)=2x-x2.若f(x)x+b对一切xR恒成立，则实数b的最大值为【名师点睛】一元二次不等式在指定范围内有解,其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间. 利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范围情况下恒成立问题时,一定要搞清谁是变换后的主元,谁是变换后的参数,一
9、般地,知道谁的范围,谁就是变换后的主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数.【靶向训练】练3-1(2022湖北省期末)在R上定义运算：xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A.-1a1B.0a2C.-12a32 D.-32a0；(2)若对任意的x-1,1，不等式f(x)0恒成立，求a的取值范围易错点1忽略二次项系数为零例7.(2022河北省石家庄市模拟)命题“xR，(a2-4)x2+(a+2)x-10”为假命题，则实数a的取值范围为易错点2分类讨论不当致误例8.(2022山东省青岛市模拟)已知不等式ax2-3x+64的解集为x|x2(1)求a
10、;(2)解不等式ax2-(ac+2)x+2c0易错点3等价转化不当致误例9.(2022湖北省武汉市模拟)已知关于x的不等式x+1x+a0；(2)若不等式f(x)b+4对于x1,2恒成立，求实数a的取值范围答案解析【教材改编】1.【解析】因为炮弹飞行高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为h=130t-5t2， 炮弹飞行高度高于240m时,130t-5t2240,即t2-26t+48=t-24t-20， 得2t24,炮弹飞行高度高于240m的时间长为24-2=22(s) 故选A2.【解析】因为关于x的一元二次不等式(k-1)x2+(k-1)x-380恒成立， 即有k-10=k-1
11、2+438k-10,解得-12k1 故实数k的取值范围为-12,1.【考点探究】例1.【解析】对于命题q:不等式x2-x-60成立,解得：-2x3， 而命题p:0x1;则命题p是命题q的充分不必要条件 故选：A练1-1.【解析】依题意可得2x2-x-150,即(2x+5)(x-3)0,解得x-52或x3， 所以不等式的解集为x|x-52或x3 故选B练1-2.【解析】根据题意得,RA=x|x2， B=x|2x2-3x-50=x|-1x52，所以(RA)B=(-1,2 故选A 例2.【解析】原不等式可化为(x-1)(x-a)1时,解得1xa,此时解集中的整数为2,3,4,则4a5， 当a1时,解
12、得ax1,此时解集中的整数为0,-1,-2,则-3a-2， 故aa|-3a-2或40可等价变形为x-2ax+10，其中a2,即 -12a0时,不等式的解集为2,-1a，故B正确； 当0-1a2时,即a0f(3)0， 即4-16+a09-24+a0， 解得120时，x2a或x-1；由于2a-(-1)=a+2a，于是当-2a0时，2ax-1；当a=-2时，x=-1；当a0时，解集为x|x2a或x-1；当-2a0时，解集为x|2ax-1；当a=-2时，解集为x|x=-1； 当a-2时，解集为x|-1x2a.例4.【解析】5-xx+41,5-xx+4-10,-2x+1x+40， 2x-1x+40且x+
13、40,-4x12， 故答案为(-4,12.练2-1.【解析】不等式 1+x2-x0(x+1)(x-2)0 且x2， 即-1x2 且x2-1x2 故选B 练2-2. 【解析】由2x+3x+1可得，x+3x+1-2=1-x1+x0，解得，x1或x-1，由|2x-3|2可得-22x-32，解得，12x52，所以不等式组2x+3x+1|2x-3|2的解集为1,52.例5.【解析】关于x的不等式x2+px+q0的解集为x|2x0，即x2-5x+6x2-2x-80，即(x-2)(x-3)(x-4)(x+2)0， 用穿根法求得它的解集为x|x-2或2x4 故选：D 练2-3.【解析】因为ax-b0的解集为(
14、-,2),所以a0且b=2a，则ax+bx2-5x-60可得a(x+2)(x-6)(x+1)0， 等价于(x+2)(x+1)(x-6)0且(x+1)(x-6)0，解得x-2或-1x6 故选：A练2-4.【解析】(1)x2-4x+5x-11，即x2-4x+5x-1-10，x2-5x+6x-10(x-2)(x-3)x-10即(x-2)(x-3)(x-1)0)，则y=(t+1)2-4(t+1)+5t=t2-2t+2t=t+2t-2，t0，t+2t22，y22-2当且仅当t=2tt=2，即x=2+1时，等号成立，f(x)min=22-2，此时x=2+1【素养提升】例6.【解析】因为f(1+x)+f(1
15、-x)=2,所以f(x)关于(1,1)对称， 又当x0,1时,fx=2x-x2, 故当x-1,0时,f(x)=x2+2x， 若f(x)x+b对一切xR恒成立只需当x-1,0时,f(x)=x2+2xx+b即可， 即bx2+2x-x=x2+x=(x+12)2-14, 则b-14 故实数b的最大值为-14. 练3-1.【解析】由题意可知,(x-a)(x+a)=(x-a)(1-x-a)， 原不等式可化为 (x-a)(1-x-a)0对任意实数x都成立， 所以对于方程 x2-x-a2+a+1=0，只需=(-1)2-4(-a2+a+1)0，解得-12a0，化为：(x-2)x-(2-a)0a0时，不等式的解集
16、为x|x2或x2-a；a=0时，不等式的解集为x|x2；a2-a或x0由题意得：a(x-2)-(x-2)2恒成立，x-1,1，x-2-3,-1，a-x+2恒成立a(-x+2)min=1，a的取值范围为(-,1)【易错点归纳】例7.【解析】由题意可得(a2-4)x2+(a+2)x-10在R上恒成立，当a=-2时，-10成立；当a=2时，4x-10，解得x14，不符合题意，故a=2舍去；a2-40,=(a+2)2+4(a2-4)0,解得-2a4的解集为x|x2，所以x1=1与x2=2是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，由根与系数的关系，得1+2=3a,12=2a,解得a=1(2)由(1)，知不
17、等式ax2-(ac+2)x+2c0为x2-(2+c)x+2c0，即(x-2)(x-c)2时，不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|2xc；当c2时，不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|cx2；当c=2时，不等式(x-2)(x-c)2时，不等式ax2-(ac+2)x+2c0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2-(ac+2)x+2c0的解集为x|cx2；当c=2时，不等式ax2-(ac+2)x+2c0，可得-a2+6a+b-30，即b-3a2-6a，那么(a-3)2-6时，-b+6a-3-6时，原不等式的解集为(3-b+6,3+b+6).(2)由f(x)b+4，即-3x2+a(6-a)x4x1,2，a(6-a)3x2+4x=3x+4x对于x1,2恒成立，又x1,2，函数y=3x+4x的最大值为8，此时x=2，a(6-a)8，即a2-6a+80，解得2a4；故得实数a的取值范围是2,4