1、单元形成性评价(四)(第12章)(120分钟 150分)一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)1(2020浙江高考)已知 aR，若 a1(a2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a()A1 B1 C2 D2【解析】选 C.因为(a1)(a2)i 为实数，所以 a20，所以 a2.2(2020全国卷)复数113i 的虚部是()A 310 B 110 C 110 D 310【解析】选 D.因为113i 13i（13i）（13i）110 310 i，所以复数113i 的虚部为 310.3设 i 是虚数单位，则复数 z(11i)3 在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象
2、限【解析】选 C.因为 11i 1ii2 1i，所以 z(11i)3(1i)313i3i2i322i，所以复数 z11i3 在复平面内对应的点的坐标为(2，2)，位于第三象限4(2021新高考 I 卷)已知 z2i，则 z(zi)()A62i B42i C62i D42i【解析】选 C.z2i，z2i，zi22i，z(zi)(2i)(22i)62i.5已知a2i2aR是纯虚数，则ai()A 3 B 5 C3 D5【解析】选 B.a2i2a244ai，因为a2i2aR是纯虚数，所以a240，4a0，所以 a2，所以ai2i 5.6设 z 的共轭复数是 z，若 z z 4，z z 8，则zz 等于
3、()Ai Bi C1 Di【解析】选 D.设 zxyi(x，yR)，则 z xyi，由 z z 4，z z 8 得xyixyi4，（xyi）（xyi）8，x2，x2y28，x2，y2.所以zz xyixyi x2y22xyix2y2i.7如图所示，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 12i，2i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A.3i B3iC13i D13i【解析】选 D.OC OA OB 12i2i13i，所以 C 对应的复数为13i.8设 z1，z2 为复数，则下列四个结论中正确的是()A若 z21 z22 0，则 z21 z22B|z1z2|（z1z2）2
4、4z1z2Cz21 z22 0z1z20 Dz1 z1 是纯虚数或零【解析】选 D.举例说明：若 z14i，z222i，则 z21 158i，z22 8i，z21 z22 0，但 z21 与z22 都是虚数，不能比较大小，故 A 错；因为|z1z2|2 不一定等于(z1z2)2，故|z1z2|与（z1z2）24z1z2 不一定相等，B 错；若 z12i，z212i，则 z21 34i，z22 34i，z21 z22 0，但 z1z20 不成立，故 C 错；设z1abi(a，bR)，则 z1abi，故 z1 z12bi，当 b0 时是零，当 b0 时，是纯虚数故 D 正确二、多选题(每小题 5
5、分，共 20 分，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分)9已知 i 为虚数单位，复数 z32i2i，则以下真命题的是()Az 的共轭复数为45 7i5Bz 的虚部为7i5C|z 3Dz 在复平面内对应的点在第一象限【解析】选 AD.z32i2i 32i 2i547i545 7i5，故 z 45 7i5，故 A正确z 的虚部为75，故 B 错，|z 16495 6553，故 C 错，z 在复平面内对应的点为45，75，故 D 正确10已知 x，yR，i 为虚数单位，且x1iy12i，复数 z1ixy，则以下结论正确的是()Az 的虚部为2iBz 的模为 2Cz 的共轭
6、复数为 2iDz 对应的点在第四象限【解析】选 BC.因为x1iy12i，所以x12，y1，解得x1，y1，所以 z1i22i.对于 A，z 的虚部为2，A 错误；对于 B，|z 2，B 正确；对于 C，z 的共轭复数为 2i，C 正确；对于 D，z 对应0，2，不在第四象限，D 错误11已知 i 为虚数单位，则下面命题正确的是()A若复数 z3i，则1z 310 i10B复数 z 满足z2i1，z 在复平面内对应的点为x，y，则 x2y221C若复数 z1，z2 满足 z1 z2，则 z1z20D复数 z13i 的虚部是 3【解析】选 ABC.由1z 13i 3i3i 3i 310 i10，
