1、第二章第五节平面向量应用举例第一课时教学分析1本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果代数方法的流程图可以简单地表述为：则向量方法的流程图可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点2研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括：综合方法不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论
2、；解析方法以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；分析方法以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等前三种方法都是中学数学中出现的内容有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易使用向量方法要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化三维目标1通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”2明了
3、平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示3通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段重点难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题课时安排1课时导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算这就为我们解决物理问题和几
4、何研究带来了极大的方便本节专门研究平面几何中的向量方法思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用推进新课平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？图1你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动：教师引导学
5、生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法证明：方法一：如图2.图2作CEAB于E，DFAB于F，则RtADFRtBCE.ADBC，AFBE.由于AC2AE2CE2(ABBE)2CE2AB22ABBEBE2CE2
6、AB22ABBEBC2.BD2BF2DF2(ABAF)2DF2AB22ABAFAF2DF2AB22ABAFAD2AB22ABBEBC2.AC2BD22(AB2BC2)方法二：如图3.图3以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系设B(a,0)，D(b，c)，则C(ab，c)|AC|2(ab)2c2a22abb2c2，|BD|2(ab)2(c)2a22abb2c2.|AC|2|BD|22a22(b2c2)2(|AB|2|AD|2)用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积通过以下推导学生可以发现，由于向量能够运算
7、，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，同时也为计算机技术的运用提供了方便教学时应引导学生体会向量带来的优越性因为平行四边形对角线平行且相等，考虑到向量关系，教师可点拨学生设a，b，其他线段对应向量用它们表示，涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算|2与|2.因此有了方法三方法三：设a，b，则ab，ab，|2|a|2，|2|b|2.|2(ab)(ab)aaabbabb|a|22ab|b|2. 同理|2|a|22ab|b|2. 观察两式的特点，我们发现，得|2|22(|a|2|b|2)2(|2
8、|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论这就是用向量方法解决平面几何问
9、题的“三步曲”，即(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系讨论结果：能能想出至少三种证明方法略例1如图4，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？图4活动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR、RT、TC的长度，让学生发现ARRTTC，拖动平行四边形的顶点，动态观
10、察发现，ARRTTC这个规律不变，因此猜想ARRTTC.事实上，由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断，与之间的关系即可探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：ARRTTC.解：如图4，设a，b，r，t，则ab.由于与共线，所以我们设rn(ab)，nR.又因为ab，与共线，所以
11、我们设mm(ab)因为，所以rbm(ab)因此n(ab)bm(ab)，即(nm)a(n)b0.由于向量a、b不共线，要使上式为0，必须解得nm.所以.同理.于是.所以ARRTTC.点评：教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的，因此在书写时可简化一些程序指导学生在今后的训练中，不必列出三个步骤.变式训练如图5，AD、BE、CF是ABC的三条高求证：AD、BE、CF相交于一点图5证明：设BE、CF相交于H，并设b，c，h，则hb，hc，cb.因为，所以(hb)c0，(hc)b0，即(hb)c(hc)b.化简得h(cb)0.所以.所以AH与AD共线，即AD、BE、CF相交于一点H.
