1、第一章数列3等比数列3.1等比数列的概念及其通项公式第1课时等比数列的概念及其通项公式课后篇巩固提升必备知识基础练1.有下列四个说法:等比数列中的某一项可以为0;等比数列中公比的取值范围是(-,+);若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;若b2=ac,则a,b,c成等比数列.其中正确说法的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析只有正确.2.公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a2a12=16,则a5等于()A.1B.2C.4D.8答案A解析a2a12=a1qa1q11=a12q12=a12212=16,a12=2-8,又an0,a1=2-4,a5=a1q4=2-424=1.
2、3.在等比数列an中,an0,且a1+a2=1,a3+a4=9,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81答案B解析a1+a2=1,a3+a4=9,q2=9.q=3(q=-3舍去),a4+a5=(a3+a4)q=27.4.已知a,b,cR,如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9答案B解析b2=(-1)(-9)=9且b与首项-1同号,b=-3.a,c同号,ac=b2=9.5.在等比数列an中,a1=1,公比q满足|q|1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.
3、12答案C解析在等比数列an中,a1=1,am=a1a2a3a4a5=a15q10=q10.am=a1qm-1=qm-1,qm-1=q10,|q|1,m-1=10,m=11.6.在等比数列an中,若a3=3,a10=384,则公比q=.答案2解析a3=a1q2=3,a10=a1q9=384,两式相除得,q7=128,所以q=2.7.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为.答案80,40,20,10解析设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,q5=132,q=12.这4个数依次为80,40,20,10.8.在九章算术中“衰分”是按比例递减分配的意思.
4、今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.答案12解析设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得28q石,28石,28q石,28q+28+28q=98,q=2或12.又0q0),由a2021=a2020+2a2019可得a2019q2=a2019q+2a2019,即q2=q+2,解得q=2或q=-1(舍),又由apar=2a2可得a1qp-1a1qr-1=2a1q,2p+r-2=16,即p+r=6,1p+4r=161p+4r(p+r)=165+rp+4pr16(5+24)=32,当且仅当rp=4pr,p+r=6,即r=4,p=2时等号成立,1p+4r的最小值为32.13.如图给出
5、了一个“三角形数阵”,已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i,jN+),则a53的值为()1412,1434,38,316A.116B.18C.516D.54答案C解析第一列构成首项为14,公差为14的等差数列,所以a51=14+(5-1)14=54.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为54,公比为12的等比数列,所以a53=54122=516.14.已知等差数列a,b,c三项之和为12,且a,b,c+2成等比数列,则a等于()A.2或8B.2C.8D.-2或-8答案A解析由已知
6、得a+c=2b,a+b+c=12,a(c+2)=b2,解得a=2,b=4,c=6或a=8,b=4,c=0.故a=2或a=8.15.(多选题)在数列an中,如果对任意nN+都有an+2-an+1an+1-an=k(k为常数),则称an为等差比数列,k称为公差比.下列说法正确的是()A.等差数列一定是等差比数列B.等差比数列的公差比一定不为0C.若an=-3n+2,则数列an是等差比数列D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比答案BCD解析若数列an为常数数列,则an+2-an+1=0,an+1-an=0,无法计算公差比,选项A错误;若k=0,则分子an+2-an+1=0,此时数列an为常数
7、数列,则an+1-an也为0,分母为0,推出矛盾,所以k不可能为0,选项B正确;an+2-an+1an+1-an=-3n+2+2+3n+1-2-3n+1+2+3n-2=3,所以数列an是等差比数列,选项C正确;结合等比数列通项公式可得an+2-an+1an+1-an=a1qn+1-a1qna1qn-a1qn-1=q,选项D正确.16.数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案1解析设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,q=a3+3a1+1=a1-2+3a1+1=
8、1.17.若等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2,则an=;若bn是等比数列,且b2=a3,b3=a7,b6=ak,则k=.答案2n+263解析由a4-a3=2知等差数列an的公差d=2,又a1+a2=2a1+d=10,故a1=4,则an=2n+2,所以b2=8,b3=16,得等比数列bn的公比q=2,b1=4.又b6=ak,故2k+2=425,解得k=63.18.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R0=
9、3(注:对于R01的传染病,要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径),那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为(注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染).答案4 095解析初始一名感染者,经过一轮传染后,感染人数为1+R0=4人;经过二轮传染后,感染人数为4+4R0=16人;经过三轮传染后,感染人数为16+16R0=64人.每一轮传染后的感染人数构成以4为首项,以4为公比的等比数列,设为an,到第n轮传染后,感染人数为an=44n-1=4n,由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为46-1=4095.1
10、9.在各项均为负数的数列an中,已知2an=3an+1,且a2a5=827.(1)求证:an是等比数列,并求出其通项公式.(2)试问-1681是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由.(1)证明2an=3an+1,an+1an=23.又数列an的各项均为负数,a10,数列an是以23为公比的等比数列.an=a1qn-1=a123n-1,a2=a1232-1=23a1,a5=a1235-1=1681a1.又a2a5=23a11681a1=827,a12=94.又a10)相交于点P.直线l1与x轴交于点P1,过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1,过点Q1作y轴的垂线交直
11、线l1于点P2,过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2,这样一直作下去,可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2,点Pn(n=1,2,3)的横坐标构成数列xn.那么,k=时,xn为等比数列.答案2解析设Pn(xn,yn),由题意可得Qn(xn,kxn+k),Pn+1(2-kxn-k,kxn+k),即xn+1=-kxn+2-k,设xn+1+t=-k(xn+t),即为xn+1=-kxn-t-kt,即有2-k=-t-kt,可得t=k-2k+1,可得xn+1+k-2k+1=-kxn+k-2k+1,由x1=2,可得xn+k-2k+1为以3-3k+1为首项、-k为公比的等比数列,即为xn+k-2k+1=3-3k+1(-k)n-1,则xn=3-3k+1(-k)n-1+3k+1-1.当k=2时,xn=(-1)n-12n,为等比数列.