1、上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一.填空题1.已知，则的终边在第_象限【答案】三【解析】【分析】利用终边相同的角的公式化简可得.【详解】,在第三象限，在第三象限.故答案为：三【点睛】本题考查终边相同的角所在的象限.所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：或2.已知的终边在第三象限，且，则_【答案】【解析】【分析】先由条件可得，再由诱导公式可得，得出答案.【详解】的终边在第三象限，且，则故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系和诱导公式，解题时注意角的范围，属于基础题.3.已知等差数列中，则该等差数列的公差的大小为_【答案】【
2、解析】【分析】利用等差数列的性质直接求解【详解】解：等差数列中，解得，故答案为：【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题4.若函数的最小正周期为，则_【答案】【解析】【分析】根据周期公式可求出，即可得到解析式，从而可求出【详解】因为，所以，即，故答案为：【点睛】本题主要考查周期公式，诱导公式的应用，以及三角函数求值，属于容易题5.已知公比为的等比数列的前项和为，且，则_【答案】【解析】【分析】用两个已知等式相减可得，再用等比数列的通项公式可解得，再利用可解得，最后利用等比数列的通项公式可解得.【详解】由题意可得，即，所以，因，所以 ，解得
3、或（舍去），由得，得，所以，即，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了等比数列的前项和，属于基础题.6.已知，均为锐角，则_【答案】【解析】【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.【详解】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.7.若数列的通项公式为，其前项和为，则_【答案】【解析】【分析】结合三角函数周期性，利用分组求和方法得结果.【详解】因为的周期为所以故答案为：【点睛】本题考查三角函数周期性以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知函数，其
4、中表示不超过x的最大整数，则的值域为_【答案】【解析】【分析】由正弦函数的值域可知，即可根据题意，依据七个分段点分类讨论，即可求出【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，所以函数值域为故答案为：【点睛】本题主要考查高斯函数的理解和运用，以及正弦函数的值域的应用，意在考查学生分类讨论思想的应用能力，属于基础题9.如图所示，三个全等的三角形、拼成一个等边三角形，且为等边三角形，设，则_【答案】【解析】【分析】设，则，由题意可得，在中，运用正弦定理可得，结合可得结果.【详解】设，则，由，由于三角形、全等，又为等边三角形，在中，由正
5、弦定理可得：，即，化简得，故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，利用正切求齐次式的值，属于中档题.10.若函数在区间内恰有2019个零点，则_【答案】【解析】分析】根据零点的定义可知，方程，即在内有有2019个根，显然不满足方程，所以令，再研究直线与函数的交点个数，即可解出【详解】令，即有，因为不满足方程，所以，令，函数在上递增，在上递增，由图象可知，直线与函数的图象至少有一个交点当时，直线与函数的图象只有一个交点，此时，在一个周期内的上有两个解，所以在区间内不可能有奇数个解；当时，同理可得，在区间内不可能有奇数个解；当时，直线与函数的图象有两个交点，一个，一个，所以在一个周
6、期内，有两个解，有两个解，所以在区间内不可能有奇数个解；当时，直线与函数的图象有两个交点，一个，一个，所以在一个周期内，有两个解，有一个解，即一个周期内有三个解，所以，即当时，同理可得，故答案为： 【点睛】本题主要考查根据函数的零点个数求参数，二倍角公式的应用，考查转化思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用，属于较难题二.选择题11.设an是等比数列，则“a1a2a3”是数列an是递增数列的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件、C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】或，所以数列an是递增数列若数列an是递增数列，则“a1a2a3”，因此“a1a2a3”是
7、数列an是递增数列的充分必要条件，选C12. 如图所示，在直角三角形中，为直角，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若将的面积分成相等的两部分，设（弧度），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意得到，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到答案.【详解】解：因为将的面积分成相等的两部分，所以，所以，,所以，化简得：.故选：D.【点睛】本题主要考查扇形面积公式、弧长公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于基础题.13.在中，是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( )A. 钝角三角形B. 锐角三角形
