1、河北省石家庄市第二中学2020届高三数学下学期3月内部考试试题 理（含解析）时间120分钟 满分：150分第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，有且只有一项符合要求）1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合M，N，根据交集运算求解即可.【详解】，,故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数值域，函数的定义域，交集运算，属于容易题.2. 已知z是纯虚数，是实数，那么z等于 ()A. 2iB. iC. iD. 2i【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算，化简得到，再由复数为实数，即可求解.【
2、详解】设zbi(bR，且b0)，则 (2b)(2b)iR，2b0，解得b2，z2i.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出五个不等式的解集，利用集合之间的关系可以判断出结果.【详解】因为， ，且或，因为，所以使不等式成立的一个必要不充分条件是，故选：A【点睛】本题考查了必要不充分条件，考查了绝对值不等式、对数不等式的解法，用集合之间的关系判断充分、必要条件是解题关键，属于基
3、础题.4. 在可行域内任取一点，如果执行如图所示的程序框图，那么输出数对的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出条件所表示的正方形区域，和圆，再利用几何概型计算概率，即可得答案.【详解】如图所示：分别作出条件所表示的正方形区域、圆，由程序框图的程序得：当输出数对的概率是.故选：B.【点睛】本题考查程序框图与几何概型，考查数形结合思想和运算求解能力，属于基础题.5. 具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最小的几何体的表面积为（ ）A. 13B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的三视图，分析其几何体的所有可能的情况，比较得出体积
4、最小时为三棱柱，根据图中所给的数据，利用公式求得结果.【详解】该几何体可能是四棱柱、水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱，且对应柱体的高是一样的都是3，而四棱柱的底面是边长为1的正方形，底面积为1，三棱柱的底面是腰为1的等腰直角三角形，底面积为，圆柱的底面是直径为1的圆，底面积为，且，比较可知体积最小的几何体为三棱柱，且高为3、底面为腰长为1的等腰直角三角形，其表面积为，故选：B【点睛】该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，柱体体积公式，属于简单题目.6. 若，是第三象限的角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系计算出
5、的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值.【详解】是第三象限角，且，因此，故选B.【点睛】本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.7. 某学生在一门功课的22次考试中，所得分数的茎叶图所示，则此学生该门功课考试成绩的极差与中位数之和为()A. 117B. 118C. 118.5D. 119.5【答案】B【解析】分析】根据茎叶图计算出极差和中位数，然后求和即可.【详解】22次考试成绩最高为98分，最低为56分，所以极差为985642，从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试成绩的极差
6、与中位数之和为4276118，故选B.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别及样本数字特征求解，极差是数据最大值与最小值的差，中位数是确定数据中间位置的数，中间位置有两个数据时，取两者的平均数，侧重考查了数据分析和数学运算的核心素养.8. 函数在区间上单调，且恒成立，则此函数图象与轴交点的纵坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知，即，算出的值，得出，由时，取得最大值，且，得出，进而求出，再求出函数图象与轴交点的纵坐标即可.【详解】解：由题意知，即，即时，取得最大值，即，即，即此函数图象与轴交点的纵坐标为.故选：A.【点睛】本题考查余弦函数性质，考查运算能力，属于中档题
7、.9. 如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（ ）A. 线段B. 圆C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】【分析】连结，可得，进而可知动点P必定在线段AE的中垂面上，进而可得动点P的轨迹是线段即可.【详解】连结，可证，即，即点E是体对角线上的定点，直线AE也是定直线，动点P必定在线段AE的中垂面上，则中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段故选：A【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点轨迹问题，需要根据平面几何的关系得出全等，进而根据相等线段的性质求出轨迹.属于中档题.10. 双曲线的右焦点为，是双曲线上一点，点满足，则的最小值为（ ）A
