1、10.2 两直线的位置关系课标要求考情分析核心素养1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查数学运算直观想象逻辑推理1.两条直线的位置关系斜截式一般式方程y=k1x+b1y=k2x+b2A1x+B1y+C1=0,A12+B120A2x+B2y+C2=0,A22+B220相交k1k2A1B2A2B1垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2且b1b2A1B2=A2B1且B1C2B2C1重合k1=k2且b1b2A1B2=A2B1
2、且B1C2=B2C12.两条直线的交点直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1、B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2、B2不全为0)， l1与l2的位置关系与方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0的解的个数的对应关系：相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解.3.距离距离公式使用条件两点P1x1,y1,P2x2,y2之间的距离P1P2=x2-x12+y2-y12求任意两点间的距离点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=Ax0+By0+CA2+B2在求点到直线的距离时，直线的方程转化为一般式两条平行直线Ax+B
3、y+C1=0和Ax+By+C2=0A2+B20之间的距离d=C1-C2A2+B2求平线直线间的距离，方程中x,y前的系数保持一致4.对称问题 (1)点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0).(2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P(x,y)，则有y-y0x-x0k=-1y+y02=kx+x02+b,可求出x，y.1.若所求直线过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0平行,则方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.若所求直线过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0垂直,则方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0.3.点到直
4、线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.1.【P80 T14】已知点A(1,-2)，B(5,6)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为2.【P63 T4】已知直线l：kx-y+2=0过定点M，点P(x,y)在直线2x+y-1=0上，则|MP|的最小值是()A. 10B. 55C. 6D. 35考点一两直线的位置关系【方法储备】1.掌握判断两直线平行、垂直的条件，当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要考
5、虑的系数不能同时为零的情况2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间关系得出结论，即用法向量来判定3.求过两直线交点的直线方程的方法：角度1 两直线的平行与垂直问题【典例精讲】例1.(2022黑龙江省哈尔滨市期末)若两条直线ax+2y+1=0和a-1x-ay-1=0互相垂直，则a的值为【名师点睛】本题主要考查由两直线垂直求参数,根据两直线垂直的判定条件，列出方程求解，即可得出结果【靶向训练】 练1-1(2021湖南省长沙市期末)若两直线l1：(a-1)x-3y-2=0与l2：x-(a+1)y+2=0平行，则a的值为()A. 2B. 2C. -2D. 0练1-2(2022河北省
6、邯郸市模拟.多选)已知直线l1：(a+1)x+ay+2=0，l2：ax+(1-a)y-1=0，则()A. l1恒过点(2,-2)B. 若l1/l2，则a2=12C. 若l1l2，则a2=1D. 当0a1时，l2不经过第三象限角度2 两直线的交点问题【典例精讲】例2.(2022江苏省模拟)已知直线nx-y=n-1和直线ny-x=2n的交点在第二象限，则实数n的取值范围是()A. (0,1)B. (-,12)(1,+)C. (0,12)D. (12,+)【名师点睛】 由直线平行、重合的判断方法可得n1，联立两直线的方程，求出交点的坐标，即可得nn-10，解可得n的取值范围，即可得答案【靶向训练】
