1、第28练直线与圆题型分析高考展望直线与圆是解析几何的基础，在高考中除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中，对相关知识进行考查.单独考查时，一般为填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.常考题型精析题型一直线方程的求法与应用例1(1)若点P(1,1)为圆(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为_. (2)已知ABC的顶点A为(3，1)，AB边上的中线所在直线方程为6x10y590，B的平分线所在直线方程为x4y100，求BC边所在直线的方程.点评(1)两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜
2、率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21；判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.(2)求直线方程的常用方法直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x2y100，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？题型二圆的方程例2(1)(2015湖
3、北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且AB2.圆C的标准方程为_.圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_.(2)(2015南通模拟)已知圆C经过点A(2，1)，并且圆心在直线l1：y2x上，且该圆与直线l2：yx1相切.求圆C的方程；求以圆C内一点B为中点的弦所在直线l3的方程.点评求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2已知圆C：(xx0)2(yy0)2R2 (R0)与y轴相切，圆心C在直线l：x3y0上
4、，且圆C截直线m：xy0所得的弦长为2，求圆C的方程.题型三直线与圆的位置关系、弦长问题例3(1)(2015重庆改编)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB_.(2)已知直线l过点P(0,2)，斜率为k，圆Q：x2y212x320.若直线l和圆相切，求直线l的方程；若直线l和圆交于A，B两个不同的点，问是否存在常数k，使得与共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 点评研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关
5、的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3(2014课标全国)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当OPOM时，求l的方程及POM的面积.高考题型精练1.(2015山东改编)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为_.2.已知x，y满足x2y50，则(x1)2(y1)2的最小值为_.3.(2015南通模拟)已知直线l1：a(xy2)2xy30 (aR)与直线l
6、2的距离为1，若l2不与坐标轴平行，且在y轴上的截距为2，则l2的方程为_.4.(2015徐州模拟)已知点A(1,2)，B(5，2)，在x轴上有一点P(x,0)满足PAPB，在y轴上有一点Q(0，y)，它在线段AB的垂直平分线上，则OPQ的面积为_.5.(2015广东改编)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是_.6.已知直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|，那么k的取值范围是_.7.(2015苏州模拟)已知P是直线l：3x4y110上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_.8.
7、若圆上一点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，且圆与直线xy10相交的弦长为2，则圆的方程是_.9.已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧长比为12，则圆C的方程为_.10.若直线axby1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是_.11.与直线xy40和圆A：x2y22x2y0都相切的半径最小的圆C的方程是_.12.如图所示，已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切，过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN2时，求直线l的方程；(3
8、)BB是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.答案精析专题7解析几何第28练直线与圆常考题型典例剖析例1(1)2xy10解析由题意知圆心C(3,0)，kCP.由kCPkMN1，得kMN2，所以弦MN所在直线的方程是2xy10.(2)解设B(4y110，y1)，由AB中点在6x10y590上，可得：610590，y15，B(10,5).设A点关于x4y100的对称点为A(x，y)，则有A(1,7)，点A(1,7)，B(10,5)在直线BC上，故BC边所在直线的方程是2x9y650.变式训练1解如图所示，过A作直线l的对称点A，连结AB交l于P，若P(异于P)在直线上，则APBPAP
9、BPAB.因此，供水站只有在P点处，才能取得最小值，设A(a，b)，则AA的中点在l上，且AAl，即解得即A(3,6).所以直线AB的方程为6xy240，解方程组得所以P点的坐标为.故供水站应建在点P处.例2(1)(x1)2(y)221解析由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r22122，解得r.所以圆C的方程为(x1)2(y)22.方法一令x0，得y1，所以点B(0，1).又点C(1，)，所以直线BC的斜率为kBC1，所以过点B的切线方程为y(1)x0，即yx(1).令y0，得切线在x轴上的截距为1.方法二令x0，得y1，所以点B(0，1).又点C(1，)，设过点B的切线方程为y
10、(1)kx，即kxy(1)0.由题意，得圆心C(1，)到直线kxy(1)0的距离dr，解得k1.故切线方程为xy(1)0.令y0，得切线在x轴上的截距为1.(2)解设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则解得故圆C的方程为(x1)2(y2)22.由知圆心C坐标为(1，2)，则kCB.设直线l3的斜率为k3，由k3kCB1，可得k32.故直线l3的方程为y2(x2)，即4x2y130.变式训练2解圆C：(xx0)2(yy0)2R2(R0)与y轴相切，则|x0|R.圆心C在直线l：x3y0上，则x03y0.圆C截直线m：xy0所得的弦长为2，则22.把代入，消去x0，y0得R3，则x03，y0
11、1或x03，y01.故所求圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.例3(1)6解析由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，圆心C(2,1)在直线xay10上，2a10，a1，A(4，1).AC236440.又r2，AB240436.AB6.(2)解将圆的方程化简，得(x6)2y24.圆心Q(6,0)，半径r2.由题意可设直线l的方程为ykx2，故圆心到直线l的距离d.因为直线l和圆相切，故dr，即2，解得k0或k，所以，直线l的方程为y2或3x4y80.将直线l的方程和圆的方程联立得消去y得(1k2)x24(k3)x360，因为直线l和圆相交，故4(k3)2
12、436(1k2)0，解得k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有而y1y2kx12kx22k(x1x2)4，(x1x2，y1y2)，(6，2).因为与共线，所以2(x1x2)6(y1y2)，整理得(13k)120，解得k.又因为k0)的距离为1，此时k；当k时，|，又直线与圆x2y24存在两交点，故k2.综上，k的取值范围是，2).7.解析如图所示，圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心为C(1,1)，半径为r1.根据对称性可知四边形PACB面积等于2SAPC2PArPA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小，由于PA，故PC最小时，PA最小，此时，直线CP垂直于直线l：3x4y
13、110，故PC的最小值为圆心C到直线l：3x4y110的距离d2，所以PA.故四边形PACB面积的最小值为.8.(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244解析设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x2y0上，即有a2b0，又(2a)2(3b)2r2，而圆与直线xy10相交的弦长为2，故r222，依据上述方程，解得或所以所求圆的方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.9.x22解析圆C关于y轴对称，圆C的圆心在y轴上，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2(yb)2r2.依题意，得解之
14、得圆C的方程为x22.10.解析直线axby1过点A(b，a)，abab1.ab.又OA，以O为圆心，OA长为半径的圆的面积为SOA2(a2b2)2ab，面积的最小值为.11.(x1)2(y1)22解析易知所求圆C的圆心在直线yx上，故设其坐标为C(c，c)，又其直径为圆A的圆心A(1,1)到直线xy40的距离减去圆A的半径，即2r2r，即圆心C到直线xy40的距离等于，故有c3或c1，结合图形当c3时圆C在直线xy40下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x1)2(y1)22.12.解(1)设圆A的半径为R.圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连结AQ，则AQMN.MN2，AQ1.由AQ1，得k.直线l的方程为3x4y60.所求直线l的方程为x2或3x4y60.(3)AQBP，AB0.BB(BA)BBBABBB.当直线l与x轴垂直时，得P.则B，又B(1,2)，BBBB5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2).由解得P.B.BBBB5.综上所述，BB是定值，且BB5.