7、故 A 正确；由 z 在复平面内对应的点为x，y，则z2ixy2 i1，即x2y2 2 1，则 x2y221，故 B 正确；设复数 z1abi，则 z2abi(a，bR)，所以 z1z2abiabia2b20，故C 正确；复数 z13i 的虚部是3，故 D 不正确12已知复数 z012i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 P0，复数 z 满足|z1|zi|，下列结论正确的是()AP0 点的坐标为(1，2)B复数 z0 的共轭复数的虚部为2iC复数 z 对应的点 Z 在一条直线上DP0 与 z 对应的点 Z 间的距离的最小值为 22【解析】选 ACD.对于 A，由复数 z012i 在复平面内
8、对应的点为 P0 可得 P01，2，故 A 正确；对于 B，复数 z0 的共轭复数为 z012i，z0 的虚部为2，故 B 错误；对于 C，设 zxyi(x，yR)，则点 Z(x，y)，由|z1|zi|可得（x1）yix（y1）i，所以（x1）2y2 x2（y1）2，整理得 yx，所以 Z 点在直线 yx 上，故 C 正确；对于 D，易知点 P0 到直线 yx 的垂线段的长度即为 P0，Z 之间距离的最小值，点P0 到直线 yx 的距离 d122 22，故 D 正确13(2020天津高考)i 是虚数单位，复数8i2i _【解析】8i2i 8i 2i2i 2i1510i532i.答案：32i14
9、已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足 z z 1a5i，则实数 a 的值为_【解析】设 zmni，z mni，m，nR，则可得 2m1a5i，所以 a5，m12.答案：515设 z2i1i1i，则|z _，z z _【解析】因为 z2i1i1i（1i）2（1i）（1i）i，所以 z2iii，则|z|1，z z i(i)1.答案：1 116(2020全国卷)设复数 z1，z2 满足|z1|z2|2，z1z2 3 i，则|z1z2|_【解析】因为|z1|z2|2，可设 z12cos 2sin i，z22cos 2sin i，所以 z1z22(cos cos)2(sin sin)i 3 i，所以2
10、（cos cos）32（sin sin）1，两式平方作和得：4(22cos cos 2sin sin)4，化简得 cos cos sin sin 12，所以|z1z2|2(cos cos)2(sin sin)i|4（cos cos）24（sin sin）288（cos cos sin sin）84 2 3.答案：2 3四、解答题(共 70 分)17(10 分)已知复数 z11i，z1z2 z122i，求复数 z2.【解析】因为 z11i，所以 z11i，所以 z1z222i z122i(1i)1i.设 z2abi(a，bR)，由 z1z21i，得(1i)(abi)1i，所以(ab)(ba)i1
11、i，所以ab1，ba1，解得 a0，b1，所以 z2i.18(12 分)已知复数 z 满足|z|2，z2 的虚部是 2.(1)求复数 z；(2)设 z，z2，zz2 在复平面上的对应点分别为 A，B，C，求ABC 的面积【解析】(1)设 zabi(a，bR)，则 z2a2b22abi，由题意得 a2b22 且 2ab2，解得 ab1 或 ab1，所以 z1i 或 z1i.(2)当 z1i 时，z22i，zz21i，所以 A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)，所以 SABC1.当 z1i 时，z22i，zz213i，所以 A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，所以 SABC1.19(12
12、 分)复数 zm2m8(6m16)i.(i 为虚数单位)(1)若复数 z 为纯虚数，求实数 m 的值；(2)若复数 z 对应的点在第三象限或第四象限，求实数 m 的取值范围【解析】(1)zm2m8(6m16)i，因为复数 z 为纯虚数，所以m2m80，m80，6m160，所以 m2；(2)因为复数 z 对应的点在第三、四象限，所以m2m80，m80，6m160，解得m2，m8，m83，因此实数 m 的取值范围为，88，22，83.20(12 分)已知 z 为虚数，z 9z2 为实数(1)若 z2 为纯虚数，求虚数 z；(2)求|z4|的取值范围.【解析】设 zxyi(x，yR，y0).(1)z2x2yi，由 z2 为纯虚数得 x2，所以 z2yi，则 z 9z2 2yi9yi 2y9yiR，得 y9y 0，y3，所以 z23i 或 z23i.(2)因为 z 9z2 xyi9xyi2 x9（x2）（x2）2y2 y9y（x2）2y2iR，所以 y9y（x2）2y2 0，因为 y0，所以(x2)2y29，由(x2)208a160，解得 2a6.即实数 a 的取值范围是2，6.