7、练1-3(2021广东省揭阳市模拟)设集合A=(x,y)|x+y=1，B=(x,y)|2x-y=-4，则AB等于()A. x=-1,y=2B. (-1,2)C. -1,2D. (-1,2)练1-4(2022江苏省徐州市模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2)，若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是考点二距离问题【方法储备】1.求距离根据条件，选择正确的距离公式，求出距离；2.点到特殊直线的距离（1）点P(x0,y0)到直线x=a的距离为d=x0-a；（2）点P(x0,y0)到直线y=b的距离为d=y0-b；3.利用距离公式时应注意：【典例精讲】
8、例3.(2022江苏省模拟)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos,sin)到直线x-my-2=0的距离当、m变化时，d的最大值为()A. 1B. 2C. 3D. 4【名师点睛】本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力由题意分m=0,m0两种情况讨论，结合三角函数的最值即可得解【靶向训练】练2-1(2022山东省临沂市模拟.多选)若两条平行直线l1：x-2y+m=0与l2：2x+ny-6=0之间的距离是25，则m+n的可能值为()A. 3B. -17C. -3D. 17练2-2(2022黑龙江省哈尔滨市期末) 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角均小于120时
9、，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120.根据以上性质，函数f(x)=(x-1)2+y2+(x+1)2+y2+x2+(y-2)2的最小值为考点三直线中的对称问题【方法储备】1.点关于点对称：若两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)关于点P0(x0,y0)中心对称，则x0=x1+x22y0=y1+y22，2.点关于线对称若两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称，则线段P1P2的中点在直线l上，且直线P1P2直线l，即Ax1+x22+By1+y22+C=0y1-y2x1-x2-AB=-1B03. 线关于点
10、对称直线l1:Ax+By+C1=0A2+B20关于点P(x0,y0)对称的直线为l2，则l1/l2：思路1：设直线l2:Ax+By+C2=0C1C2，对称中心P(x0,y0)到这两条直线的距离相等，即:Ax0+By0+C1A2+B2=Ax0+By0+C2A2+B2思路2：从直线l1上任取两个点M(x1,y1)，N(x2,y2)，则这两个点关于对称中心的对称点M(2x0-x1,2y0-y1), N(2x0-x2,2y0-y2)在直线l2上4.线关于线对称直线l1和l2关于直线l对称，包括两种情形：l1/l2/l，此时直线l到直线l1和l2的距离相等；直线l1，l2，l三条直线交于一点，设交点为A
11、，则在直线l1上任取一点P（异于点A），其关于直线l的对称点P在直线l2上【典例精讲】角度1 线关于点对称【典例精讲】例4.(2021辽宁省营口市期末)若直线l1：y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称，则当l2经过点N(0,-1)时，点M到直线l2的距离为【名师点睛】本题考查了直线方程的求解问题，涉及了点关于点的对称、点到直线距离公式的应用，解题的关键是得到(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上先找到直线l1上的定点，然后求出定点关于点M的对称点，再利用直线l2经过两点，求出直线方程，再利用点到直线的距离公式求解.【靶向训练】 练3-1(2021江苏省南通市模拟) 直线ax+y+3a
12、-1=0恒过定点M，则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为练3-2(2022浙江省金华市模拟)已知点A(2,1)，B(5,3)，直线l:y=x+1(1)若直线l与直线l关于点A对称，求直线l的方程；(2)点P在直线l上，求|PA|+|PB|的最小值角度2 点关于线对称【典例精讲】例5.(2022浙江省金华市模拟)如图，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程|PM|+|MN|+|NP|等于()A. 210B. 6C. 33D. 25【名师点睛】本题主要考查了点关于直线对称的点的求法，两
13、点间距离公式由题意作出点P关于直线OB的对称点C，作出点P关于直线AB的对称点D，则|PM|+|NM|+|NP|=|CD|而求得【靶向训练】 练3-3(2022江苏省南通市模拟)若点A(a-1,a+1)、B(a,a)关于直线l对称，则l的方程为()A. x-y+1=0B. x+y-1=0C. 2x-2y+1=0D. 2x+y-2=0练3-4(2022北京市模拟)已知入射光线经过点M-3,4，被直线l：x-y+3=0反射，反射光线经过点N2,6，则反射光线所在直线的方程为角度3 线关于线对称【典例精讲】例6.(2022新高考2卷)设点A(-2,3)，B(0,a)，直线AB关于直线y=a的对称直线
