1、2011高考抢分必备数学专题一 函数与导数【选题理由】函数是中学数学的核心内容。在整个中学数学课程中充当着联系各部分代数知识的“纽带”，同时也为解析几何学习中所需的数、形结合思想奠定了基础。函数是高中数学的主线，是每年高考必考查的重点内容之一，函数与方程、函数与数列、函数与不等式的相互渗透和交叉一直是高考的热点，近年来抽象函数问题、函数与向量结合、函数与概率统计结合、探索创新性问题又成为新的视点，可以说是常考常新。有关导数的内容在新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深。考查的形式相对稳定，一般是“两客一主”，所占分值约为22分左右。从近几年的高考试题来看，导数在高考中的要求一般
2、有三个层次，第一层次是主要考查导数的定义、导数的几何意义、导数的物理意义、求导的公式和求导的法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、函数、解析几何等知识有机地结合在一起，设计综合试题。通过将新课程内容和传统内容相结合，可以加强能力考查的力度，加强试题的综合性，同时可以使试题具有比较广泛的实际意义。随着导数作为考试内容的考查力度逐年增大，导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。这种试题编排的调整和试题创新设计不仅优化试卷结构，同时体现了
3、新课程试卷的要求和特点。下面结合2010年全国各省的高考试题，探讨高考函数与导数命题新的趋势，供复习时参考。【押题1】若函数的定义域是0，4，则函数的定义域是A 0，2 B (0，2) C (0，2 D 0，2)【押题指数】【解析】【答案】 C【方法与技巧】求函数定义时有以下几种情况：分式的分母不为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数为正且底数为不等于1的正数；零次幂的底数不为零【押题2】定义在R上的函数的图像关于点（-，0）成中心对称且对任意的实数x都有=-且=1，=-2，则 +=（ ）A0 B-2 C-1 D-4【押题指数】【解析】由=-得即周期为3，由图像关于点（-，0）成中心对称
4、得+=0，从而-=- ，所以= 。.1，由1，可得出.1，由-2，可得出.-2【答案】 A【方法与技巧】函数的奇偶性、周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样本题主要是在理解奇偶性质的基础上，考查函数对称性质及思维能力【押题3】已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值【押题指数】【解析】函数 得到图象为:又函数有3个零点知有三个零点,则实数m的取值范围是.【答案】【方法与技巧】本题考察方程根的情况问题，解题方法是利用数形结合。【押题4】如果函数= + +在=1处的切线恰好在此处穿过函数图像则=A3 B-1 C-2 D0【押题指数】【解析】由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在=1处穿过的
5、图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即【答案】 【方法与技巧】本题为三次函数,考查可导函数在某点取得极值的充要条件，即：设在某个区间内可导，函数在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号 【押题5】如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a）米上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆CABMNDEmmABCDEMN（第19题）（1）设MN与AB之间的距离为x
6、米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数；（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积【押题指数】【解析】（1）（一）时，由平面几何知识，得， 3分（二） 时，5分【押题6】二次函数，它的导函数的图象与直线平行。（I）求的解析式；（II）若函数的图象与直线有三个公共点，求m的取值范围。【押题指数】【解析】（1）2分导函数图象与直线从而解得： 6分 （2） 8分设、上递增，在上递减 10分且13分【答案】（1） （2）【方法与技巧】在导数与解析几何交汇点命题：主要考查对导数的几何意义，切线的斜率，导数与函数单调性，最（极）值等
7、综合运用知识的能力。曲线的切线问题可以利用导数的几何意义进行求解.【押题7】已知函数()求的值域；()设，函数若对任意，总存在，使，求实数的取值范围【押题指数】【解析】（），令，得或 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，而， 当时，的值域是 ()设函数在上的值域是A，若对任意总存在1,使，当时， 函数在上单调递减，当时，不满足； 当时，令，得或(舍去) （i）时，的变化如下表：02-0+0，解得(ii)当时， 函数在上单调递减 ，当时，不满综上可知，实数的取值范围是【答案】（） （）【方法与技巧】在导数与函数性质的交汇点命题，主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明
