1、安徽省滁州市定远县育才学校2020届高三数学下学期3月线上模拟考试试题 理（含解析）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 故选A2.已知复数（其中为虚数单位），则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】则故选3.某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（ ）（已知若，则， ， ）A. 1140B. 1075C. 2280D. 2150【答案】C【解析】【分析】先计算区间（110，
2、130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果.【详解】由题意得，因此，所以，即分数位于区间分的考生人数近似为，选C.【点睛】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.4.设是等差数列的前n项和，则（ ）A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】，.本题选择C选项.5.设双曲线的右焦点为，点在双曲线上，是坐标原点，若四边形
3、为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A B. 2C. D. 【答案】C【解析】【详解】设，因为OFMN为平行四边形，所以，因为OFMN的面积为bc，所以，选C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6.若把函数的图象向右平移（）个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数图象向右平移（）个单位后得到解析式，因为图象关于坐标原点对称，解得，因为所以的最小值为故选7.（2x
4、）5的展开式中x3项的系数为（）A. 80B. 80C. 40D. 48【答案】B【解析】通项公式，令，解得，展开式中项的系数，故选B.8.已知函数，则的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当时，所以在单调递增，则B、D错误；当时，则在单调递减，单调递增，所以A正确，故选A点睛：本题通过对函数的单调性分析得到图象由于本题函数是绝对值函数，则去绝对值分类讨论，分别通过求导分析，得到单调性情况，得到正确的图象图象选择问题也常用特殊值法排除错误选项9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为一个半
5、圆柱挖取一个倒立的四棱锥【详解】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥该几何体的体积 .故选D【点睛】本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.已知是椭圆的左焦点，设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，则直线（为原点）的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由椭圆方程 ，可求得 ，由 ，得 ，过 作 轴垂线与椭圆交于 ，则 在弧 上时，符合题意， ， 斜率的取值范围是 ，故答案为,故选C.【方法点晴】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的斜率及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题
6、一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和几何性质来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.11.在中，点 是所在平面内一点，则当 取得最小值时， ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】在ABC中，AB3AC9，|cosA|2，|cosA|3，C，以C为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A（3，0），B（0，6），设P（x，y），则（x3）2+y2+x2+（y6）2+x2+y23x26x+3y212y+813（x1）2+（y2）2+18，当x1，y2时取
7、的最小值，此时P（1，2），则（2，2）（0，6）24选D.点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.12.已知函数，在区间上任取三个实数均存在以为边长的三角形，则实数的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由条件可得2f（x）minf（x）max且f（x）min0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论解：任取
8、三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）f（c）恒成立，可转化为2f（x）minf（x）max且f（x）min0令得x=1当时，f（x）0；当1xe时，f（x）0；所以当x=1时，f（x）min=f（1）=1+h，=e1+h，从而可得，解得he3，故选D考点：导数在最大值、最小值问题中的应用二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知实数，满足，则的最大值为_【答案】6【解析】则过点时，的最大为6.14.已知是各项都为正数的等比数列，则前项和为，且，则_【答案】4【解析】或 ，（舍去）， ，故答案为.15.欧阳修在卖油翁中
9、写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是_【答案】【解析】【分析】分别求出圆和正方形的面积，结合几何概型的面积型计算公式进行求解即可.【详解】因为铜钱的面积为，正方形孔的面积为，所以随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是.故答案为：【点睛】本题考查了几何概型计算公式，考查了数学运算能力,属于基础题.16.在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变
10、化时，点到直线的距离的最大值为_.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线 所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，.(1)求tanC的值；(2)若a，求ABC的面积【答案】(1)；(2)【解析】解：(1)0A，cosA，sinA又cosCsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCcosCsinC，tanC(2)由tanC，得sinC，cosC于是s
