1、1离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量(3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，随机变量X取ai的概率为pi(i1,2，)，记作：P(Xai)pi(i1,2，)，或把上式列表：Xaia1a2P(Xai)p1p2称为离散型随机变量X的分布列(4)性质：pi_0，i1,2，；p1p2_1_.2超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品从中任取n (nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk) (其中k为非
2、负整数)如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象()(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布()(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()1袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机
3、变量的是()A至少取到1个白球B至多取到1个白球C取到白球的个数D取到的球的个数答案C解析选项A、B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.2(教材改编)从标有110的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有()A17个B18个C19个D20个答案A解析X可能取得的值有3,4,5，19共17个3随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)等于()A.B.C.D.答案D解析a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.4设X是一个离散型随机变量，
4、其分布列为X101P23qq2则q等于()A1B.C.D.答案C解析23qq21，q23q0，解得q.又由题意知0q2，q.5(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为_答案解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X4).题型一离散型随机变量的分布列的性质例1设随机变量X的分布列为P(X)ak(k1,2,3,4,5)(1)求a；(2)求P(X)；(3)求P(X)解(1)由分布列的性质，得P(X)P(X)P(X)P(X)P(X1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)P(X)P(
5、X)P(X)P(X1)345.(3)P(X)P(X)P(X)P(X).思维升华(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列解由分布列的性质知：020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表为X012342X113579|X1|10123从而由上表得两个分布列为(1)2X1的分布列2X113579P0.20.10.1
6、0.30.3(2)|X1|的分布列|X1|0123P0.10.30.30.3题型二离散型随机变量分布列的求法命题点1与排列组合有关的分布列的求法例2(2015重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X012P命题点2与互斥事件有关的分布列的求法例3
7、某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列解(1)P(当天商店不进货)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为1件).(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X2)P(当天商品销售量为1件)；P(X3)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为2件)P(当天商品销售量为3件).所以X的分布列为X23
8、P命题点3与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法例4(2014安徽改编)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”则P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P
9、(A1)P(B2)P(A3)P(A4)222.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列为X2345P思维升华(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列(2)
10、求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识(1)4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元从中任取一支，求其标价X的分布列；从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的分布列解X的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的分布列为X10203040P根据题意，Y的可能取值为20,30,40，且P(Y20)，P(Y30)，P(Y40).所以Y的分布列为Y203040P(2)(2015安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检
11、测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列解记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.P(A).X的可能取值为200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400P题型三超几何分布例5一袋中装有10个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得
12、到白球的个数为X，求随机变量X的分布列解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)1，得到x5.故白球有5个(2)X服从超几何分布，P(Xk)，k0,1,2,3.于是可得其分布列为X0123P思维升华超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型(2015天津改编)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协
13、会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列解(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以，随机变量X的分布列为X1234P19随机变量取值不全致误典例(12分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再
14、任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)记第一次与第二次取得球的标号之和为.求随机变量的可能取值及其分布列易错分析由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误规范解答解由题意可得，随机变量的可能取值是2,3,4,6,7,10.3分P(2)0.30.30.09，P(3)C0.30.40.24，P(4)0.40.40.16，P(6)C0.30.30.18，P(7)C0.40.30.24，P(10)0.30.30.09.9分故随机变量的分布列为2346710P0.090.240.160.180.240.0912分温馨提醒(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应
15、用概率公式(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.方法与技巧1对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率2求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率失误与防范掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率看
16、每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误A组专项基础训练 (时间：40分钟)1抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么4表示的随机试验结果是()A一颗是3点，一颗是1点B两颗都是2点C两颗都是4点D一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点答案D解析4即点数之和为4，故试验结果为一颗3点，一颗1点或两颗都是2点2一只袋内装有m个白球，nm个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是()AP(X3) BP(X2
17、) CP(X3) DP(X2)答案D解析由超几何分布知P(X2).3随机变量的所有可能的取值为1,2,3，10，且P(k)ak(k1,2，10)，则a值为()A.B.C110D55答案B解析随机变量的所有可能的取值为1,2,3，10，且P(k)ak(k1,2，10)，a2a3a10a1，55a1，a.4随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P(X)的值为()A.B.C.D.答案D解析P(Xn)(n1,2,3,4)，1，a，P(X)P(X1)P(X2).5从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是()A.B.C.D.答
18、案C解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P.6设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y|X2|，则P(Y2)_.答案0.5解析由分布列的性质，知020.10.10.3m1，m0.3.由Y2，即|X2|2，得X4或X0，P(Y2)P(X4或X0)P(X4)P(X0)0.30.20.5.7甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是_
19、答案1,0,1,2,3解析X1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，X1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对，X2，甲抢到2题均答对，X3，甲抢到3题均答对8袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量，则P(6)_.答案解析P(6)P(取到3只红球1只黑球)P(取到4只红球).9甲、乙两位同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投
20、篮次数不超过5.(1)求甲同学至少有4次投中的概率；(2)求乙同学投篮次数的分布列解(1)设甲同学在5次投篮中，恰有x次投中，“至少有4次投中”的概率为P，则PP(x4)P(x5)C41C50.故甲同学至少有4次投中的概率为.(2)由题意知的所有可能取值为1,2,3,4,5.P(1)，P(2)，P(3)，P(4)3，P(5)4.故的分布列为12345P10.(2015山东改编)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次得分规则
21、如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列解(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C84，随机变量X的取值为：0，1,1，因此P(X0)，P(X1)，P(X1)1，所以X的分布列为X011PB组专项能力提升(时间：30分钟)11从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为_答案X012P0.10.6
22、0.3解析X的所有可能取值为0,1,2，P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3.X的分布列为X012P0.10.60.312.已知随机变量只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是_答案(，)解析设取x1，x2，x3时的概率分别为ad，a，ad，则(ad)a(ad)1，所以a，由得d.13在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的分布列为_答案012P解析的所有可能值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).的分布列为012P14盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3
23、个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分现从盒内任取3个球(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列解(1)P1.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(BC)P(B)P(C).(3)可能的取值为0,1,2,3，服从超几何分布，所以P(k)，k0,1,2,3.故P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列为0123P15.已知甲箱中只放有x个红球与y个白球(x，y0，且xy6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球(1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y的值；(2)当x2时，求取出的3个球中红球个数的分布列解(1)由题意知P()2，当且仅当xy时等号成立，所以，当P取得最大值时xy3.(2)当x2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，所以的所有可能取值为0,1,2,3.则P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，所以红球个数的分布列为0123P