8、函数的单调性等。对于含有参数问题的函数试题是高考的一个热点问题，尤其要注意讨论的标准。【押题8】已知函数.（1）若时，函数在其定义域是增函数，求的取值范围；（2）在（1）的结论下，设函数，求函数的最小值；（3）当,时，求证：对一切，- 3恒成立.【押题指数】【解析】（1）依题意：上是增函数，恒成立，b的取值范围为4分（2）设则函数化为， 6分当上为增函数，当时，当 8分当上为减函数，当时，综上所述，当当时，； 10分（3）要证， 只要证，11分设， 则，12分，单调递减;，单调递增，对一切，恒成立 14分【答案】（1） （2） 当当时，； （3）【方法与技巧】“重点知识，重点考查”与“在知识的
9、交汇处设计试题”的命题思想。本题考查单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.【押题9】设，函数.()求函数的单调区间；()当时，函数 取得极值，证明：当，【押题指数】【解析】()的定义域为,2分 当时，恒成立，在上是增函数； 当时，令，即，解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间 内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间 内单调递减. 7分()当时，函数取得极值，即，由()在单调递增，在单调递减，单调递增.在时取得极大值；在时取得极小值故在上，的最大值是，最小值是;对于任意的，当时， 从而 【答案】（）当时在上是增函数
10、。当时在区间 内单调递减. 在区间内单调递增，在区间 内也单调递增【方法与技巧】此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系和数形结合思想的应用判断的法则是：设在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数，反之亦然【押题10】已知函数 （1）若求的单调区间及的最小值；（2）若，求的单调区间；（3）试比较）的大小，并证明你的结论。【押题指数】【解析】（1） （2分）故a=1时，的增区间为，减区间为（0，1）， （2）若则在区间上是递增的；当在区间上是递减的（6分）若则在区间上是递增的，在区间上是递减的；当在区间（0，a）上是递减的，而在处连续；则在区间上是递增的，在区间（0，1）上是递减的 （
11、8分）综上：当的递增区间是，递减区间是（0，a）；当时，的递增区间是，递减区间是（0，1） （9分） （3）由（1）可知，当，时，有，即 （14分）【答案】（）的增区间为，减区间为（0，1），（）当的递增区间是，递减区间是（0，）；当时，的递增区间是，递减区间是（0，1）【方法与技巧】本题主要考查函数的单调性、最值与不等式等基本知识，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；DCBAOyx【押题11】三次函数的图象如图所示，直线BD
12、AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A。（）在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求的单调区间；（）设点A、B、C、D的横坐标分别为，求证：；【押题指数】【押题12】已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、（）设，试求函数的表达式；（）是否存在，使得、与三点共线若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值【押题指数】【解析】（）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：，又切线过点， 有，即，（1）2分同理，由切线也过点，得（2）由（1）、（2），可得
13、是方程的两根，（ * ）4分，把（ * ）式代入,得,因此，函数的表达式为5分（）当点、与共线时，即，化简，得，（3） 7分把（*）式代入（3），解得存在，使得点、与三点共线，且 9分（）解法：易知在区间上为增函数，则依题意，不等式对一切的正整数恒成立，即对一切的正整数恒成立， ，由于为正整数，13分又当时，存在，对所有的满足条件因此，的最大值为14分解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值，长度最小的区间为，当时，与解法相同分析，得，解得13分【答案】（） （） （）【方法与技巧】高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：运用导数有关知
