1、专题三导数命题观察高考定位(对应学生用书第9页)1(2017江苏高考)已知函数f (x)x32xex，其中e是自然对数的底数若f (a1)f (2a2)0，则实数a的取值范围是_因为f (x)(x)32(x)exx32xexf (x)，所以f (x)x32xex是奇函数因为f (a1)f (2a2)0，所以f (2a2)f (a1)，即f (2a2)f (1a)因为f (x)3x22exex3x2223x20，所以f (x)在R上单调递增，所以2a21a，即2a2a10，所以1a.2(2014江苏高考)本在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处
2、的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_3yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.3(2013江苏高考)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_由于y2x，所以抛物线在x1处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.画出可行域(如图)设x2yz，则yxz，可知当直线yxz经过点A，B(0，1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax，最小值zmin2，故取值范围是.4(2015江苏高考)已知函数f (x)x3ax2b(a，bR)(1)试讨论f (x)的
3、单调性；(2)若bca(实数c是与a无关的常数)，当函数f (x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(，3)，求c的值. 【导学号：56394014】解(1)f (x)3x22ax，令f (x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f (x)3x20，所以函数f (x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f (x)0，x时，f (x)0，所以函数f (x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0时，x(，0)时，f (x)0，x时，f (x)0，所以函数f (x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，函数f (x)的两个极值为f (0)b，f a3b，则函数f (
4、x)有三个零点等价于f (0)f b0，从而或又bca，所以当a0时，a3ac0或当a0时，a3ac0.设g(a)a3ac，因为函数f (x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立，从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f (x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a因为函数有三个零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).综上c1.5(2016江苏高考)已知函数f (x)axbx(a0，b0，a1，b1)(1)设a2，b.求方程f (x)2
5、的根；若对于任意xR，不等式f (2x)mf (x)6恒成立，求实数m的最大值(2)若0a1，函数g(x)f (x)2有且只有1个零点，求ab的值解(1)因为a2，b，所以f (x)2x2x.方程f (x)2，即2x2x2，亦即(2x)222x10，所以(2x1)20，于是2x1，解得x0.由条件知f (2x)22x22x(2x2x)22(f (x)22.因为f (2x)mf (x)6对于xR恒成立，且f (x)0，所以m对于xR恒成立而f (x)24，且4，所以m4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)f (x)2有且只有1个零点，而g(0)f (0)2a0b020，所以0是函数g(
6、x)的唯一零点因为g(x)axln abxln b，又由0a1知ln a0，所以g(x)0有唯一解x0log.令h(x)g(x)，则h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，从而对任意xR，h(x)0，所以g(x)h(x)是(，)上的单调增函数于是当x(，x0)时，g(x)g(x0)0.因而函数g(x)在(，x0)上是单调减函数，在(x0，)上是单调增函数下证x00.若x00则x00，于是galoga220，且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0a1，所以loga20.又0，所以x1
7、0，同理可得，在和loga2之间存在g(x)的非0的零点，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾因此，x00.于是1，故ln aln b0，所以ab1.命题规律(1)在小题中以考查导数的几何意义为主(求切线方程)(2)在大题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题主干整合归纳拓展(对应学生用书第9页)第1步 核心知识再整合1导数的几何意义(1)函数yf (x)在点x0处的导数就是曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线的斜率，则kf (x0)(2)函数yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线方程为yf (x0)f (x0)(xx0)(3)在关于函数图象的切线问题中，
8、如果涉及确定参数值的问题，首先设切点，然后注意三个条件的使用，其一切点在切线上，其二切点在曲线上，其三切线斜率kf (x0)2导数与单调性的关系(1)若函数在某个区间D可导，f (x)0f (x)在区间D内单调递增；f (x)0f (x)在区间D内单调递减(2) 若函数在某个区间D可导，f (x)在区间D内单调递增f (x)0；f (x)在区间D内单调递减f (x)0.3导数和函数极值、最值的关系(1)求极值的步骤：先求f (x)0的根x0(定义域内的或者定义域端点的根舍去)；分析x0两侧导数f (x)的符号：若左侧导数负右侧导数正，则x0为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则x0为极大值点(
