1、第6章幂函数、指数函数和对数函数习题课指数函数图象与性质的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知a=1223,b=2-43,c=1213,则下列关系式中正确的是()A.cabB.bacC.acbD.ab2313,所以124312231213,即ba0,且a1),f(2)=4,则()A.f(-1)f(-2)B.f(1)f(2)C.f(2)f(-2)答案D解析由f(2)=4,得a-2=4,又a0,a=12,即f(x)=2|x|,函数f(x)为偶函数,在(-,0上是减函数,在0,+)上是增函数,故选D.3.函数y=3x+1-2,x-2,0的值域是()A.(-2,+)B.-53,+C.-1,1D
2、.-53,1答案D解析x-2,0,x+1-1,1,令=x+1,在R上为增函数,且y=3x在R上为增函数,3x+113,3,函数y=3x+1-2在x-2,0上的值域为-53,1.故选D.4.某产品计划每年降低成本q%,若3年后的成本费为a元,则现在的成本费为()A.a(1-q%)3元B.a(1-q%)3元C.a(1+q%)3元D.a(1+q%)3元答案A解析设现在的成本费为x,则3年后的成本费为x(1-q%)3=ax=a(1-q%)3.故选A.5.(2021江苏靖江中学高一调研)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则()A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)
3、为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数答案B解析因为f(x),g(x)的定义域均为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x),所以f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,故选B.6.已知函数f(x)=12|x-1|,则f(x)的增区间是.答案(-,1解析(方法1)由指数函数的性质可知f(x)=12x在定义域上为减函数,故要求f(x)的增区间,只需求=|x-1|的减区间.又=|x-1|的减区间为(-,1,所以f(x)的增区间为(-,1.(方法2)f(x)=12|x-1|=12x-1,x1,2x-1,x0.(
4、1)求a的值;(2)判断f(x)在(0,+)上的单调性.解(1)f(x)是R上的偶函数,f(-1)=f(1).e-1a+ae-1=ea+ae,即1ae-ae=ea-ae.1e1a-a=e1a-a,1a-a=0,a2=1.又a0,a=1.(2)在(0,+)上任取x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2=(ex2-ex1)1ex1+x2-1.x10.x10,x20,x1+x20,ex1+x21,1ex1+x2-10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0,所以1+2x1,所以012x+11,-1-12x+10,01-12x+11,即0yy1y2B.y2
5、y1y3C.y1y2y3D.y1y3y2答案D解析40.9=21.8,80.48=21.44,12-1.5=21.5,根据y=2x在R上是增函数,得21.821.521.44,即y1y3y2,故选D.11.若函数f(x)=ax,x1,4-a2x+2,x1是R上的增函数,则实数a的取值范围为()A.(1,+)B.(1,8)C.(4,8)D.4,8)答案D解析由题意得a1,4-a20,a4-a21+2,解得4a8.12.已知0ba1,则在ab,ba,aa,bb中最大的是()A.baB.aaC.abD.bb答案C解析因为0baaa,bbba.又因为y=xb在(0,+)上为增函数,所以abbb,所以在
6、ab,ba,aa,bb中最大的是ab.故选C.13.(2021江苏如皋中学调研)已知函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR),若f(x)是偶函数,记a=m,若f(x)是奇函数,记a=n,则m+2n的值为()A.0B.1C.2D.-1答案B解析当f(x)是偶函数时,f(x)=f(-x),即x(ex+ae-x)=-x(e-x+aex),即(1+a)(ex+e-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1,即m=-1.当f(x)是奇函数时,f(x)=-f(-x),即x(ex+ae-x)=x(e-x+aex),即(1-a)(ex-e-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=1,即n=
