1、第3讲 二项式定理一、选择题1二项式6的展开式中的常数项是()A20 B20C160 D160解析 二项式(2x)6的展开式的通项是Tr1C(2x)6rrC26r(1)rx62r.令62r0，得r3，因此二项式(2x)6的展开式中的常数项是C263(1)3160.答案 D2若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为()A6 B10 C12 D15解析Tr1C()nrr(2)rCx，当r4时，0，又nN*，n12.答案C3已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A28 B38 C1或38 D1或28解析由题意知C(a)41 120，解得a2，
2、令x1，得展开式各项系数和为(1a)81或38.答案C4设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，则展开式中x的系数为()A150 B150 C300 D300解析由已知条件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4rr(1)r54rCx4，令41，得r2，T3150x.答案B5设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12解析512 012a(1341)2 012a被13整除余1a，结合选项可得a12时，512 012a能被13整除答案D6已知0a0)与y|logax|的大致图象如图所示，所以n2.故(x1)n(x1)11(x
3、21)2(x21)11，所以a12C2119.答案B二、填空题7 18的展开式中含x15的项的系数为_(结果用数值表示)解析Tr1Cx18rr(1)rCrx18r，令18r15，解得r2.所以所求系数为(1)2C217.答案178已知(1xx2)n的展开式中没有常数项，nN*且2n8，则n_.解析n展开式中的通项为Tr1CxnrrCxn4r(r0,1,2，8)，将n2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知n5.答案n59若(cosx)5的展开式中x3的系数为2，则sin_.解析 由二项式定理得，x3的系数为Ccos22，cos2，故sincos22cos21.答案 10设二项式6(a0)的展开式
4、中x3的系数为A，常数项为B.若B4A，则a的值是_解析由Tr1Cx6rrC(a)rx6r，得BC(a)4，AC(a)2，B4A，a0，a2.答案2三、解答题11已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项解(1)由题意，得CCCC256，即2n256，解得n8.(2)该二项展开式中的第r1项为Tr1C()8rrCx，令0，得r2，此时，常数项为T3C28.12已知等差数列2,5,8，与等比数列2,4,8，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列Cn的通项公式解等差数列2,5,8，的通项公式为an3n1，等比数列2,4,8，的通项公式为bk 2k ，令3n12
5、k ，nN*，k N*，即n，当k 2m1时，mN*，nN*，Cnb2n122n1(nN*)13已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值解5的展开式的通项为Tr1C5rr5rCx，令205r0，得r4，故常数项T5C16.又(a21)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n16，得n4.由二项式系数的性质知，(a21)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca454，解得a.14已知n， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C32470，当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为C7273 432.(2)CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)设Tk1项的系数最大，1212(14x)12，9.4k10.4，k10.展开式中系数最大的项为T11，T11C2210x1016 896x10.