8、C. 等腰直角三角形D. 以上均错【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据“是以为第三项，为第七项的等差数列的公差”计算出的值，然后可以根据“是以为第三项，为第六项的等比数列的公比”计算出的值，然后根据的值计算出的值，最后根据的值得出的取值范围，最终得出结果【详解】因为是以为第三项、为第七项的等差数列的公差，所以因为是以为第三项、为第六项的等比数列的公比，所以因为是的内角，所以因为都大于0，所以都属于，所以是锐角三角形故选B【点睛】本题主要考查三角函数，考查正切函数的相关性质以及三角恒等变换公式的运用，考查推理能力如果三个角在三角形内，则有14.已知中，、成等差数列，则以下结论中正确的是（
9、）A. 角B有最大值B. 角B有最小值C. 为锐角三角形D. 为钝角三角形【答案】A【解析】【分析】先根据等差数列性质列等量关系，再根据两角和正弦公式、正弦定理以及余弦定理化得边的关系，最后根据余弦定理确定角B范围，结合范围判断选择.【详解】因为、成等差数列，所以（当且仅当时取等号），因此角B有最大值，无最小值当正三角形时满足题意，所以排除D当即为钝角三角形，也满足题意，所以排除C故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列性质以及两角和正弦公式，考查基本分析转化判断能力，属中档题.三.解答题15.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求使得取得最大值时x的集合.【答案】（1）减
10、区间为，（2）【解析】【分析】（1）利用两角差的三角公式化简函数的解析式，在根据正弦函数的性质计算可得（2）当取最大值时，解出即得所求【详解】解：（1）因为所以即由，解得，所以函数的单调递减区间为，（2）当取最大值时，此时，即，所以所求的集合为【点睛】本题考查三角函数的周期性和最值，求正弦函数的单调区间，化简函数的解析式，是解题的突破口，属于基础题16.已知数列是公差不为零的等差数列，1，且成等比数列(1)求数列的通项；(2)设，求数列的前n项和Sn.【答案】(1)ann. (2)Sn2n12.【解析】【详解】(1)由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1，d0(舍去
11、)，故an的通项an1(n1)1n. (2)由(1)知，由等比数列前n项和公式得Sn222232n2n12. 点评：掌握等差、等比数列的概念及前n项和公式是此类问题的关键17.如图，岛、相距海里上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市（）若，问小张能否乘上这班客轮？（）现测得，已知速度为海里/小时()的小艇每小时的总费用为()元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？【答案】（）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（）若小张由岛直
12、接乘小艇去市，其费用至少需元.【解析】【分析】（）在中，由余弦定理得，进而得客轮的航行速度，在中，由余弦定理得，分别求出客轮和小张到岛所用的时间，比较即可；（）根据条件求得，再由正弦定理得，求得，进而求得总费用为，利用基本不等式求最值即可.【详解】（）如图，根据题意得：，在中，由余弦定理得，, 所以客轮的航行速度（海里/小时）因为，所以，所以在中，由余弦定理得，整理得：，解得或（不合舍去）所以客轮从处到岛所用的时间小时，小张到岛所用的时间至少为小时由于，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（）在中，,所以为锐角，所以.由正弦定理得，,所以, 所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为 ()，
13、当且仅当，即时，（元）.所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元18.若数列共有k项，且同时满足，则称数列为数列.（1）若等比数列为数列，求的值；（2）已知为给定的正整数，且，若公差为的等差数列是数列，求公差d；若数列的通项公式为，其中常数，判断数列是否为数列，并说明理由.【答案】（1）；（2）；不是，详见解析【解析】【分析】（1）根据新定义结合等比数列即可求出的值；（2）设等差数列的公差为，根据新定义以及等差数列的性质即可求出公差的值；若数列是数列，根据新定义，对的值分奇数和偶数两种情况讨论，即可判断出数列是否为数列.【详解】（1）设等比数列的公比为，数列为数列，即，又，解得；（2）设等差数列的公差为，数列是数列，即，即，又，且，即，解得，等差数列的公差为得；若数列是数列，则有：，且，（*），（*），当为偶数时，在（*）中，所以（*）不成立，当m为奇数时，由（*）+（*）得：，又，解得，为奇数，整理得：，即，与矛盾，综上可知，数列不是数列.【点睛】本题主要考查了新定义，以数列为载体，又考查的等比数列和等差数列的性质，理解新定义是解题的关键，属于难题.