1、第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等式的性质及一元二次 不等式 【知识梳理】1.不等式的基本性质(1)对称性:ab_.(2)传递性:ab,bc_.(3)可加性:aba+cb+c.(4)可乘性:ab,c0_;ab,c0_.bc acbc acb,cd_.(6)乘法法则:ab0,cd0_.(7)乘方法则:ab0_(nN,n1).(8)开方法则:ab0 (nN,n2).a+c b+d acbd anbn _abn n 2.不等式的倒数性质(1)ab,ab0 (2)a0b0,0c0a_b.(2)a-b=0a_b.(3)a-b=0=0 0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异
2、实根x1,x2(x10 =0 0(a0)的解集 _ _ _ R ax2+bx+c0)的解集 _ _ x|xx2 x|xx1 x|x1x0(a0)中,如果二次项系数a0对任意实数x恒成立 (2)不等式ax2+bx+cb,cb-d;ab0,cdbd;ab0 ab0 A.B.C.D.33ab;2211.ab【解析】选D.利用不等式的同向可加性可知正确;对根据不等式的性质可知acb0可知a2b20,所以 所以不正确.13x2211,ab2.(必修5P81习题3.2B组T2改编)若函数y=的定义域为R,则m的取值范围 是 .2mx1 m xm【解析】要使y=有意义,即mx2-(1-m)x+m0对xR恒成
3、立,则 解得m 答案:m 2mx1 m xm22m0,1 m4m0，1.313感悟考题 试一试 3.(2016滨州模拟)已知ab0,则下列不等式中总成立的是()【解析】选A.因为ab0,所以 所以 1111Aab Babbaabbb 111C.Dbaaa1ba 110ba，11ab.ba4.(2016威海模拟)若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)0对任 意实数x恒成立,则实数m的取值范围是()A.(1,+)B.(-,-1)C.(-,-)D.(-,-)(1,+)13111311【解析】选C.当m=-1时,不等式为2x-60,即x0的解集为 .(用区间表示)【解析】由-x2-3x+40得x
4、2+3x-40,解得:-4x0的解集为(-4,1).答案:(-4,1)考向一 比较大小及不等式性质的应用【典例1】(1)(2016青岛模拟)已知xyz,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是()A.xyyz B.xzyz C.xyxz D.x|y|z|y|(2)设a1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系为()A.nmp B.mpn C.mnp D.pmn【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号,然后由不等式的性质便可求解.(2)根据不等式性质和函数单调性求解.【规范解答】(1)选C.因为xyz,x+y+z=0,所以 x0,
5、zxz.(2)选B.因为a1,所以a2+1-2a=(a-1)20,即a2+12a,又2aa-1,所以由对数函数的单调性可知loga(a2+1)loga(2a)loga(a-1),即mpn.x0,yz,【规律方法】比较大小的策略(1)简单的代数式之间比较大小:往往利用不等式的性质求解.(2)指数型及对数型的代数式之间比较大小:一般采取构造函数,利用函数的单调性求解.(3)其他复杂的多项式之间比较大小:可以采取作差或作商来解决.易错提醒:1.利用不等式性质比较大小,一定要弄清参数的符号,明确什么情况下不等号方向改变.2.构造函数,用函数单调性比较大小,要注意函数是递增还是递减.【变式训练】若a0,
6、b0,则不等式-b 0,b0,x0,(1)当x0时,-b .(2)当x0时,-b a,解得x-.综上所述,不等式-b a等价于x .1x1a1x1b1x1b1a【加固训练】1.设0ba1,则下列不等式成立的是()A.abb21 B.C.2b2a2 D.a2ab0a,0ab,a0b,ab0,能推出 成立的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11ab【解析】选C.运用倒数性质,由ab,ab0可得 正确.又正数大于负数,正确,错误.11ab，3.如果a,b,c满足cba,且acac B.c(b-a)0 C.cb2ab2 D.ac(a-c)0【解析】选C.由题意知c0,则A一定正确;B一定正
7、确;D一定正确;当b=0时C不正确.考向二 一元二次不等式的解法【典例2】(1)(2015山东高考)已知集合A=x|x2-4x+30,B=x|2x4,则AB=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)(2)(2015江苏高考)不等式 4的解集为 .2xx2【解题导引】(1)根据一元二次不等式的解法先求出集合A,再求解.(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元二次不等式求解即可.【规范解答】(1)选C.A=x|1x3，B=x|2x4,故AB=x|2x3.(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增,所以 4可化为x2-x2,解得-1x2.所以 4的解集是x|-1x2.
