1、8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定定理课后训练提升基础巩固1.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能答案D2.如图,AB是圆O的直径,C是圆周上不同于点A,B的任意一点,PA平面ABC,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数为()A.4B.3C.2D.1解析因为AB是圆O的直径,所以ACB=90,即BCAC,所以ABC是直角三角形.因为PA平面ABC,所以PAC,PAB都是直角三角形,PABC.又PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCPC,所以PBC是直角三角形.故选A.答案A3.在三棱锥S-ABC中,SA
2、=SB=SC,则点S在平面ABC上的射影一定在()A.BC边的中线上B.BC边的高线上C.BC边的垂直平分线上D.BAC的平分线上解析如图,设点S在平面ABC上的射影为点O,连接OA,OB,OC,则SO平面ABC.因为SA=SB=SC,所以OA=OB=OC,所以O为ABC的外心,所以点S在平面ABC上的射影一定在BC边的垂直平分线上.答案C4.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,G为EF的中点,现在沿AE,AF及EF,把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,如图,则下列结论正确的是()A.AH平面EFHB.AG平面EFHC.HF平面AEFD.H
3、G平面AEF解析依题意,AHHF,AHHE,所以AH平面EFH.答案A5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,下列能使A1CBC1的是()A.AB=ACB.AA1=ACC.BB1=ABD.CC1=BC解析在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,即ABAC,AA1AB,AA1AC=A,所以AB平面AA1C1C.又A1C平面AA1C1C,所以ABA1C.连接AC1,如图,若AA1=AC,则矩形AA1C1C为正方形,所以A1CAC1.又ABAC1=A,所以A1C平面ABC1.又BC1平面ABC1,所以A1CBC1.答案B6.在三棱锥P-ABC中,点O是点P在底面ABC内的射影.若
4、点P满足以下两种情形:点P到ABC三边的距离相等;PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等.则点O分别是ABC的()A.重心,垂心B.内心,外心C.内心,垂心D.垂心,外心解析若点P到ABC三边的距离相等,则点O到ABC三边的距离相等,故点O是ABC的内心;若PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等,则点O到点A,B,C的距离相等,故点O是ABC的外心.答案B7.已知等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内,若AC与所成的角为30,则斜边上的中线CM与所成的角为.解析如图,设点C在平面内的射影为点O,连接AO,MO,则CAO=30,CMO为CM与所成的角.不妨设AC=BC=1,则AB=2,所以C
5、M=22,CO=12,所以sinCMO=COCM=22,所以CMO=45.所以CM与所成的角为45.答案458.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,AP=AB=2,BC=22,E,F分别为AD,PC的中点.证明:PC平面BEF.证明如图,连接PE,EC,在RtPAE和RtCDE中,AP=AB=CD,AE=DE,PE=CE,又F为PC的中点,EFPC.又BP=AP2+AB2=22=BC,F为PC的中点,BFPC.又BFEF=F,PC平面BEF.9.如图,AB为圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M为圆周上不同于点A,B的任意一点,ANPM,N为垂足.(1)求证:
6、AN平面PBM;(2)若AQPB,垂足为Q,求证:NQPB.证明(1)AB为圆O的直径,AMBM.又PA平面ABM,PABM.又PAAM=A,BM平面PAM.又AN平面PAM,BMAN.又ANPM,BMPM=M,AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM,PB平面PBM,ANPB.又AQPB,ANAQ=A,PB平面ANQ.又NQ平面ANQ,NQPB.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面是边长为1的菱形,ADC=60,PA=2,M是PB的中点.(1)求证:PD平面ACM.(2)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值.(1)证明如图,连接BD,交AC于点O,连接OM.因为底
7、面ABCD是菱形,所以O是BD的中点.又M是PB的中点,所以OMPD.又OM平面ACM,PD平面ACM,所以PD平面ACM.(2)解如图,取AB的中点E,连接ME,CE,由题意可知,ACB是等边三角形,所以CEAB.因为M是PB的中点,E是AB的中点,所以MEPA,ME=12PA.又PA平面ABCD,所以ME平面ABCD,所以MECE.又ABME=E,所以CE平面PAB,所以CME是直线CM与平面PAB所成的角.因为ME=12PA=22,CE=32,所以CM=CE2+ME2=52,所以sinCME=CECM=155.能力提升1.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,