7、1,所以m+2n=1.14.(多选)下列各式比较大小不正确的是()A.1.72.51.73B.0.6-10.62C.0.8-0.11.250.2D.1.70.30.93.1答案ACD解析A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.53,所以1.72.51.73.B中,因为y=0.6x在R上是减函数,-10.62.C中,因为0.8-1=1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.因为y=1.25x在R上是增函数,0.10.2,所以1.250.11.250.2,即0.8-0.11,0.93.10.93.1.15.(多选)已知实数a,b满足等式12a=13b,下列四个关系式中
8、,其中可能成立的关系式有()A.0baB.ab0C.a=b=0D.ba0答案ABC解析函数y1=12x与y2=13x的图象如图所示.由12a=13b得,ab0或0bk.若对于函数f(x)=2-x2+x+2的定义域内的任意实数x,恒有fk(x)=f(x),则k的取值可以是()A.4B.3C.22D.2答案ABC解析由题意,知kf(x)max.函数f(x)=2-x2+x+2的定义域为-1,2.令t=-x2+x+2,则t0,32,2t1,22,所以f(x)max=22,因此k22.故选ABC.17.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(单位:mg/mL)随时间x(单位:h)变化的规律近似满足解析式
9、f(x)=5x-2,0x1,3513x,x1.规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL,据此可知,此驾驶员至少要过 h后才能开车.(精确到1 h)答案4解析当0x1时,1255x-215,此时不宜开车;由3513x0.02,可得x4.故至少要过4h后才能开车.18.(2021江苏南京雨花台中学月考)已知函数f(x)=ax(a0,a1)在-1,2上的最大值为8,最小值为m,若函数g(x)=(3-10m)x是增函数,则a=.答案18解析当a1时,y=ax在-1,2上是增函数,a-1=m,a2=8,解得a=22,m=24.此时g(x)=3-1024x,3-5220,g(x)是减函数,不
10、合题意;当0a0,g(x)是增函数,符合题意.综上所述,a=18.19.已知函数f(x)=2a4x-2x-1.(1)当a=1时,解不等式f(x)0;(2)当a=12,x0,2时,求f(x)的值域.解(1)当a=1时,f(x)=24x-2x-1.f(x)0,即2(2x)2-2x-10,解得2x1或2x0,不等式f(x)0的解集为x|x0.(2)当a=12时,f(x)=4x-2x-1,x0,2.设t=2x,x0,2,t1,4.令y=g(t)=t2-t-1(1t4),画出g(t)=t2-t-1(1t4)的图象(如图),可知g(t)min=g(1)=-1,g(t)max=g(4)=11,f(x)的值域
11、为-1,11.20.(2021江苏扬州中学高一期中调研)设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax-4x.(1)求g(x)的解析式;(2)若方程g(x)-b=0在-2,2内有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.解(1)f(x)=3x,且f(a+2)=18,3a+2=18,3a=2.g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x,g(x)=2x-4x.(2)(方法1)由(1)知,方程为2x-4x-b=0.令t=2x,x-2,2,则14t4,且方程t-t2-b=0在14,4上有两个不相等的实数根,即函数y=t-t2=-t-122+14的图象与函数y=b的图象在14,4内有两个交
12、点.作出大致图象,如图所示:由图知当b316,14时,方程g(x)-b=0在-2,2内有两个不相等的实数根.故实数b的取值范围为316,14.(方法2)由(1)知,方程为2x-4x-b=0.令t=2x,x-2,2,则14t4,且方程t-t2-b=0在14,4上有两个不相等的实数根,令h(t)=-t2+t-b,t14,4,则=1-4b0,h140,h(4)0,解得316bn3;当h(a)的定义域为n,m时,值域为n2,m2.若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.解(1)因为x-1,1,所以f(x)=13x13,3.设t=13x13,3,则y=(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.当a3时,ymin=h(a)=(3)=12-6a.所以h(a)=289-2a3,a3.(2)不存在.假设存在m,n满足题意.因为mn3,h(a)=12-6a在(3,+)上是减函数,又因为h(a)的定义域为n,m,值域为n2,m2,所以12-6m=n2,12-6n=m2,两式相减得6(m-n)=(m-n)(m+n),即m+n=6,与mn3矛盾,所以满足题意的m,n不存在.