11、inBcosC由a及正弦定理，得c，设ABC的面积为S，则SacsinB18.如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，底面ABCD，1求证：平面平面PBC；2设H为CD上一点，满足，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面进而可得结论；（II）以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）由，可得，又 从而，底面， ，平面所以平面平面. （II）由（I）可知为与底面所成角. 所以，所以 又及，可
12、得, 以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，则. 设平面的法向量.则由得取 同理平面的法向量为 所以又二面角为锐角.所以二面角余弦值为.【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上的任意一点，当位于第一象限内时，外接圆的圆心到抛物线准线的距
13、离为.（1）求抛物线的方程；（2）过的直线交抛物线于两点，且，点为轴上一点，且，求点的横坐标的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由抛物线的定义与圆的性质，可求出圆心到准线的距离用表示，可得值； （2）设，再由向量间关系可得坐标间关系，令直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得中点坐标，求出直线的垂直平分线方程，可求得点横坐标，进一步求出其取值范围试题解析：根据题意，点在的垂直平分线上，所以点到准线的距离为，所以.（2）设，设直线代入到中得，所以，又中点，所以直线的垂直平分线的方程为，可得.20.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年
14、的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两年度未发生有责任道路交通事故下浮上三年度未发生有责任道路交通事故下浮30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一个年度发生有责任交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车
15、的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元:若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；若该销售商一次购进10
16、0辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值.【答案】（1）分布列见解析，（2），万元【解析】【分析】（1）由题意列出X的可能取值为，结合表格写出概率及分布列，再求解期望（2）建立二项分布求解三辆车中至多有一辆事故车的概率先求出一辆二手车利润的期望，再乘以100即可【详解】（1）由题意可知：X的可能取值为，由统计数据可知：，.所以的分布列为：.（2）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为：.设Y为给销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为所以Y的分布列为：YP所以.所以该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利
17、润的期望值为万元.【点睛】本题考查离散型随机变量及分布列，考查二项分布，考查计算能力，是基础题21.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，且，使得，求证：.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间，转化为求函数导数值大于零或小于零的不等式的解；（2）根据题意对进行分类讨论，当时显然不行，时，不能有，设，则由即可，利用单调性即可证出.试题解析：（1）当时，又，由，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，当时，此时在R上单调递增；由可得，与相矛盾，所以，且的单调递增区间为，单调递减区间为.若，则由可得，与相
18、矛盾，同样不能有，不妨设，则由，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，.由，可得，故，又在上单调递减，且，所以，所以，同理，即，解得，所以.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22.已知曲线C：(为参数)和定点A(0,)，F1，F
19、2是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线AF2的极坐标方程；(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求|MF1|NF1|的值【答案】（1）cossin;（2）.【解析】【分析】（1）先将曲线C参数方程化为普通方程，求出F2点坐标，进而求出直线AF2直角坐标方程，再化为极坐标方程；（2）根据条件求出具有几何意义的直线l参数方程，代入曲线C的普通方程，运用韦达定理和直线参数的几何意义，即可求解.【详解】(1)曲线C：可化为，故曲线C为椭圆，则焦点F1(1，0)，F2(1，0) 所以经过点A(0，)和F2(1，0)的直线AF2的方程
20、为x1，即xy-0，所以直线AF2的极坐标方程为cossin.(2)由(1)知，直线AF2的斜率为-，因为lAF2，所以直线l的斜率为，即倾斜角为30，所以直线l的参数方程为(t为参数)， 代入椭圆C的方程中，得13t2t360.因为点M，N在点F1的两侧，所以|MF1|NF1|t1t2|.【点睛】本题考查普通方程化参数方程、直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的运用，属于中档题.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对于恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）绝对值函去绝对值得到分段函数，得的解集为；（2）由题意得，即，解得试题解析：（1）依题意，故不等式的解集为（2）由（1）可得，当时，取最小值，对于恒成立，即，解之得，实数的取值范围是点睛：绝对值函数基本处理技巧就是去绝对值，得到分段函数，本题中再进行分段解不等式，得到答案；任意型恒成立问题得到，由分段函数分析得到，所以，解得答案