8、答案:x|-1x2 2xx22xx2【母题变式】1.若本例题(1)条件A=x|x2-4x+30，则AB=.【解析】解不等式x2-4x+30得x3,所以AB=(3,4).答案:(3,4)2.若本例题(1)条件A=x|x2-4x+30改为A=x|x2-4x+30，则AB=.【解析】解不等式x2-4x+30得x1或x3,则AB=(-,1(2,+)答案:(-,1(2,+)【易错警示】解答本例题(2)时,在利用指数函数的性质把原不等式转化为一元二次不等式时容易把大于号和小于号弄反,导致解集出错.【规律方法】1.解一元二次不等式的方法和步骤(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判:计算
9、对应方程的判别式.(3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式 与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.【变式训练】(2016德州模拟)已知不等式ax2-bx-10的解集是 ,则不等式x2-bx-a0的解集是 ()A.(2,3)B.(-,2)(
10、3,+)C.()D.(-,)(,+)11,231 13 2，1312【解析】选A.由题意知 是方程ax2-bx-1=0的 根,所以由根与系数的关系得 解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a0即为 x2-5x+60,解集为(2,3).1123，11b23a()，111.23a()【加固训练】解下列不等式:(1)-3x2-2x+80.(2)0 x2-x-24.(3)ax2-(a+1)x+10).【解析】(1)原不等式可化为3x2+2x-80,即(3x-4)(x+2)0.解得-2x 所以原不等式的解集为 43，4x|2x.3 2222xx20,xx20,2xx24,xx60,x2x10,x3x2
11、0 x2x1,2x3.原不等式等价于即即，或解得借助于数轴,如图所示,原不等式的解集为 x|-2x-1或2x3.(3)原不等式变为(ax-1)(x-1)0,所以 (x-1)1时,解为 x1;当a=1时,解集为;当0a1时,解为1x .1a(x)a1a1a综上,当0a1时,不等式的解集为 1x|1x.a1x|x1.a 考向三 一元二次不等式恒成立问题【考情快递】命题方向命题视角形如f(x)0(f(x)0)(xR)的不等式确定参数的范围主要考查一元二次不等式,一元二次函数和一元二次方程的关系,利用开口方向和判别式解题形如f(x)0(x a,b)的不等式确定参数范围考查一元二次不等式的解法命题方向命
12、题视角形如f(x)0(参数ma,b)的不等式确定x的范围考查主元转换思想,通过主元转换来求自变量范围,同时考查一元二次不等式的解法【考题例析】命题方向1:形如f(x)0(f(x)0)(xR)的不等式确定参数的范围【典例3】(2016济宁模拟)不等式a2+8b2 b(a+b)对于任意的a,bR恒成立,则实数 的取值范围为 .【解题导引】可以把a看成未知数,把b看成常数,把看成参数,把原不等式化为关于a的一元二次不等式.【规范解答】因为a2+8b2b(a+b)对于任意的a,bR恒成立,所以a2+8b2-b(a+b)0对于任意的a,bR恒成立,即a2-ba+(8-)b20恒成立,由二次不等式的性质可
13、得,=2b2+4(-8)b2=b2(2+4-32)0,所以(+8)(-4)0,解得-84.答案:-8,4 命题方向2:形如f(x)0(xa,b)的不等式确定参数范围【典例4】(2016烟台模拟)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(aR,bR),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x-1,1时,f(x)0恒成立,则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+)C.(-,-1)(2,+)D.不能确定【解题导引】先求出f(x)的最值,再列一元二次不等式 求解.【规范解答】选C.由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于 直线x=1对称,即 =1,解得a=2.又因为f
14、(x)开口向下,所以当x-1,1时,f(x)为增函数,a2所以f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,f(x)0恒成立,即b2-b-20恒成立,解得b2.命题方向3:形如f(x)0(参数ma,b)的不等式确定x的范围【典例5】(2016日照模拟)已知a-1,1时不等式x2+(a-4)x+4-2a0恒成立,则x的取值范围为()A.(-,2)(3,+)B.(-,1)(2,+)C.(-,1)(3,+)D.(1,3)【解题导引】构造关于a的参数列不等式组求解.【规范解答】选C.把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由f(a)0对于任意
15、的a-1,1恒成立,所以f(-1)=x2-5x+60,且f(1)=x2-3x+20即可,解不等式组 得x3.22x5x60,x3x20,【技法感悟】恒成立问题求解思路(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)的不等式确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解.(2)形如f(x)0(xa,b)的不等式确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围.(3)形如f(x)0(参数ma,b)的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.【题组通关】1.(2016莱芜模拟)不等式x2-2x+5a2-3a对任
16、意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.-1,4 B.(-,-25,+)C.(-,-14,+)D.-2,5【解析】选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以 x2-2x+5a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a4,解得-1a4.2.(2016济宁模拟)设函数f(x)=mx2-mx-1(m0),若对于x1,3,f(x)-m+5恒成立,则m的取值范围是 .【解题提示】可通过构造函数,利用函数单调性求解,也可通过配方求最值来解决.【解析】要使f(x)-m+5在1,3上恒成立,则mx2-mx+m-60时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-60.所以
17、m ,则0m .当m0时,g(x)在1,3上是减函数,213m(x)m624，6767所以g(x)max=g(1)=m-60.所以m6,所以m0.综上所述,m的取值范围是 6m|0mm0.7或方法二:因为x2-x+1=又因为m(x2-x+1)-60,所以m 因为函数 在1,3上的最小 值为 ,所以只需m 即可.因为m0,213(x)024，26.xx12266y13xx1(x)246767所以m的取值范围是 答案:6m|0mm0.7或6m|0mm07或3.(2016菏泽模拟)已知函数f(x)=的定义域为R.(1)求a的取值范围.(2)若函数f(x)的最小值为 ,解关于x的不等式x2-x-a2-a0.2ax2ax122【解析】(1)因为函数f(x)=的定义域为R,所以ax2+2ax+10恒成立,当a=0时,10恒成立.当a0时,则有 解得0a1,综上可知,a的取值范围是0,1.2ax2ax12a0,2a4a0,22min2222f xax2ax1a x11 a,a0 x1f x1 a211 aa223xxaa0 xx0.4131 3x,).222 2 因为因为 ，所以当时，由题意得，所以，所以不等式 可化为解得 ，所以不等式的解集为(