14、为l，已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围为【名师点睛】本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用【靶向训练】 练3-5(2021安徽省六安市模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是练3-6(2022湖北省孝感市模拟)已知直线l1：x+2y-4=0与直线l2：x-y-1=0的交点为A，直线l经过点A，点P(1,-1)到直线l的距离为2，直线l3与直线l1关于直线l2对称()求直线l的方程；()求直线l3的方程易错点1忽略两条直线平行的条件例7.(2022江苏省无锡市模拟)已知直线x+my+6=0和(m-2)x+3y+2m=0互相
15、平行，则实数m的取值为()A. -1或3B. -1C. -3D. 1或-3易错点2忽视两平行线间的距离公式的成立条件例8.(2022广东省深圳市期末) 直线l1:x-2y+m=0与直线l2:mx+6y-1=0平行，则两直线间的距离为()A. 455B. 253C. 4515D. 5答案解析【教材改编】1.【解析】A(1,-2)，B(5,6)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，|a-2+1|a2+1=|5a+6+1|a2+1，解得a=-2或a=-1故答案为-2或-12.【解析】直线l：kx-y+2=0方程可化为：kx=y-2，令x=0y-2=0得：x=0y=2，所以点M(0,2)，又点P(x,
16、y)在直线2x+y-1=0上，所以|MP|的最小值为点M到直线2x+y-1=0的距离d，因为d=|0+2-1|22+12=55，所以|MP|的最小值是55，故选：B【考点探究】例1.【解析】因为直线ax+2y+1=0和a-1x-ay-1=0互相垂直，所以aa-1-2a=0，解得：a=0和a=3故答案为0或3练1-1.【解析】因为l1：(a-1)x-3y-2=0与l2：x-(a+1)y+2=0平行，所以-(a+1)(a-1)-1-3=0，解得a=2，经检验都符合题意故选：A练1-2.【解析】 (a+1)x+ay+2=0可化为ax+y+x+2=0，由x+y=0x+2=0，得x=-2y=2，所以l1
17、恒过点(-2,2)，故 A错误;当若l1/l2，则a+11-a-aa=0，得a2=12，故B正确；若l1l2，则a+1a+a1-a=0，得a=0，故C错误;当0a1时，l2：ax+(1-a)y-1=0的斜率为负，在y轴截距为正，不过第三象限；当a=0时，l2：y-1=0，不过第三象限；当a=1时，l2：x-1=0，不过第三象限，故D正确；故选BD例2.【解析】根据题意，直线nx-y=n-1和直线ny-x=2n，当n=1时，两直线平行，没有交点，当n=-1时，两直线重合，不符合题意，故n1，联立nx-y=n-1ny-x=2n，解可得x=nn-1y=2n-1n-1，若两直线的交点在第二象限，则有n
18、n-10，解可得0n12，即n的取值范围为(0,12).故选C练1-3.【解析】A=(x,y)|x+y=1，B=(x,y)|2x-y=-4，AB=(x,y)|x+y=12x-y=-4=(-1,2)故选 D练1-4.【解析】直线l：x+my+m=0恒过点A(0,-1)，kAP=-1-10+1=-2，kAQ=-1-20-2=32，当m0时，则-1m32或-1m-2，-23m12且m0，又m=0时，直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，所求m的范围是-23m12故答案为-23,12.例3.【解析】由题意，当m=0时，d=2-cos，当cos=-1时，dmax=3;当m0时，d=|cos-msin
19、-2|12+m2=|msin-cos+2|12+m2=|m2+1sin(+)+2|m2+1，(其中tan=-1m)，当sin(+)=1时，dmax=1+2m2+13，d的最大值为3故选C练2-1.【解析】由题意l1可化为2x-4y+2m=0，可得两条平行直线l1：2x-4y+2m=0与l2：2x+ny-6=0之间的距离是25，n=-4，|2m+6|4+16=25，m=7或-13m+n=3或-17故选AB 练2-2.【解析】由两点间的距离公式得f(x)=(x-1)2+y2+(x+1)2+y2+x2+(y-2)2为点(x,y)到点B(1,0)，A(-1,0)，C(0,2)的距离之和，即求点(x,y
20、)到点(1,0)，(-1,0)，(0,2)的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，如图，在等腰三角形AMB中，AMB=120，可得AM=BM=1cos30=233，CM=2-MO=2-33，容易求得最小值为233+233+2-33=2+3故答案为：2+3例4.【解析】因为直线l1：y=kx+4恒过定点P(0,4)，所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0)，此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上，由直线方程的两点式可得y-0-1-0=x-20-2，即x-2y-2=0，所以点M到直线l2的距离为d=|1-4-2|1+22=5故答案为：5练3-1.