8、. 3B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】由得： ，所以 ，要使得取得最小值，即要为最小值，当点为双曲线的右顶点时，故的最小值为.【详解】因为，所以：，故三角形MPF为直角三角形，所以，为要使得取得最小值，因为，所以，要为最小值，当点为双曲线的右顶点时，即为的最小值，故的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查解析几何中线段的最值问题，属于中档题目.11. 已知是以2为周期的偶函数，当时，那么在区间内，关于x的方程有4个根，则k的取值范围是（ ）A. 或B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知画出的图象，由于过定点，结合的图象容易求得的取值范围.【详解】解：因为直线过定
9、点，画出函数在的图像，要使方程有4个根，即直线和函数在的图像有4个交点。显然时满足条件，假若当直线和函数的图像在区间上相切时也满足条件，但是这是不可能的。因为联立，得，得或（舍去），当时，解得所以故选B.【点睛】本题考查利用函数周期性、奇偶性画函数图像，关键在于准确画出函数的图像，属于中档题.12. 已知正项数列的前n项和为满足:若记表示不超过m的最大整数，则（ ）A. 17B. 18C. 19D. 20【答案】B【解析】【分析】根据，结合等差数列的定义可以求出的表达式，最后根据放缩法，结合的意义进行求解即可.【详解】当时，当时，由，及得，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，因此，则又当时
10、，对于，故选：B【点睛】本题考查了根据递推公式求等差数列的通项公式，考查了利用放缩法求数列的和，考查了数学阅读能力和数学运算能力.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13. 已知则展开式中的常数项为_【答案】.【解析】【分析】根据定积分运算求出a的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项【详解】易求，由定积分的几何意义可得其展开的通项公式为令，展开式中常数项常数项为. 故答案为：【点睛】本题主要考查定积分与微积分基本定理和二项式定理，属于中等题。14. 已知函数在定义域上是单调函数，若对任意的，都有则的值是_【答案】6【解析】【分析
11、】根据已知条件，令，即，再令，联立方程组得：.最后容易求得.【详解】因为在定义域上是单调函数，故可设，即由，得，所以，由此可知，所以故答案为：6.【点睛】本题考查了函数求值，关键突破口在于换元思想的应用，属于中档题.15. 已知直线与抛物线：相交于，两点，为的焦点，若，则_.【答案】【解析】【分析】由得：，所以故点 为的中点，得，所以.【详解】由已知，直线过点 ，恰好是抛物线 ：的准线 与 轴的交点，如下图所示，过点，分别作 于， 于，由，则. 点 为的中点，连接，则，点的纵坐标为1， 故答案为：.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及抛物线焦半径的性质，属于中档题目.16. 设正数数列
12、的前n项和为数列的前n项积为若，则数列中最接近2020的数是_【答案】1980.【解析】【分析】先根据及得：，化简整理得出:是公差为1的等差数列，进而求出，再由得出，最后由得出，从而得出，最后取值判断即可.【详解】解：，整理得：，由且得，.，.从而，因为.故答案为：1980【点睛】本题考查了数列求通项的方法，关键在于把一般数列转化为等差或等比数列，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答适应写出文字说明，证明过程或演算步骤将解答过程写在相应答题区域，答在区域之外的判作无效17. 已知公差不为零的等差数列各项均为正数，其前n项和为满足且成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）设求
13、数列的前n项和为【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件转化为关于首项与公差的方程组，解得首项与公差代入等差数列通项公式即可；（2）根据错位相减法求和，即得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题得：整理解得，所以 （2）由（1）得则两式作差：整理得：【点睛】本题考查等差数列通项公式、等差数列求和公式以及利用错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，分别是，的中点，点在直线上，且；（1）证明：无论取何值，总有；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为，若
14、存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析（2）当时，取得最大值，此时，（3）不存在点使得平面与平面所成的二面角为【解析】【详解】（1）以，别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；（2）设出平面一个法向量，表达出，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正切值；（3）假设存在，利用平面与平面所成的二面角为30，则平面与平面法向量的夹角为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，研究方程根的情况，即可得到结论证明：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，（1）,，所以无论取何值，. （2）是平面ABC
15、的一个法向量.当时，取得最大值，此时，.（3）假设存在，则，设是平面的一个法向量.则得，令，得，化简得(*)，方程（*）无解不存在点使得平面与平面所成的二面角为.19. 某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上下班乘车所用时间，得下表所用时间(分钟)人数公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是其中表示不超过的最大整数以样本频率为概率：（1）估算公司每月用于路途补贴的费用总额(元)；（2）以样本频率作为概率，求随机选取四名职工，至少有两名路途补贴超过300元的概率【答案】（1）元；（2）【解析】【分析】（1）由确定公司职工乘车不