12、例2如图6，已知在等腰ABC中，BB、CC是两腰上的中线，且BBCC，求顶角A的余弦值图6活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标如果能比较方便地建立起平面直角坐标系，如本例中图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成解：建立如图6所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c,0)，则B(c,0)，(0，a)，(c，a)，(c,0)，(2c,0)因为BB、CC都是中线，所以()(
13、2c,0)(c，a)(，)，同理(，)因为BBCC，所以c20，a29c2.所以cosA.点评：比较是最好的学习方法本例利用的方法与例题1有所不同，但其本质是一致的，教学中引导学生仔细体会这一点，比较两例的异同，找出其内在的联系，以达到融会贯通，灵活运用之功效.变式训练如图7，在RtABC中，已知BCa.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值图7解：方法一：如图7.，0.，()()a2a2()a2a2a2cos.故当cos1，即0，与的方向相同时，最大，其最大值为0.方法二：如图8.图8以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示
14、的平面直角坐标系设|AB|c，|AC|b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|2a，|BC|a.设点P的坐标为(x，y)，则Q(x，y)(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)(xc)(x)y(yb)(x2y2)cxby.cos，cxbya2cos.a2a2cos.故当cos1，即0，与的方向相同时，最大，其最大值为0.1如图9，已知AC为O的一条直径，ABC是圆周角图9求证：ABC90.证明：如图9.设a，b，则ab，a，ab，|a|b|.因为(ab)(ab)|a|2|b|20，所以.由此，得ABC90.点评：充分利用圆的特性，设出向量2D、E、F分别是ABC
15、的三条边AB、BC、CA上的动点，且它们在初始时刻分别从A、B、C出发，各以一定速度沿各边向B、C、A移动当t1时，分别到达B、C、A.求证：在0t1的任一时刻t1，DEF的重心不变证明：如图10.图10建立如图所示的平面直角坐标系，设A、B、C坐标分别为(0,0)，(a,0)，(m，n)在任一时刻t1(0,1)，因速度一定，其距离之比等于时间之比，有，由定比分点的坐标公式可得D、E、F的坐标分别为(at1,0)、(a(ma)t1，nt1)、(mmt1，nnt1)由重心坐标公式可得DEF的重心坐标为(，)当t0或t1时，ABC的重心也为(，)，故对任一t10,1，DEF的重心不变点评：主要考查
16、定比分点公式及建立平面直角坐标系，只要证ABC的重心和时刻t1的DEF的重心相同即可1由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度2本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点课本习题2.5 A组2，B组3.1本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动本节知识方法容量较
17、大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点地激发学生的智慧火花2由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续内容的解析几何等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力3平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维
18、发散能力一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果现举几例以供教师、学生进一步探究使用1简化向量运算例1如图11所示，O为ABC的外心，H为垂心，求证：.图11证明：如图11，作直径BD，交O于点D.连接DA，DC，有，且DAAB，DCBC，AHBC，CHAB，故CHDA，AHDC，得四边形AHCD是平行四边形从而.又，得，即.2证明线线平行例2如图12，在梯形ABCD中，E，F分别为腰AB，CD的中点求证：EFB
19、C，且|(|)图12证明：连接ED，EC，ADBC，可设(0)，又E，F是中点，0，且()而(1)，EF与BC无公共点EFBC.又0，|(|)(|)3证明线线垂直例3如图13，在ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE，且AD与BE交于H，连接CH，求证：CHAB.图13证明：由已知AHBC，BHAC，有0，0.又，故有()0，且()0，两式相减，得()0，即0，.4证明线共点或点共线例4求证：三角形三中线共点，且该点到顶点的距离等于各该中线长的.图14已知：ABC的三边中点分别为D，E，F(如图14)求证：AE，BF，CD共点，且.证明：设AE，BF相交于点G，1，由定比分点的
20、向量式有，又F是AC的中点，()，设2，则，12，2，即.又(2)()，C，G，D共线，且.二、备用习题1有一边长为1的正方形ABCD，设a，b，c，则|abc|_.答案：22已知|a|2，|b|，a与b的夹角为45，则使ba与a垂直的_.答案：23在等边ABC中，a，b，c，且|a|1，则abbcca_.答案：4已知三个向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三点共线，则k_.答案：2或115如图15所示，已知矩形ABCD，AC是对角线，E是AC的中点，过点E作MN交AD于点M，交BC于点N，试运用向量知识证明AMCN.图15答案：解：建立如图16所示的直角坐标系，设BCa，BAb，则C(a,0)，A(0，b)，E(，)图16又设M(x2，b)，N(x1,0)，则(x2,0)，(x1a,0)，(x2，)，(x1，)，(x2)()(x1)()0.x2ax1.|x2|ax1|x1a|.而|x1a|，|，即AMCN.