21、【解析】由直线ax+y+3a-1=0，可得a(x+3)+(y-1)=0令x+3=0y-1=0，解得x=-3y=1,M(-3,1)，设直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+c=0，则|-6+3-6|4+9=|-6+3+c|4+9，c=12或c=-6(舍去),即2x+3y+12=0故答案为2x+3y+12=0练3-2.【解析】 (1)设直线l:y=x+mm1，则dA,l=dA,l，即2-1+11+1=2-1+m1+1，得m=-3，则直线l:y=x-3；(2)由已知得A、B在直线l:y=x+1同侧，设点A关于直线l的对称点为A(x,y)，则有：y-1x-2=-1y+12=x+22
22、+1A(0,3),此时连接AB，可得AB=5-02+3-32=5，因为|PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB，仅当A，P，B三点共线时取等号，则|PA|+|PB|的最小值为5例5.【解析】作出点P关于直线OB的对称点C，作出点P关于直线AB的对称点D，则N，M，D三点共线，N，M，C三点共线，即N，M，D，C四点共线，得|PM|+|NM|+|NP|=|CD|，易得C(-2,0)，P(2,0)，直线AB的方程是x+y-4=0，设D(m,n)，则n-0m-2=1m+22+n+02-4=0得m=4n=2,即D(4,2)，|CD|=(4+2)2+(2-0)2=210故选A练3-3.【解析】点Aa-
23、1,a+1、Ba,a关于直线l对称，直线l为线段AB的中垂线，线段AB的中点坐标为(2a-12,2a+12)，直线AB的斜率为2a+12-a2a-12-a=-1，直线l的斜率为1，即直线l的方程为y-2a+12=x-2a-12，化简可得x-y+1=0故选：A练3-4.【解析】设M(-3,4)关于直线l：x-y+3=0的对称点M(a,b)，则反射光线所在直线必过M，b-4a+3=-1-3+a2-b+42+3=0，即a=1b=0,故M(1,0)，反射光线所在直线过N(2,6)，反射光线所在直线的方程是y-06-0=x-12-1，即6x-y-6=0故答案为：6x-y-6=0例6.【解析】因为kAB=
24、a-32，所以AB关于直线y=a的对称直线为(3-a)x-2y+2a=0，所以3(a-3)+4+2a4+3-a21，整理可得6a2-11a+30,解得13a32练3-5.【解析】由题意得直线x-2y+1=0与直线x=1的交点坐标为(1,1)，又直线x-2y+1=0上的点(-1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0)，所以直线的方程为y-0x-3=1-01-3，即x+2y-3=0故答案为x+2y-3=0练3-6.【解析】 ()由x+2y-4=0x-y-1=0，解得x=2y=1，所以A(2,1)l当直线l的斜率不存在时，其方程为x=2，此时点P(1,-1)到直线l的距离d=12，不符合;当直线l的
25、斜率存在时，设直线l的方程为：y-1=k(x-2)，则点P(1,-1)到直线l的距离d=|k-2|1+k2=2，解得k=0或k=-43故直线l的方程为y=1或4x+3y-11=0()由()可知，点A的坐标为(2,1)，由4+20-4=0，得点B(4,0)l1设点B关于直线l2的对称点为B0(x0,y0)，则B0(x0,y0)l3且BB0l2，设点B与点B0的中点为C，则C(x0+42,y02)l2，故y0x0-4=-1x0+42-y02-1=0，解得x0=1,y0=3,所以B0(1,3)，由Al3，B0l3，由两点式方程可知直线l3的方程为：y-13-1=x-21-2，化简得2x+y-5=0【易错点归纳】例7.【解析】两条直线x+my+6=0和(m-2)x+3y+2m=0互相平行，m(m-2)-3=0，解得m=-1，或3经过验证，m=3时，两条直线相互重合，舍去m=-1，故选：B例8.【解析】因为直线l1:x-2y+m=0与直线l2:mx+6y-1=0平行，1-2=m6，解得m=-3，l2的方程可表示为x-2y+13=0，可得两直线间的距离d=|-3-13|12+-22=253故选：B