16、同时间范围内的补贴金额，求出一名职工乘车补贴的均值，乘以公司职工总数即得公司每月用于路途补贴的费用总额；（2）求出名职工中路途补贴超过元的概率，记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为，分别求得有名路途补贴超过300元时概率，有名路途补贴超过300元时概率，当有名路途补贴超过300元时概率，即可求得答案【详解】（1）补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是：其中表示不超过的最大整数根据调查上下班乘车所用时间表格可得：的可能取值为：，的可能取值为：，即：的可能取值为：，记一名职工所享受的路途补贴为(元)的可能值为，根据调查上下班乘车所用时间表格可得：X的分布列为X20024028
17、0320360P的均值为 该公司每月用于路途补贴的费用总额约为：(元) （2）路途补贴超过元根据补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是：其中表示不超过的最大整数可得：当时，名职工中路途补贴超过元的概率：， 记事件“名职工中至少有名路途补贴超过300元”为，当有名路途补贴超过元时，概率为：当有名路途补贴超过元时，概率为：当有名路途补贴超过元时，概率为：【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，考查取整函数的理解，考查数学在实际生活中的应用，解题关键是掌握概率加法计算公式和组合数计算，考查了分析能力和计算能力，属于基础题20. 已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点
18、（1）求椭圆的方程;（2）直线l平行于，且与椭圆交于两个不同点，连接(或延长)分别交x轴于点，探求是否为定值，若是，求出此定值;若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）为定值，理由见解析.【解析】【分析】(1)由已知条件得关于，的方程组，联立求解即可；(2)先设出直线l的方程，然后与椭圆方程联立，消去得到关于的二次方程.设出的坐标，利用韦达定理表示出，然后计算得出定值为0，利用直线斜率的几何意义即可求出.【详解】（1）设椭圆方程为，则，解得.所以椭圆方程为 （2）设直线l的方程为，由消去y得依题意可知，即设，则 易知直线，的斜率存在，分别记为，则有，同理 所以直线的倾斜角互补，故直线与x轴始终
19、围成一个等腰三角形可知关于直线对称，则为定值.【点睛】本题考查了椭圆标准方程、椭圆与直线的位置关系中的定值问题，定值问题时高考中的热点题型，属于中档题.21. 已知函数（1）若，求证：当时，;（2）若在区间上单调递增，试求k的取值范围;（3）求证：【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】(1)求导可得，再分析的单调性，进而得出导函数的范围即可得的单调性，进而证明即可.(2)由题意可知导函数大于0恒成立，参变分离可得在区间上恒成立.构造函数求最小值即可.(3)由(1)中的结论，代入可得，再累加求和利用裂项放缩求证即可.【详解】（1），则所以所以在上递增，所以所以在上递增，故
20、（2）由题得，导函数在区间上恒成立.即在区间上恒成立.设，则，故在上，单调递减；在上，单调递增；故.故，解得.即k的取值范围为 （3）由（1）知，对于，有，取为有，则，取，从而有，于是【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值证明不等式的问题，同时也考查了参变分离求参数范围的问题、根据前问的结论结合数列中的放缩证明不等式的问题.属于难题.请考生在第2223两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线C的极坐标方程为4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）.（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的
21、普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积.【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为；直线l的普通方程为；（2）.【解析】【分析】（1）对曲线C，两边同乘以即可化简；对直线的参方采用代入消参法；（2）利用直角方程，用弦长公式，求得弦长计算面积即可.【详解】（1）由4cos，得24cos，即曲线C的直角坐标方程为x2y24x；由（t为参数），得，即直线l的普通方程为.（2）由（1）可知C为圆，且圆心坐标为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长|PQ|，因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形面积S2d|PQ|.故该矩形面积为.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的化简，以及利用普通方程求弦长.选修4-5：不等式选讲23. 设函数（1）当时，解不等式：；（2）若不等式的解集为，求的值【答案】（1）; （2）【解析】试题分析：（1）当时，函数，由不等式可得 ，或 ，分别求出的解集，再取并集，即得所求（2）由，可得连续函数在上是增函数，故有，分当 和当两种情况，分别求出m的值，即为所求试题解析：（1）当时，函数，由不等式可得 ，或 解可得，解可得，故不等式解集为（2） ，连续函数在上是增函数，由于的解集为，故，当时，有，解得当时，则有，解得 综上可得，当或时，f（x）2的解集为考点：解绝对值不等式