8、则下列结论不正确的是()A.CD平面PAFB.DF平面PAFC.CF平面PABD.CF平面PAD解析在正六边形ABCDEF中,易知CDAF,DFAF,CFAB,由线面平行的判定定理,可知CD平面PAF,CF平面PAB,故A,C正确.因为PA平面ABC,所以PADF,又DFAF,PAAF=A,所以DF平面 PAF,故B正确.易知CF与AD不垂直,故D错误.故选D.答案D2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形ABCD的面积为16,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.64B.642C.482D.643解析因为正方形ABCD的面积为16,所以AB=BC=4.如图
9、,连接BC1,因为AB平面BB1C1C,所以AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,所以AC1B=30,所以BC1=43,所以CC1=BC12-BC2=42.所以该长方体的体积V=1642=642.答案B3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持APBD1,则动点P一定()A.在线段B1C上B.在线段BC1上C.在BB1的中点与CC1的中点连成的线段上D.在BC的中点与B1C1的中点连成的线段上解析如图,易知BD1平面AB1C,故点P一定位于B1C上.答案A4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是侧面AA1D1D与底
10、面ABCD的中心,则下列说法:DF平面D1EB1;异面直线DF与B1C所成的角为60;ED1与平面B1DC垂直;VF-CDB1=112.其中错误的个数为()A.0B.1C.2D.3解析如图.对于,因为DFB1D1,DF平面D1EB1,B1D1平面D1EB1,所以DF平面D1EB1,所以正确;对于,因为DFB1D1,所以CB1D1(或其补角)是异面直线DF与B1C所成的角,因为B1D1C是正三角形,所以CB1D1=60,所以正确;对于,因为ED1A1D,ED1CD,A1DCD=D,所以ED1平面A1B1CD,即ED1平面B1DC,所以正确;对于,VF-CDB1=VB1-CDF=13SCDF1=1
11、3121121=112,所以正确.故选A.答案A5.已知P为ABC所在平面外的一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列结论错误的是()A.PABCB.PBACC.点P在平面ABC上的射影为ABC的垂心D.点P在平面ABC上的射影为ABC的外心解析因为PA,PB,PC两两垂直,所以PA平面PBC,所以PABC,故A正确;同理,B正确;设点P在平面ABC上的射影为点O,因为PABC,POBC,所以BC平面PAO,所以OABC,同理,OBAC,所以点O为ABC的垂心,故C正确,D错误.答案D6.已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面AB
12、C的距离为.解析如图,作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO平面ABC.连接CO,OD,知CDPD,CDPO,PDPO=P,CD平面PDO,OD平面PDO,CDOD.PD=PE=3,PC=2,sinPCE=sinPCD=32,PCB=PCA=60.POCO,CO为ACB平分线,OCD=45,OD=CD=1,OC=2.又PC=2,PO=4-2=2.答案27.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,且PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明(1)因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.又ACCD,PA
13、AC=A,所以CD平面PAC.又AE平面PAC,所以CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AEPC.由(1)知AECD,且PCCD=C,所以AE平面PCD.又PD平面PCD,所以AEPD.因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD.又AEAB=A,所以PD平面ABE.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,ADC=45,AD=AC=1,O为AC的中点,PO平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)求证:PB平面ACM;(2)求证:A
14、D平面PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.(1)证明如图,连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,O为AC的中点,O为BD的中点,又M为PD的中点,PBMO.又PB平面ACM,MO平面ACM,PB平面ACM.(2)证明ADC=45,AD=AC=1,DAC=90,即ADAC.又PO平面ABCD,AD平面ABCD,POAD.又ACPO=O,AD平面PAC.(3)解如图,取DO的中点N,连接MN,AN.M为PD的中点,MNPO,MN=12PO=1.又PO平面ABCD,MN平面ABCD,MAN为直线AM与平面ABCD所成的角.在RtDAO中,AD=1,AO=12,DO=52,AN=12DO=54.在RtANM中,tanMAN=MNAN=154=455.故直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.