9、2)对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件(3)设函数yf (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则yf (x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点取得，所以只需比较极值点和端点函数值即得到函数的最值(4)求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值，大前提是要考虑函数的定义域第2步 高频考点细突破导数的运算及其意义【例1】(20162017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)曲线yxcos x在点处的切线的斜率为_解析y1sin x，x时，y1sin 2，即切线斜率
10、为2.答案2规律方法(1)导数的几何意义是kf (x)(2)从近几年的高考试题来看 ，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程以及与切线有关的问题是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义，切点既在曲线上，又在切线上，导数即斜率举一反三(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)曲线yex在x0处的切线方程是_yx1因为yex，所以在x0处的切线斜率为ke01，因此切线方程是y11(x0)，即yx1.导数的应用(单调性、极值、最值)【例2】(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)定义在R上的可导函数f (x)，已知yef (x)的图象如图31所示，
11、则yf (x)的增区间是_图31解析由x2时ef (x)1f (x)0，x2时，ef (x)1f (x)0，所以yf (x)的增区间是(，2)答案(，2)【例3】(泰州中学20162017年度第一学期第一次质量检测)已知函数f (x)x3x22ax1，若函数f (x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_解析由题意得f (x)在(1,2)上有零点，即x22x2a0a(x22x).答案【例4】(江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研)已知函数f (x)ln(1x)，x0，)，f (x)是f (x)的导函数设g(x)f (x)axf (x)(a为常数)，求函数g(x)在0，)上
12、的最小值 【导学号：56394015】解由题意g(x)ln(x1)，g(x).令g(x)0，即x1a0，得xa1，当a10，即a1时，g(x)在0，)上单调递增，g(x)ming(0)ln(10)00.当a10即a1时，g(x)在a1，)上单调递增，在0，a1上单调递减，所以g(x)ming(a1)ln aa1.综上：g(x)min举一反三(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x)x3ax2bxa27a在x1处取得极小值10，则的值为_因为f (x)3x22axb，所以32ab0,1aba27a10，解得或又当时f (x)3x212x9，函数f (x)在x1处
13、取得极大值10，当时f (x)3x24x1，函数f (x)在x1处取得极小值10，所以的值为.第3步 高考易错明辨析1忽视函数的定义域出错函数f (x)xln x的单调递增区间是_错解f (x)1，令f (x)0，即0，所以x1或x0，所以函数的单调递增区间为(1，)，(，0)，因为忽视了定义域从而出错正解f (x)1，令f (x)0，即0，所以x1或x0，又因为函数f (x)的定义域为(0，)，所以单调递增区间为(1，)2概念不清致误已知f (x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则ab的值为_错解f (x)3x22axb，由x1时，函数取得极值10，解得或所以ab7或0.错解分析函数
14、yf (x)在xx0处的导数值为0是函数yf (x)在xx0处取极值的必要不充分条件，但解题中把可导函数yf (x)在xx0处取极值的必要条件当作充要条件处理正解f (x)3x22axb，由x1时，函数取得极值10，解得或当a4，b11时，f (x)3x28x11(3x11)(x1)，在x1两侧导数符号相反，符合题意；当a3，b3时，f (x)3(x1)2在x1两侧导数符号相同，不符合题意，舍去所以a4，b11，ab7.3导数和单调性关系理解不清已知f (x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围错解f (x)x，f (x)1，又f (x)在区间1，)是增函数，f (x)10在区间1，)恒
15、成立，即ax2，所以a1.f (x)0是函数f (x)在区间内为增函数的充分不必要条件，对于可导函数而言，f (x)在区间(a，b)上单调递增(递减)的充要条件是：对于任意的x(a，b)，有f (x)0(或0)且f (x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为0. 正解f (x)x，f (x)1，又f (x)在区间1，)是增函数，f (x)10在区间1，)恒成立，即ax2，又因为yx2在1，)上的最大值为1，所以a1.专家预测巩固提升(对应学生用书第11页)1函数f (x)ax3ax22ax2a1的图象经过四个象限的充要条件是_a由f (x)ax2ax2a0得x1或x2，结合图象可知函数的图象经过
16、四个象限的充要条件是a0，f (1)0，f (2)0，即a.2已知函数f (x)的两个极值点分别为x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，点P(m，n)表示的平面区域为D，若函数yloga(x4)(a1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是_. 【导学号：56394016】(1,3)f (x)x2mx，由题意得： 即作出该不等式组表示的平面区域如图所示，易得交点的坐标为(1,1)，要使得函数yloga(x4)(a1)的图象上存在区域D内的点，则需loga(14)1，即loga3logaa，1a3.3将yln x的图象绕坐标原点O逆时针旋转角后第 一次与y轴相切，则角满足的条件是_
17、(填序号)sin ecos 设yf (x)ln x的图象的切线的斜率为k，切点坐标(x0，y0)，由题意可得切线的斜率k，由导数的几何意义得kf (x0)，x0e，由的意义，得tan x0e，sin ecos .4设函数f (x)ln xx2(m2)x，在xa和xb处有两个极值点，其中0ab，mR.(1)求实数m的取值范围；(2)若e(e为自然对数的底数)，求f (b)f (a)的最大值解(1)f (x)，则由题意得方程x2(m2)x10有两个正根，故解得m0.故实数m的取值范围是m0，4分(2)f (b)f (a)ln (b2a2)(m2)(ba)，又m2ab，ab1，f (b)f (a)ln (b2a2)ln ln ，8分设t(te)，故构造函数g(t)ln t(te)，g(t)0，所以g(t)在e，)上是减函数，10分g(t)g(e)1，f (b)f (a)的最大值为1.12分
