1、安徽省滁州市定远县育才学校2020届高三数学上学期第三次月考试题 理（含解析）本试卷分第卷和第卷两部分，共150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.第卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.）1.设全集，集合，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由补集的定义可得，再利用交集的定义可得结果.【详解】因为所以，又因为，所以，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合
2、且不属于集合的元素的集合.2.已知复数z满足，i是虚数单位，则复数A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：由，得故选D【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题3.已知，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意利用诱导公式得到，再根据角的范围、同角三角函数的基本关系，求出的值即可【详解】解：，则，故选A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题4.已知函数，则A. 2019B. C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到
3、答案.【详解】函数，故选B【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.5.已知为等差数列的前项和，若，则数列的公差（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为，由及列方程组即可求解【详解】设等差数列的首项为，公差为，由及得：，解得：故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查方程思想及计算能力，属于基础题6.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()A B.
4、C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.7.将函数的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（ ）A. 函
5、数在区间上为增函数B. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称C. 点是函数图象的一个对称中心D. 函数在上最大值为【答案】A【解析】【分析】利用函数yAsin（x+）图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的性质对选项逐一判断即可【详解】由函数f（x）2sinx的图象先向左平移个单位，可得y2sin（x）的图象；然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得yg（x）2sin（x）的图象对于A选项，时，x，此时g（x）2sin（x）是单调递增的，故A正确；对于B选项，将函数的图象向右平移个单位后得到y2sin（x）不是奇函数，不满足关于原点对称，故B错误；对于C选项，将x=
6、代入函数解析式中，得到2sin（）=2sin=；故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误；对于D选项，当时，x，最大值为，故D错误；故选A【点睛】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的值域及性质，属于中档题8.已知，且、的夹角为，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的定义，结合二倍角的正弦公式求解即可【详解】解：，且、的夹角为，故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的定义，考查二倍角的正弦公式，属于基础题9.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A. 1B. -1C. 0D. -2【答案】B【解析】【分析】由题意结合流程图运行程序
7、，考查是否成立来决定输出的数值即可.【详解】结合流程图可知程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时不满足，执行循环：；此时不满足，执行循环：；此时不满足，执行循环：；此时不满足，执行循环：；此时不满足，执行循环：；此时满足，输出.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.10.已知函数,若,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据二倍角公式化简，再代入化简,最后根据平方关系求【详解】因为，所以，平方得 ，选C.【点睛】本题考查二倍角公式以及同角三角函数关系，考查基本求解能力.11.已知定义在R上的偶函数（函数的导数为）满足，e3f(
8、2018)1，若，则关于x的不等式的解为A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以周期为3，为偶函数，所以f(2018)= f(2)= f(-1)= f(1) ，令,则,，由得,所以x-21,x3,即解为，选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等12.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是（ ）A. 函数在上为单调递增函数B. 是函数的极小值点C. 函数至多有两个零点D. 时，不等式恒成立【答案】D【解析】【分析】由时，可得在递增， 由时，在递减，结合
9、函数的单调区间以及函数的极值，逐一判断选项中的命题，从而可得结果【详解】，则，时，故在递增，正确；时，故在递减，故是函数的极小值点，故正确；若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，若，则函数没有零点，故正确；由在递减，则在递减，由，得时，故，故，故错误,故选D【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值、函数的零点，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.第卷（
10、非选择题90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，若，则向量与向量的夹角为_【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，即，解得，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.14.已知，且，则_【答案】【解析】【分析】展开两角和与差的正弦求得后弦化切，再由二倍角的正切求得，列关
11、于的等式，求解值即可【详解】，即故答案为【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，涉及两角和的正弦公式及二倍角的正切公式，是基础的计算题15.设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数_【答案】【解析】【分析】设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线yx对称的点为（y，x），把（y，x）代入，得f（x）log3（-x）+a，由此利用f（3）+f（）4，能求出a的值【详解】函数yf（x）的图象与的图象关于直线yx对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线yx对称的点为（y，x），把（y，x）代入，得x，f（x）log3（-x）+a，f（3）+f（）4，1+a
12、1+a4，解得a2故答案为2【点睛】本题考查指对函数的相互转化，考查对数值的运算，考查函数与方程思想，是基础题16.已知函数为奇函数，且与图象的交点为，则_【答案】18【解析】【分析】由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可【详解】函数为奇函数，函数关于点对称，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，,两两关于点对称， .故答案为18【点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.三、解答题（共6小题，共70分.）17.已知命题（其中）.（1）若，命题“
13、且”为真，求实数的取值范围；（2）已知是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分别求出的等价命题，再求出它们的交集；（2），因为是的充分条件，所以，解不等式组可得试题解析：（1），若命题“且”为真，取交集，所以实数的范围为；（2），若是的充分条件，则，则.考点：1、充分条件与必要条件；2、复合命题的真假.18.已知等差数列的首项，且、构成等比数列求数列的通项公式设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】设公差为d，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；求得，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求
14、和【详解】等差数列的首项，公差设为d，、构成等比数列，可得，即为，解得或，当时，不成立，舍去，则，可得；，前n项和【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题19.已知函数(1)当时，求函数的值域；(2)若定义在R上的奇函数对任意实数，恒有且当 求的值【答案】（1）；（2）-1【解析】【分析】(1)可以通过将二次函数化为顶点式在通过其函数特征得出结果(2)可以先通过当时 计算出的值，在通过周期性以及奇偶性得出的值，最后通过函数周期性得出结果【详解】(1)由题意得，因为，所以在上单调递减，在上单调递增所以当时，取得最小值，且又，所
15、以，函数的值域是，(2)由可得函数的周期，因为，所以，所以.【点睛】若函数满足，则函数周期为20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值与最小值.【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式对函数的解析式进行化简整理，进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期（2）根据（1）中函数f（x）的解析式确定的解析式，利用两角和公式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得的最大值和最小值【详解】解：（1）， 所以函数的最小正周期为 （2） 因为，所以所以 所以函数的最大值为，最小值为【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，
16、两角和公式和二倍角公式的化简求值，以及三角函数的值域考查了学生综合运用所学知识的能力21.设函数f（x）（x21）lnxx22x（1）求曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）证明：f（x）1【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】（1）f（x）=+2xlnx2x+2=2xlnxx+2可得f（2），f（2）=3ln2利用点斜式即可得出切线方程（2）f（x）1（x21）lnx（x1）20当x=1时，不等式成立所以只需证明：x1时，lnx；0x1时，lnx利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出【详解】函数的定义域为. ，. . 曲线在点处的切线方程为. 即. （2）证明：
17、当x=1时，不等式显然成立. 所以只需证明当时，；当时，. 令，则. ，函数在上是增函数. 当x1时，；当0x1时，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、证明不等式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，试判断的零点个数.【答案】（1）当时，在上是增函数，当，在上增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）1【解析】【分析】（1）对求导后对进行分类讨论，找到和的区间，即为的单调区间.（2）由（1）可知时，有极大值和极小值，研究他们的正负，并且找到令的点，根据零点存在定
18、理，找出零点个数.【详解】（1）函数的定义域为，令，则，（i）若，则恒成立，所以在上是增函数，（ii）若，则，当时，是增函数，当时，是减函数，当时，是增函数，（iii）若，则，当时，是增函数，当时，是减函数，当时，是增函数，综上所述：当时，在上是增函数，当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以的极小值为，的极大值为,设，其中，,所以在上是增函数，所以，因为，所以有且仅有1个，使.所以当时，有且仅有1个零点.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，极值、最值，以及函数的图像和零点问题，涉及分类讨论的数学思想，题目比较综合，属于难题.