14、识研究函数的单调性和最值问题；利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；对一些实际问题建立数学模型后求解导数类型的问题从题型上来看有几下特点：以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；利用导数求实际问题中的最值为中档题；与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题导数的几何意义是曲线数在某点处切线的斜率所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p（x0，y0）的切线方程时，一要注意p（x0，y0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.备用题【押题
15、1】反函数是（ ）（A）（B）（C） （D）【押题指数】【答案】B 由可知：且（舍负），交换可得：【押题2】已知定义在(0，+)上的函数为单调函数，且，则（A）1（B）或（C）（D）【押题指数】【答案】 B【押题3】已知函数y=f(x)与函数y=的图像关于直线y=x对称，将它们的图像同时向左平行移动1个单位后所得图像仍关于直线y=x对称，若f(1)=0,则=（ ）A-2010 B-2009 C-2008 D-2007【押题指数】【答案】B 【押题5】设函数，若存在，使得与同时成立，则实数a的取值范围是 【押题指数】【答案】：由知，又存在，使得知即或，另中恒过，故由函数的图象知：若时, 恒大于0
16、，显然不成立。若时，若时，另，显然不成立。【押题4】已知函数的定义域为，值域为，并且在，上为减函数（1）求a的取值范围；（2）求证：；（3）若函数，的最大值为M，求证：【押题6】已知=0是函数的一个极值点，且函数的图象在处的切线的斜率为2.（）求函数的解析式并求单调区间.（）设，其中，问：对于任意的,方程在区间上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数.若不存在，请说明理由.【押题指数】【答案】（I）1分由2分又，故3分令得或令得故：，单调增区间是，单调减区间是5分.（）解:假设方程在区间上存在实数根设是方程的实根，, 令,从而问题转化为证明方程=0在上有实根,并讨论解的个数7分 因为,所以
17、 当时,所以在上有解,且只有一解 当时,但由于,所以在上有解,且有两解 10分当时,所以在上有且只有一解；当时, 所以在上也有且只有一解12分综上所述, 对于任意的,方程在区间上均有实数根O且当时,有唯一的实数解；当时,有两个实数解14分【押题7】某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设（1）将（O为坐标原点）的面积表示成的函数；（2）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值.【押题指数】【答案】（1），切线的斜率为，切线的
18、方程为令得,令,得的面积 (2) ,由,得当时, 当时, 已知在处, ,故有故当时, 【押题8】已知，其中是自然常数，（1）讨论时, 的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【押题指数】【答案】（1）， 1分当时，此时单调递减当时，此时单调递增 3分 的极小值为 4分（2）的极小值为1，即在上的最小值为1， ，5分令， 6分 当时，在上单调递增 7分 在（1）的条件下，9分（3）假设存在实数，使（）有最小值3， 当时，所以 ，所以在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 10分 当时，在上单调递减，在上单调递
19、增，满足条件. 11分 当时，所以，所以在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.14分【押题9】已知函数(I)若不等式 在区间()内的解的个数；()求证：【押题指数】【解析】() 由，得。令 所以，方程在区间内解的个数即为函数的图像与直线交点的个数。 当时, . - 2分 当在区间内变化时, , 变化如下:+0增减当时，；当时，；当时，。-4分所以，（1）当或时，该方程无解；（2）当或时，该方程有一个解；（3）当时，该方程有两个解。() 由()知 ，. - 10分 . . - 12分 【押题10】设函数，有极小值 (1)若b=-6时，函数有极大值，求实数
20、c的取值范围； (2)在(1)的条件下，若存在c，使函数在区间m-2，m+2上单调递增，求实数m的取值范围； (3)若函数只有一个极值点，且存在 证明：函数= 在区间内最多有一个零点【押题指数】【答案】（1）因为 x4bx2cxd，所以x312xc2分由题设，方程0有三个互异的实根考察函数x312xc，则0，得x2x（，2）2（2，2）2（2，）00增c16 （极大值）减c16（ 极小值）增所以 故16c16，即（x2）2（x4）0（*）在区间m2，m2上恒成立所以m2，m2是不等式（*）解集的子集所以或m22，即2m4（3）由题设，可得存在，R，使x3+2bxc（xt1）（x2x），且x2x0恒成立 又0，且在xt2两侧同号，所以 （xt1）（xt2）213分 另一方面，x3（2b1）xt1cx32bxc（xt1）（xt1）（xt2）21因为 t1 x t2，且 t2t11，所以1 t1t2 xt2 0所以 0（xt2）21，所以（xt2）210，所以0，所以）在（t1，t2）内单调减从而在（t1，t2）内最多有一个零点